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行列式

行列式の行または列に関する加法性

目次

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行列式の行または列に関する加法性

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)行のそれぞれの成分が2つの実数の和\(b_{ij}+c_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)として表されているものとします。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(b_{ij}\)に置き換えることで得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で、\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(c_{ij}\)に置き換えることで得られる行列を\(C\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)でそれぞれ表記します。つまり、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、これらの行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列式の1つの行のそれぞれの成分が2つの実数の和に分解されているならば、この行列式を、それぞれの数を成分とする2つの行列式の和に分解できます。

命題(行列式の行に関する加法性)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)のそれぞれの成分が2つの実数の和\(b_{ij}+c_{ij}\ \left( j=1,\cdots ,n\right) \)として表されているものとする。\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(b_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で、\(A\)の第\(i\)行のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(c_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(C\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

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例(行列式の行に関する加法性)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(2\)行の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
c_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -a_{12}\left( b_{21}+c_{21}\right)
\end{equation*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
c_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
&=&a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21}+a_{11}c_{22}-a_{12}c_{21} \\
&=&a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -a_{12}\left( b_{21}+c_{21}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)行の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の行に関する加法性)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31}+c_{31} & b_{32}+c_{32} & b_{33}+c_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(3\)行の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31}+c_{31} & b_{32}+c_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31}+c_{31} & b_{32}+c_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +a_{12}a_{23}\left(
b_{31}+c_{31}\right) +a_{13}a_{21}\left( b_{32}+c_{32}\right) \\
&&-a_{11}a_{23}\left( b_{32}+c_{32}\right) -a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -a_{13}a_{22}\left( b_{31}+c_{31}\right)
\end{eqnarray*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
&&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\\
&=&a_{11}a_{22}b_{33}+a_{12}a_{23}b_{31}+a_{13}a_{21}b_{32}-a_{11}a_{23}b_{32}-a_{12}a_{21}b_{33}-a_{13}a_{22}b_{31}
\\
&&+a_{11}a_{22}c_{33}+a_{12}a_{23}c_{31}+a_{13}a_{21}c_{32}-a_{11}a_{23}c_{32}-a_{12}a_{21}c_{33}-a_{13}a_{22}c_{31}
\\
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +a_{12}a_{23}\left(
b_{31}+c_{31}\right) +a_{13}a_{21}\left( b_{32}+c_{32}\right) \\
&&-a_{11}a_{23}\left( b_{32}+c_{32}\right) -a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -a_{13}a_{22}\left( b_{31}+c_{31}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)行の成分や第\(2\)行の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の行に関する加法性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21}+0 & 0+a_{22}\end{vmatrix}
\\
&=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & a_{22}\end{vmatrix}\quad \because \text{行}2\text{に関する加法性} \\
&=&a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
1 & 0\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & 1\end{vmatrix}\quad \because \text{行}2\text{に関する斉次性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
1 & 0\end{vmatrix}+a_{22}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & 1\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。

列に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(行列式の列に関する加法性)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)のそれぞれの成分が2つの実数の和\(b_{ij}+c_{ij}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)として表されているものとする。\(A\)の第\(j\)列のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(b_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で、\(A\)の第\(j\)列のそれぞれの成分\(b_{ij}+c_{ij}\)を\(c_{ij}\)に入れ替えて得られる行列を\(C\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

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例(行列式の列に関する加法性)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & b_{12}+c_{12} \\
a_{21} & b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(2\)列の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12}+c_{12} \\
a_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12} \\
a_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & c_{12} \\
a_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12}+c_{12} \\
a_{21} & b_{22}+c_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -\left( b_{12}+c_{12}\right) a_{21}
\end{equation*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{12} \\
a_{21} & b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & c_{12} \\
a_{21} & c_{22}\end{vmatrix}
&=&a_{11}b_{22}-b_{12}a_{21}+a_{11}c_{22}-c_{12}a_{21} \\
&=&a_{11}\left( b_{22}+c_{22}\right) -\left( b_{12}+c_{12}\right) a_{21}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)は確かに成立しています。第\(1\)列の成分が2つの実数の和である場合にも同様です。
例(行列式の列に関する加法性)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13}+c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23}+c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}+c_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の第\(3\)列の成分は2つの実数の和であるため、先の命題を適用すると、\begin{equation}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13}+c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23}+c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。実際、サラスの公式を用いて両辺の値をそれぞれ求めると、左辺については、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13}+c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23}+c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}+c_{33}\end{vmatrix}
&=&a_{11}a_{22}\left( b_{33}+c_{33}\right) +b_{12}\left(
b_{23}+c_{23}\right) a_{31}+\left( b_{13}+c_{13}\right) a_{21}a_{32} \\
&&-a_{11}\left( b_{23}+c_{23}\right) a_{32}-a_{12}a_{21}\left(
b_{33}+c_{33}\right) -\left( b_{13}+c_{13}\right) a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}である一方で、右辺については、\begin{eqnarray*}
&&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{13} \\
a_{21} & a_{22} & b_{23} \\
a_{31} & a_{32} & b_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & c_{13} \\
a_{21} & a_{22} & c_{23} \\
a_{31} & a_{32} & c_{33}\end{vmatrix}
\\
&=&a_{11}a_{22}b_{33}+a_{12}b_{23}a_{31}+b_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}b_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}b_{33}-b_{13}a_{22}a_{31}
\\
&