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行列式

行列式を用いた連立1次方程式の解法(クラーメルの法則)

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連立1次方程式の定義

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行列式を用いた連立1次方程式の解法(クラーメルの法則)

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、変数の個数と1次方程式の個数がともに\(n\)であるような連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。変数の係数を取り出して並べることにより、以下のような次数\(n\)の正方行列\begin{equation*}\Delta =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られますが、これを連立方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列(coefficient matrix)と呼びます。

以下では係数行列\(\Delta \)の行列式の値が\(0\)ではないものと仮定します。つまり、\begin{equation}\left\vert \Delta \right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\not=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}の場合を想定するということです。

変数\(x_{j}\ \left( j=1,2,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだ上で、連立方程式\(\left( 1\right) \)における\(x_{j}\)の係数\begin{equation}a_{1j},a_{2j},\cdots ,a_{nj} \quad \cdots (3)
\end{equation}をすべて取り出します。これは係数行列\(\Delta \)の第\(j\)列の成分に相当します。その上で、\(\left( 3\right) \)のそれぞれの成分の余因子\begin{equation*}A_{1j},A_{2j},\cdots ,A_{nj}
\end{equation*}を計算します。さらに、\(A_{1j}\)を\(\left( 1\right) \)の最初の式の両辺に掛けて、\(A_{2j}\)を\(\left( 2\right) \)の2番目の式の両辺に掛けて、\(\cdots \)、\(A_{nj}\)を\(\left( 1\right) \)の最後の式の両辺に掛けると、\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}A_{1j}x_{1}+a_{12}A_{1j}x_{2}+\cdots +a_{1n}A_{1j}x_{n}=b_{1}A_{1j} \\
a_{21}A_{2j}x_{1}+a_{22}A_{2j}x_{2}+\cdots +a_{2n}A_{2j}x_{n}=b_{2}A_{2j} \\
\vdots \\
a_{n1}A_{nj}x_{1}+a_{n2}A_{nj}x_{2}+\cdots +a_{nn}A_{nj}x_{n}=b_{n}A_{nj}\end{array}\right. \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。これらの式をすべて加えて整理すると、以下の1次方程式\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^{n}a_{i1}A_{ij}\right) x_{1}+\left(
\sum_{i=1}^{n}a_{i2}A_{ij}\right) x_{2}+\cdots +\left(
\sum_{i=1}^{n}a_{in}A_{ij}\right) x_{n}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}A_{ij} \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。\(\left( 5\right) \)の左辺中の変数\(x_{j}\)の係数は、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}
\end{equation*}ですが、これは係数行列\(\Delta \)の第\(j\)列に沿った余因子展開であるため、\begin{equation*}\left\vert \Delta \right\vert =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}
\end{equation*}という関係が成立します。一方、\(\left( 5\right) \)の左辺の\(x_{j}\)以外の変数\(x_{l}\ \left( l\not=j\right) \)の係数は、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{il}A_{ij}=a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots +a_{nl}A_{nj}
\end{equation*}ですが、これは係数行列\(\Delta \)の異なる2つの異なる行\(l,j\)に関する余因子展開とは異なる展開式であるため、\begin{equation*}a_{1l}A_{1j}+a_{2l}A_{2j}+\cdots +a_{nl}A_{nj}=0
\end{equation*}となります。以上より、\(\left( 5\right) \)は、\begin{equation*}\left\vert \Delta \right\vert x_{j}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}A_{ij}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert \Delta \right\vert x_{j}=b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+\cdots
+b_{n}A_{nj}
\end{equation*}となります。仮定\(\left(2\right) \)より\(\left\vert \Delta \right\vert \not=0\)であるため、\begin{equation}x_{j}=\frac{b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+\cdots +b_{n}A_{nj}}{\left\vert \Delta
\right\vert } \quad \cdots (6)
\end{equation}であることが明らかになりました。

