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行列式

行列式の余因子展開(ラプラス展開)

目次

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小行列式と余因子

次数\(n\)の正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)と列\(j\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)から第\(i\)行と第\(j\)列を削除することにより得られる次数\(n-1\)の正方行列を、\begin{equation*}M_{ij}
\end{equation*}で表記します。さらに、その行列式\begin{equation*}
\left\vert M_{ij}\right\vert
\end{equation*}を\(A\)の成分\(a_{ij}\)の小行列式(minor)と呼びます。その上で、\(A\)の成分\(a_{ij}\)の余因子(cofactor)を、\begin{equation*}A_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}\left\vert M_{ij}\right\vert
\end{equation*}と定義します。

例(小行列式と余因子)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =1\cdot
a_{22}=a_{22} \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =\left(
-1\right) a_{21}=-a_{21} \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =\left(
-1\right) a_{12}=-a_{12} \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =1\cdot
a_{11}=a_{11}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
4 & -5 \\
-1 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =1\left(
-2\right) =-2 \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =\left(
-1\right) \left( -1\right) =1 \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =\left(
-1\right) \left( -5\right) =5 \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =1\cdot 4=4
\end{eqnarray*}となります。

例(小行列式と余因子)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=-\left( a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) \\
A_{13} &=&\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert M_{13}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=-\left( a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\right) \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} \\
A_{23} &=&\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert M_{23}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=-\left( a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}\right) \\
A_{31} &=&\left( -1\right) ^{3+1}\left\vert M_{31}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}\end{vmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\
A_{32} &=&\left( -1\right) ^{3+2}\left\vert M_{32}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}=-\left( a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\right) \\
A_{33} &=&\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert M_{33}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 \\
0 & -4 & 2 \\
1 & -1 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =\begin{vmatrix}
-4 & 2 \\
-1 & 5\end{vmatrix}=-18 \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =-\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
1 & 5\end{vmatrix}=2 \\
A_{13} &=&\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert M_{13}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -4 \\
1 & -1\end{vmatrix}=4 \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =-\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
-1 & 5\end{vmatrix}=-11 \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
1 & 5\end{vmatrix}=14 \\
A_{23} &=&\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert M_{23}\right\vert =-\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1\end{vmatrix}=5 \\
A_{31} &=&\left( -1\right) ^{3+1}\left\vert M_{31}\right\vert =\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
-4 & 2\end{vmatrix}=10 \\
A_{32} &=&\left( -1\right) ^{3+2}\left\vert M_{32}\right\vert =-\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
0 & 2\end{vmatrix}=-4 \\
A_{33} &=&\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert M_{33}\right\vert =\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
0 & -4\end{vmatrix}=-8
\end{eqnarray*}となります。

 

行列式の余因子展開(ラプラス展開)

次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選びます。第\(i\)行のそれぞれの成分\(a_{ij}\ \left(j=1,\cdots ,n\right) \)に対して余因子\(A_{ij}\)を計算することにより、以下の展開式\begin{equation*}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
\end{equation*}の値を計算できますが、実は、この展開式の値は\(A\)の行列式の値と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。右辺を\(A\)の行列式の\(i\)行に沿った余因子展開(cofactor expansion along the \(i\) th row)やラプラス展開(Laplace expansion)などと呼びます。任意の行\(i\)について同様の関係が成り立つことに注意してください。

命題(行列式の行に沿った余因子展開)
正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
証明

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例(行列式の行に沿った余因子展開)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{12}\left\vert A_{12}\right\vert \quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert a_{22}\right\vert +a_{12}\left(
-1\right) ^{1+2}\left\vert a_{21}\right\vert \quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\quad \because \text{行列式の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。第\(2\)行に沿った余因子展開についても同様です。
例(行列式の行に沿った余因子展開)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{12}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{13}\left\vert A_{13}\right\vert
\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{12}\left( -1\right) ^{1+2}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\left( -1\right) ^{1+3}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{12}\left(
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) +a_{13}\left(
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right) \quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。他の行に沿った余因子展開についても同様です。

例(行列式の行に沿った余因子展開)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めるために第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+2\left( -1\right) ^{1+2}\begin{vmatrix}
4 & 3 \\
2 & -1\end{vmatrix}+3\left( -1\right) ^{1+3}\begin{vmatrix}
4 & -2 \\
2 & 5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&\left( 2-15\right) -2\left( -4-6\right) +3\left( 20+4\right) \quad
\because \text{行列式の定義} \\
&=&79
\end{eqnarray*}となります。

次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、列\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選びます。第\(j\)列のそれぞれの成分\(a_{ij}\ \left(i=1,\cdots ,n\right) \)に対して余因子\(A_{ij}\)を計算することにより、以下の展開式\begin{equation*}a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
\end{equation*}の値を計算できますが、実は、この展開式の値は\(A\)の行列式の値と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。右辺を\(A\)の行列式の\(j\)列に沿った余因子展開(cofactor expansion along the \(j\) th colum)やラプラス展開(Laplace expansion)などと呼びます。任意の列\(j\)について同様の関係が成り立つことに注意してください。

命題(行列式の列に沿った余因子展開)
正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の行\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
証明

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例(行列式の列に沿った余因子展開)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{21}\left\vert A_{21}\right\vert \quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert a_{22}\right\vert +a_{21}\left(
-1\right) ^{1+2}\left\vert a_{12}\right\vert \quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。第\(2\)列に沿った余因子展開についても同様です。
例(行列式の列に沿った余因子展開)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\v