小行列式と余因子
次数\(n\)の正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)と列\(j\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)から第\(i\)行と第\(j\)列を削除することにより得られる次数\(n-1\)の正方行列を、\begin{equation*}M_{ij}
\end{equation*}で表記します。さらに、その行列式\begin{equation*}
\left\vert M_{ij}\right\vert
\end{equation*}を\(A\)の成分\(a_{ij}\)の小行列式（minor）と呼びます。その上で、\(A\)の成分\(a_{ij}\)の余因子（cofactor）を、\begin{equation*}A_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}\left\vert M_{ij}\right\vert
\end{equation*}と定義します。
例（小行列式と余因子）
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =1\cdot
a_{22}=a_{22} \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =\left(
-1\right) a_{21}=-a_{21} \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =\left(
-1\right) a_{12}=-a_{12} \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =1\cdot
a_{11}=a_{11}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
4 & -5 \\
-1 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =1\left(
-2\right) =-2 \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =\left(
-1\right) \left( -1\right) =1 \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =\left(
-1\right) \left( -5\right) =5 \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =1\cdot 4=4
\end{eqnarray*}となります。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =1\cdot
a_{22}=a_{22} \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =\left(
-1\right) a_{21}=-a_{21} \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =\left(
-1\right) a_{12}=-a_{12} \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =1\cdot
a_{11}=a_{11}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
4 & -5 \\
-1 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =1\left(
-2\right) =-2 \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =\left(
-1\right) \left( -1\right) =1 \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =\left(
-1\right) \left( -5\right) =5 \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =1\cdot 4=4
\end{eqnarray*}となります。
例（小行列式と余因子）
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=-\left( a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) \\
A_{13} &=&\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert M_{13}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=-\left( a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\right) \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} \\
A_{23} &=&\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert M_{23}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=-\left( a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}\right) \\
A_{31} &=&\left( -1\right) ^{3+1}\left\vert M_{31}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}\end{vmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\
A_{32} &=&\left( -1\right) ^{3+2}\left\vert M_{32}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}=-\left( a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\right) \\
A_{33} &=&\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert M_{33}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 \\
0 & -4 & 2 \\
1 & -1 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =\begin{vmatrix}
-4 & 2 \\
-1 & 5\end{vmatrix}=-18 \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =-\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
1 & 5\end{vmatrix}=2 \\
A_{13} &=&\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert M_{13}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -4 \\
1 & -1\end{vmatrix}=4 \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =-\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
-1 & 5\end{vmatrix}=-11 \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
1 & 5\end{vmatrix}=14 \\
A_{23} &=&\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert M_{23}\right\vert =-\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1\end{vmatrix}=5 \\
A_{31} &=&\left( -1\right) ^{3+1}\left\vert M_{31}\right\vert =\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
-4 & 2\end{vmatrix}=10 \\
A_{32} &=&\left( -1\right) ^{3+2}\left\vert M_{32}\right\vert =-\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
0 & 2\end{vmatrix}=-4 \\
A_{33} &=&\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert M_{33}\right\vert =\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
0 & -4\end{vmatrix}=-8
\end{eqnarray*}となります。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}のそれぞれの成分の余因子は、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=-\left( a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) \\
A_{13} &=&\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert M_{13}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=-\left( a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\right) \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} \\
