WIIS

行列式

行列式の行または列に関する加法性

目次

Twitter
Mailで保存

行列式の行または列に関する加法性

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)行のそれぞれの成分が2つの実数の和\(b_{ij}+c_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)として表されているものとします。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(b_{ij}\)に置き換えることで得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で、\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(c_{ij}\)に置き換えることで得られる行列を\(C\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)でそれぞれ表記します。つまり、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、これらの行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列式の1つの行のそれぞれの成分が2つの実数の和に分解されているならば、この行列式を、それぞれの数を成分とする2つの行列式の和に分解できます。

命題(行列式の行に関する加法性)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)のそれぞれの成分が2つの実数の和\(b_{ij}+c_{ij}\ \left( j=1,\cdots ,n\right) \)として表されているものとする。\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(b_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で、\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(c_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(C\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(行列式の行に関する加法性)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(2\)行の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
c_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -a_{12}\left( b_{21}+c_{21}\right)
\end{equation*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
c_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
&=&a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}+a_{11}c_{22}-a_{12}c_{21} \\
&=&a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -a_{12}\left( b_{21}+c_{21}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)行の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の行に関する加法性)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31}+c_{31} & b_{32}+c_{32} & b_{33}+c_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(3\)行の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31}+c_{31} & b_{32}+c_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31}+c_{31} & b_{32}+c_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +a_{12}a_{23}\left(
b_{31}+c_{31}\right) +a_{13}a_{21}\left( b_{32}+c_{32}\right) \\
&&-a_{11}a_{23}\left( b_{32}+c_{32}\right) -a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -a_{13}a_{22}\left( b_{31}+c_{31}\right)
\end{eqnarray*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
&&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\\
&=&a_{11}a_{22}b_{33}+a_{12}a_{23}b_{31}+a_{13}a_{21}b_{32}-a_{11}a_{23}b_{32}-a_{12}a_{21}b_{33}-a_{13}a_{22}b_{31}
\\
&&+a_{11}a_{22}c_{33}+a_{12}a_{23}c_{31}+a_{13}a_{21}c_{32}-a_{11}a_{23}c_{32}-a_{12}a_{21}c_{33}-a_{13}a_{22}c_{31}
\\
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +a_{12}a_{23}\left(
b_{31}+c_{31}\right) +a_{13}a_{21}\left( b_{32}+c_{32}\right) \\
&&-a_{11}a_{23}\left( b_{32}+c_{32}\right) -a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -a_{13}a_{22}\left( b_{31}+c_{31}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)行の成分や第\(2\)行の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の行に関する加法性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21}+0 & 0+a_{22}\end{vmatrix}
\\
&=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & a_{22}\end{vmatrix}\quad \because \text{行}2\text{に関する加法性} \\
&=&a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
1 & 0\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & 1\end{vmatrix}\quad \because \text{行}2\text{に関する斉次性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
1 & 0\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & 1\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。

列に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(行列式の列に関する加法性)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)のそれぞれの成分が2つの実数の和\(b_{ij}+c_{ij}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)として表されているものとする。\(A\)の第\(j\)列のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(b_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で、\(A\)の第\(j\)列のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(c_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(C\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(行列式の列に関する加法性)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & b_{12}+c_{12} \\
a_{21} & b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(2\)列の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12}+c_{12} \\
a_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12} \\
a_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & c_{12} \\
a_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12}+c_{12} \\
a_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -\left( b_{12}+c_{12}\right) a_{21}
\end{equation*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12} \\
a_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & c_{12} \\
a_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
&=&a_{11}b_{22}-b_{12}a_{21}+a_{11}c_{22}-c_{12}a_{21} \\
&=&a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -\left( b_{12}+c_{12}\right) a_{21}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)列の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の列に関する加法性)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13}+c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23}+c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}+c_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(3\)列の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13}+c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23}+c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13}+c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23}+c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +b_{12}\left(
b_{23}+c_{23}\right) a_{31}+\left( b_{13}+c_{13}\right) a_{21}a_{32} \\
&&-a_{11}\left( b_{23}+c_{23}\right) a_{32}-a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -\left( b_{13}+c_{13}\right) a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
&&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\\
&=&a_{11}a_{22}b_{33}+a_{12}b_{23}a_{31}+b_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}b_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}b_{33}-b_{13}a_{22}a_{31}
\\
&&+a_{11}a_{22}c_{33}+a_{12}c_{23}a_{31}+c_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}c_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}c_{33}-c_{13}a_{22}a_{31}
\\
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +b_{12}\left(
b_{23}+c_{23}\right) a_{31}+\left( b_{13}+c_{13}\right) a_{21}a_{32} \\
&&-a_{11}\left( b_{23}+c_{23}\right) a_{32}-a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -\left( b_{13}+c_{13}\right) a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)列の成分や第\(2\)列の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の列に関する加法性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}+0 \\
a_{21} & 0+a_{22}\end{vmatrix}
\\
&=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}\quad \because \text{列}2\text{に関する加法性} \\
&=&a_{12}\begin{vmatrix}
a_{11} & 1 \\
a_{21} & 0\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 \\
a_{21} & 1\end{vmatrix}\quad \because \text{列}2\text{に関する斉次性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{12}\begin{vmatrix}
a_{11} & 1 \\
a_{21} & 0\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 \\
a_{21} & 1\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