A_{23} &=&\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert M_{23}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}=-\left( a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}\right) \\
A_{31} &=&\left( -1\right) ^{3+1}\left\vert M_{31}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}\end{vmatrix}=a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\
A_{32} &=&\left( -1\right) ^{3+2}\left\vert M_{32}\right\vert =-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}=-\left( a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\right) \\
A_{33} &=&\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert M_{33}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 \\
0 & -4 & 2 \\
1 & -1 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A_{11} &=&\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert M_{11}\right\vert =\begin{vmatrix}
-4 & 2 \\
-1 & 5\end{vmatrix}=-18 \\
A_{12} &=&\left( -1\right) ^{1+2}\left\vert M_{12}\right\vert =-\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
1 & 5\end{vmatrix}=2 \\
A_{13} &=&\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert M_{13}\right\vert =\begin{vmatrix}
0 & -4 \\
1 & -1\end{vmatrix}=4 \\
A_{21} &=&\left( -1\right) ^{2+1}\left\vert M_{21}\right\vert =-\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
-1 & 5\end{vmatrix}=-11 \\
A_{22} &=&\left( -1\right) ^{2+2}\left\vert M_{22}\right\vert =\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
1 & 5\end{vmatrix}=14 \\
A_{23} &=&\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert M_{23}\right\vert =-\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1\end{vmatrix}=5 \\
A_{31} &=&\left( -1\right) ^{3+1}\left\vert M_{31}\right\vert =\begin{vmatrix}
3 & -4 \\
-4 & 2\end{vmatrix}=10 \\
A_{32} &=&\left( -1\right) ^{3+2}\left\vert M_{32}\right\vert =-\begin{vmatrix}
2 & -4 \\
0 & 2\end{vmatrix}=-4 \\
A_{33} &=&\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert M_{33}\right\vert =\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
0 & -4\end{vmatrix}=-8
\end{eqnarray*}となります。
行列式の余因子展開（ラプラス展開）
次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選びます。第\(i\)行のそれぞれの成分\(a_{ij}\ \left(j=1,\cdots ,n\right) \)に対して余因子\(A_{ij}\)を計算することにより、以下の展開式\begin{equation*}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
\end{equation*}の値を計算できますが、実は、この展開式の値は\(A\)の行列式の値と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。右辺を\(A\)の行列式の第\(i\)行に沿った余因子展開（cofactor expansion along the \(i\) th row）やラプラス展開（Laplace expansion）などと呼びます。任意の行\(i\)について同様の関係が成り立つことに注意してください。
命題（行列式の行に沿った余因子展開）
正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
例（行列式の行に沿った余因子展開）
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{12}\left\vert A_{12}\right\vert \quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert a_{22}\right\vert +a_{12}\left(
-1\right) ^{1+2}\left\vert a_{21}\right\vert \quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\quad \because \text{行列式の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。第\(2\)行に沿った余因子展開についても同様です。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{12}\left\vert A_{12}\right\vert \quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert a_{22}\right\vert +a_{12}\left(
-1\right) ^{1+2}\left\vert a_{21}\right\vert \quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\quad \because \text{行列式の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。第\(2\)行に沿った余因子展開についても同様です。
例（行列式の行に沿った余因子展開）
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{12}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{13}\left\vert A_{13}\right\vert
\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{12}\left( -1\right) ^{1+2}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\left( -1\right) ^{1+3}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{12}\left(
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) +a_{13}\left(
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right) \quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。他の行に沿った余因子展開についても同様です。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{12}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{13}\left\vert A_{13}\right\vert
\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{12}\left( -1\right) ^{1+2}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\left( -1\right) ^{1+3}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{12}\left(
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) +a_{13}\left(
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right) \quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。他の行に沿った余因子展開についても同様です。
例（行列式の行に沿った余因子展開）
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めるために第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+2\left( -1\right) ^{1+2}\begin{vmatrix}
4 & 3 \\
2 & -1\end{vmatrix}+3\left( -1\right) ^{1+3}\begin{vmatrix}
4 & -2 \\
2 & 5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&\left( 2-15\right) -2\left( -4-6\right) +3\left( 20+4\right) \quad
\because \text{行列式の定義} \\
&=&79
\end{eqnarray*}となります。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めるために第\(1\)行に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+2\left( -1\right) ^{1+2}\begin{vmatrix}
4 & 3 \\
2 & -1\end{vmatrix}+3\left( -1\right) ^{1+3}\begin{vmatrix}
4 & -2 \\
2 & 5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&\left( 2-15\right) -2\left( -4-6\right) +3\left( 20+4\right) \quad
\because \text{行列式の定義} \\
&=&79
\end{eqnarray*}となります。
次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、列\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選びます。第\(j\)列のそれぞれの成分\(a_{ij}\ \left(i=1,\cdots ,n\right) \)に対して余因子\(A_{ij}\)を計算することにより、以下の展開式\begin{equation*}a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
\end{equation*}の値を計算できますが、実は、この展開式の値は\(A\)の行列式の値と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。右辺を\(A\)の行列式の第\(j\)列に沿った余因子展開（cofactor expansion along the \(j\) th colum）やラプラス展開（Laplace expansion）などと呼びます。任意の列\(j\)について同様の関係が成り立つことに注意してください。
命題（行列式の列に沿った余因子展開）
正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の行\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
例（行列式の列に沿った余因子展開）
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{21}\left\vert A_{21}\right\vert \quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert a_{22}\right\vert +a_{21}\left(
-1\right) ^{1+2}\left\vert a_{12}\right\vert \quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。第\(2\)列に沿った余因子展開についても同様です。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{21}\left\vert A_{21}\right\vert \quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\left\vert a_{22}\right\vert +a_{21}\left(
-1\right) ^{1+2}\left\vert a_{12}\right\vert \quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。第\(2\)列に沿った余因子展開についても同様です。
例（行列式の列に沿った余因子展開）
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{21}\left\vert A_{21}\right\vert +a_{31}\left\vert A_{31}\right\vert
\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{21}\left( -1\right) ^{2+1}\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{31}\left( -1\right) ^{3+1}\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{21}\left(
a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\right) +a_{31}\left(
a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\right) \quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。他の列に沿った余因子展開についても同様です。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式\(\left\vert A\right\vert \)を第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&a_{11}\left\vert A_{11}\right\vert
+a_{21}\left\vert A_{21}\right\vert +a_{31}\left\vert A_{31}\right\vert
\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{21}\left( -1\right) ^{2+1}\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{31}\left( -1\right) ^{3+1}\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{21}\left(
a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\right) +a_{31}\left(
a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\right) \quad \because \text{行列式の定義} \\
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となりますが、これが正しいことはサラスの公式より明らかです。他の列に沿った余因子展開についても同様です。
例（行列式の列に沿った余因子展開）
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めるために第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+4\left( -1\right) ^{2+1}\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+2\left( -1\right) ^{3+1}\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
-2 & 3\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&\left( 2-15\right) -4\left( -2-15\right) +2\left( 6+6\right) \quad
\because \text{行列式の定義} \\
&=&79
\end{eqnarray*}となります。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めるために第\(1\)列に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & -2 & 3 \\
2 & 5 & -1\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{1+1}\begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+4\left( -1\right) ^{2+1}\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
5 & -1\end{vmatrix}+2\left( -1\right) ^{3+1}\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
-2 & 3\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&\left( 2-15\right) -4\left( -2-15\right) +2\left( 6+6\right) \quad
\because \text{行列式の定義} \\
&=&79
\end{eqnarray*}となります。
次数\(n\)の正方行列の行列式の値を求める際には、それを余因子展開することにより、\(n\)個の次数\(n-1\)の正方行列の行列式を求めることへ帰着できます。さらに、\(0\)を成分として持つ行または列に沿って行列式を余因子展開すれば、その成分を因数として持つ項もまた\(0\)になるため計算がさらに簡略化されます。
例（行列式の余因子展開）
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めます。余因子展開を見据えて\(0\)を成分として持つ形へ変形すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
3-3\cdot 1 & 2-3\cdot 2 & 1-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+\left( -3\right) R_{4} \\
&=&\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
-1+1 & 4+2 & 3+2 & -2+3 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+1\cdot R_{4} \\
&=&\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
0 & 6 & 5 & 1 \\