行列式のある行(列)のスカラー倍を他の行(列)に加える

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、2つの異なる行\(i,j\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分を\(k\)倍して得られる値を第\(j\)行の対応する成分に加えることで得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{j1}+ka_{i1} & a_{j2}+ka_{i2} & \cdots & a_{jn}+ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、両者の行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{j1}+ka_{i1} & a_{j2}+ka_{i2} & \cdots & a_{jn}+ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列式の1つの行のスカラー倍を他の行に加えると、その前後において、行列式の値は変化しません。

命題(行列式のある行のスカラー倍を他の行に加える)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、2つの異なる行\(i,j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分を\(k\)倍して得られる値を第\(j\)行の対応する成分に加えることで得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(行列式のある行のスカラー倍を他の行に加える)
スカラー\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}に関して、先の命題より、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21}+ka_{11} & a_{22}+ka_{12}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21}+ka_{11} & a_{22}+ka_{12}\end{vmatrix}
&=&a_{11}\left( a_{22}+ka_{12}\right) -a_{12}\left( a_{21}+ka_{11}\right) \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}である一方で、右辺については、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。
例(行列式のある行のスカラー倍を他の行に加える)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式を求めます。第\(i\)行のスカラー\(k\)倍を第\(j\)行に加えるという操作を、\begin{equation*}L_{j}\rightarrow L_{j}+kL_{i}
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5-1 & 6-2 & 7-3 & 8-4 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}\quad \because L_{2}\rightarrow L_{2}+\left( -1\right) L_{1} \\
&=&\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 4 & 4 & 4 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}
\\
&=&\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 4 & 4 & 4 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13-9 & 14-10 & 15-11 & 16-12\end{vmatrix}\quad \because L_{4}\rightarrow L_{4}+\left( -1\right) L_{3} \\
&=&\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 4 & 4 & 4 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
4 & 4 & 4 & 4\end{vmatrix}
\\
&=&0\quad \because \text{同一の行を持つ行列式}
\end{eqnarray*}となります。

列に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(行列式のある列のスカラー倍を他の列に加える)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、2つの異なる列\(i,j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)の第\(i\)列のそれぞれの成分を\(k\)倍して得られる値を第\(j\)列の対応する成分に加えることで得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(行列式のある列のスカラー倍を他の行に加える)
スカラー\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}に関して、先の命題より、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}+ka_{11} \\
a_{21} & a_{22}+ka_{21}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}+ka_{11} \\
a_{21} & a_{22}+ka_{21}\end{vmatrix}
&=&a_{11}\left( a_{22}+ka_{21}\right) -\left( a_{12}+ka_{11}\right) a_{21} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}である一方で、右辺については、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。
例(行列式のある列のスカラー倍を他の行に加える)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式を求めます。第\(i\)列のスカラー\(k\)倍を第\(j\)列に加えるという操作を、\begin{equation*}C_{j}\rightarrow C_{j}+kC_{i}
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
1 & 2-1 & 3 & 4 \\
5 & 6-5 & 7 & 8 \\
9 & 10-9 & 11 & 12 \\
13 & 14-13 & 15 & 16\end{vmatrix}\quad \because C_{2}\rightarrow C_{2}+\left( -1\right) C_{1} \\
&=&\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3 & 4 \\
5 & 1 & 7 & 8 \\
9 & 1 & 11 & 12 \\
13 & 1 & 15 & 16\end{vmatrix}
\\
&=&\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3 & 4-3 \\
5 & 1 & 7 & 8-7 \\
9 & 1 & 11 & 12-11 \\
13 & 1 & 15 & 16-15\end{vmatrix}\quad \because C_{4}\rightarrow C_{4}+\left( -1\right) C_{3} \\
&=&\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3 & 1 \\
5 & 1 & 7 & 1 \\
9 & 1 & 11 & 1 \\
13 & 1 & 15 & 1\end{vmatrix}
\\
&=&0\quad \because \text{同一の列を持つ行列式}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(行列式の行または列に関する加法性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
21 & 22 & 23 & 24 & 25\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(行列式の行または列に関する加法性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式に関して、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
1 & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & 1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{23}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & 0 & 1 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(行列式の行または列に関する加法性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式に関して、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{vmatrix}=\left( b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12}\right)
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

行列式の定義

正方行列に対して行列式と呼ばれる値を定義し、それを具体的に求める方法を解説します。

サラスの公式

次数が2または3であるような正方行列に関しては、その行列式の値を求める際にサラスの公式と呼ばれる指針を利用することができます。

転置行列の行列式の値

行列のij成分とji成分を入れ替えることで得られる行列を転置行列と呼びます。正方行列の行列式の値と、その転置行列の行列式の値は一致します。

行列式の行または列に関する交代性

正方行列の2つの行(列)を入れ替えると、その前後において、行列式の値は符号だけが変化します。以上の事実を利用すると、同じ行(列)を持つ正方行列の行列式の値はゼロになることが示されます。

行列式の行または列に関する斉次性

正方行列の1つの行(列)のすべての成分をk倍すると、その前後において、行列式の値はk倍になります。以上の事実は、正方行列のある行(列)が共通因数を持つ場合、それを行列式の外にくくり出せることを同時に意味します。