2-2\cdot 1 & 1-2\cdot 2 & 4-2\cdot 2 & 1-2\cdot 3 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\quad \because R_{3}\rightarrow R_{3}+\left( -2\right) R_{4} \\
&=&\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
0 & 6 & 5 & 1 \\
0 & -3 & 0 & -5 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\end{eqnarray*}となります。列\(1\)に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
0 & 6 & 5 & 1 \\
0 & -3 & 0 & -5 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{4+1}\begin{vmatrix}
-4 & -5 & -8 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&-\begin{vmatrix}
-4 & -5 & -8 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}
\\
&=&-\begin{vmatrix}
-4+6 & -5+5 & -8+1 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}\quad \because L_{1}\rightarrow L_{1}+1\cdot L_{2} \\
&=&-\begin{vmatrix}
2 & 0 & -7 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}\end{eqnarray*}となります。さらに、列\(2\)に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}-\begin{vmatrix}
2 & 0 & -7 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}
&=&-5\left( -1\right) ^{2+2}\begin{vmatrix}
2 & -7 \\
-3 & -5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&155
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}=155
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めます。余因子展開を見据えて\(0\)を成分として持つ形へ変形すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}
&=&\begin{vmatrix}
3-3\cdot 1 & 2-3\cdot 2 & 1-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\quad \because R_{1}\rightarrow R_{1}+\left( -3\right) R_{4} \\
&=&\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
-1+1 & 4+2 & 3+2 & -2+3 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\quad \because R_{2}\rightarrow R_{2}+1\cdot R_{4} \\
&=&\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
0 & 6 & 5 & 1 \\
2-2\cdot 1 & 1-2\cdot 2 & 4-2\cdot 2 & 1-2\cdot 3 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\quad \because R_{3}\rightarrow R_{3}+\left( -2\right) R_{4} \\
&=&\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
0 & 6 & 5 & 1 \\
0 & -3 & 0 & -5 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}\end{eqnarray*}となります。列\(1\)に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
0 & -4 & -5 & -8 \\
0 & 6 & 5 & 1 \\
0 & -3 & 0 & -5 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}
&=&1\left( -1\right) ^{4+1}\begin{vmatrix}
-4 & -5 & -8 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&-\begin{vmatrix}
-4 & -5 & -8 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}
\\
&=&-\begin{vmatrix}
-4+6 & -5+5 & -8+1 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}\quad \because L_{1}\rightarrow L_{1}+1\cdot L_{2} \\
&=&-\begin{vmatrix}
2 & 0 & -7 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}\end{eqnarray*}となります。さらに、列\(2\)に沿って余因子展開すると、\begin{eqnarray*}-\begin{vmatrix}
2 & 0 & -7 \\
6 & 5 & 1 \\
-3 & 0 & -5\end{vmatrix}
&=&-5\left( -1\right) ^{2+2}\begin{vmatrix}
2 & -7 \\
-3 & -5\end{vmatrix}\quad \because \text{余因子展開} \\
&=&155
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 4 & 3 & -2 \\
2 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 3\end{vmatrix}=155
\end{equation*}であることが明らかになりました。
余因子展開とは異なる形での正方行列の展開
次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、2つの異なる行\(i,k\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選びます。第\(k\)行のそれぞれの成分\(a_{kj}\ \left( j=1,\cdots ,n\right) \)に、第\(i\)行の対応する成分\(a_{ij}\)の余因子\(A_{ij}\)を掛けた上でそれらの総和をとると、以下の展開式\begin{equation*}a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots +a_{kn}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}a_{kj}A_{ij}
\end{equation*}を得ます。\(i\not=k\)であるため、これは\(A\)の余因数展開ではありません。実は、この展開式の値は\(0\)になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots +a_{kn}A_{in}=0
\end{equation*}が成り立つということです。任意の異なる2つの行\(i,k\)について同様の関係が成り立つことに注意してください。
命題（余因子展開とは異なる形での行に沿った展開）
正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の2つの異なる行\(i,k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots +a_{kn}A_{in}=0
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( j=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
例（余因子展開とは異なる形での行に沿った展開）
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の2つの異なる行\(1,2\)に注目すると、先の命題より、\begin{equation*}a_{11}\left\vert A_{21}\right\vert +a_{12}\left\vert A_{22}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{11}\left\vert A_{21}\right\vert +a_{12}\left\vert A_{22}\right\vert
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{2+1}a_{12}+a_{12}\left( -1\right)
^{2+2}a_{11}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&-a_{11}a_{12}+a_{12}a_{11} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。同様に、\begin{equation*}
a_{21}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{12}\right\vert =0
\end{equation*}もまた成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{21}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{12}\right\vert
&=&a_{21}\left( -1\right) ^{1+1}a_{22}+a_{22}\left( -1\right) ^{1+2}a_{21} \\
&=&a_{21}a_{22}-a_{22}a_{21} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の2つの異なる行\(1,2\)に注目すると、先の命題より、\begin{equation*}a_{11}\left\vert A_{21}\right\vert +a_{12}\left\vert A_{22}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{11}\left\vert A_{21}\right\vert +a_{12}\left\vert A_{22}\right\vert
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{2+1}a_{12}+a_{12}\left( -1\right)
^{2+2}a_{11}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&-a_{11}a_{12}+a_{12}a_{11} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。同様に、\begin{equation*}
a_{21}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{12}\right\vert =0
\end{equation*}もまた成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{21}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{12}\right\vert
&=&a_{21}\left( -1\right) ^{1+1}a_{22}+a_{22}\left( -1\right) ^{1+2}a_{21} \\
&=&a_{21}a_{22}-a_{22}a_{21} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。
次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、2つの異なる列\(j,k\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選びます。第\(k\)列のそれぞれの成分\(a_{ik}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)に、第\(j\)列の対応する成分\(a_{ij}\)の余因子\(A_{ij}\)を掛けた上でそれらの総和をとると、以下の展開式\begin{equation*}a_{1k}A_{1j}+a_{2k}A_{2j}+\cdots +a_{nk}A_{nj}=\sum_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ij}
\end{equation*}を得ます。\(j\not=k\)であるため、これは\(A\)の余因数展開ではありません。実は、この展開式の値は\(0\)になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}a_{1k}A_{1j}+a_{2k}A_{2j}+\cdots +a_{nk}A_{nj}=0
\end{equation*}が成り立つということです。任意の異なる2つの列\(j,k\)について同様の関係が成り立つことに注意してください。
命題（余因子展開とは異なる形での列に沿った展開）
正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、任意の2つの異なる列\(j,k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}a_{1k}A_{1j}+a_{2k}A_{2j}+\cdots +a_{nk}A_{nj}=0
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( i=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(A_{ij}\ \left( i=1,\cdots,n\right) \)は成分\(a_{ij}\)の余因子である。
例（余因子展開とは異なる形での列に沿った展開）
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の2つの異なる列\(1,2\)に注目すると、先の命題より、\begin{equation*}a_{11}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{21}\left\vert A_{22}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{11}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{21}\left\vert A_{22}\right\vert
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+2}a_{21}+a_{21}\left( -1\right)
^{2+2}a_{11}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&-a_{11}a_{21}+a_{21}a_{11} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。同様に、\begin{equation*}
a_{12}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{21}\right\vert =0
\end{equation*}もまた成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{12}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{21}\right\vert
&=&a_{12}\left( -1\right) ^{1+1}a_{22}+a_{22}\left( -1\right) ^{2+1}a_{12} \\
&=&a_{12}a_{22}-a_{22}a_{12} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の2つの異なる列\(1,2\)に注目すると、先の命題より、\begin{equation*}a_{11}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{21}\left\vert A_{22}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{11}\left\vert A_{12}\right\vert +a_{21}\left\vert A_{22}\right\vert
&=&a_{11}\left( -1\right) ^{1+2}a_{21}+a_{21}\left( -1\right)
^{2+2}a_{11}\quad \because \text{余因子の定義} \\
&=&-a_{11}a_{21}+a_{21}a_{11} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。同様に、\begin{equation*}
a_{12}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{21}\right\vert =0
\end{equation*}もまた成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
a_{12}\left\vert A_{11}\right\vert +a_{22}\left\vert A_{21}\right\vert
&=&a_{12}\left( -1\right) ^{1+1}a_{22}+a_{22}\left( -1\right) ^{2+1}a_{12} \\
&=&a_{12}a_{22}-a_{22}a_{12} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため主張は成り立ちます。
演習問題
問題（行列式の余因子展開）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{3} \\
\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & -1 \\
1 & -4 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。
A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{3} \\
\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & -1 \\
1 & -4 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。
問題（行列式の余因子展開）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 & -3 & -2 \\
-2 & -3 & 2 & -5 \\
1 & 3 & -2 & 2 \\
-1 & -6 & 4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 & -3 & -2 \\
-2 & -3 & 2 & -5 \\
1 & 3 & -2 & 2 \\
-1 & -6 & 4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。
問題（行列式の余因子展開）
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する以下の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
x+3 & -1 & 1 \\
5 & x-3 & 1 \\
6 & -6 & x+4\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。
x+3 & -1 & 1 \\
5 & x-3 & 1 \\
6 & -6 & x+4\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。
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