係数行列\(\Delta \)の第\(j\)列の項\(a_{1j},a_{2j},\cdots ,a_{nj}\)を連立方程式\(\left( 1\right) \)の定数項\(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\)にそれぞれ置き換えることで得られる次数\(n\)の正方行列を、\begin{equation*}\Delta _{j}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}で表記します。行列\(\Delta _{j}\)の第\(j\)行以外のすべての成分は係数行列\(\Delta \)と一致することを踏まえた上で\(\Delta _{j}\)を第\(j\)列に沿って余因子展開すると、\begin{equation*}\left\vert \Delta _{j}\right\vert =b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+\cdots
+b_{n}A_{nj}
\end{equation*}を得ます。これを用いて\(\left( 6\right) \)を用いると、\begin{equation}x_{j}=\frac{\left\vert \Delta _{j}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert } \quad \cdots (7)
\end{equation}となります。任意の変数\(x_{j}\ \left( j=1,2,\cdots ,n\right) \)について同様の議論が成立するため、\(\left( 7\right) \)が連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の解であることが明らかになりました。これをクラーメルの法則(Cramer’s rule)と呼びます。

命題(クラーメルの法則)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、変数の個数と1次方程式の個数がともに\(n\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を任意に選ぶ。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数である。この連立1次方程式の係数行列を、\begin{equation*}\Delta =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義し、それぞれの列\(j\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)について、\(\Delta \)の第\(j\)列を連立1次方程式の定数項からなる列に置き換えて得られる行列を、\begin{equation*}\Delta _{j}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\quad \left( j=1,2,\cdots ,n\right)
\end{equation*}で表記する。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\left\vert \Delta \right\vert \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合、この連立1次方程式の解は、\begin{equation*}
x_{j}=\frac{\left\vert \Delta _{j}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }\quad \left( j=1,2,\cdots ,n\right)
\end{equation*}で与えられる。

クラーメルの公式は、変数の個数と1次方程式の個数が同数であるような連立1次方程式の解を与える公式です。変数の個数と1次方程式の個数が異なる連立1次方程式に関しては、クラーメルの公式とは異なるアプローチのもとで解くことになります。詳細は場を改めて解説します。

例(クラーメルの公式)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
2x_{1}-3x_{2}=7 \\
3x_{1}+5x_{2}=1\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。係数行列は、\begin{equation*}
\Delta =\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
3 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}であり、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert \Delta \right\vert =\begin{vmatrix}
2 & -3 \\
3 & 5\end{vmatrix}=19
\end{equation*}となります。これは\(0\)ではないためクラーメルの公式が適用可能です。具体的には、\begin{eqnarray*}\left\vert \Delta _{1}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
7 & -3 \\
1 & 5\end{vmatrix}=38 \\
\left\vert \Delta _{2}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
2 & 7 \\
3 & 1\end{vmatrix}=-19
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{\left\vert \Delta _{x}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }=\frac{38}{19}=2 \\
x_{2} &=&\frac{\left\vert \Delta _{y}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }=\frac{-19}{19}=-1
\end{eqnarray*}となります。

例(クラーメルの公式)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
2x_{1}-3x_{2}+4x_{3}=13 \\
-x_{1}+5x_{2}-x_{3}=0 \\
3x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=4\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。係数行列は、\begin{equation*}
\Delta =\begin{pmatrix}
2 & -3 & 4 \\
-1 & 5 & -1 \\
3 & 4 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}であり、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert \Delta \right\vert =\begin{vmatrix}
2 & -3 & 4 \\
-1 & 5 & -1 \\
3 & 4 & -2\end{vmatrix}=-73
\end{equation*}となります。これは\(0\)ではないためクラーメルの公式が適用可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}\left\vert \Delta _{1}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
13 & -3 & 4 \\
0 & 5 & -1 \\
4 & 4 & -2\end{vmatrix}=-146 \\
\left\vert \Delta _{2}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
2 & 13 & 4 \\
-1 & 0 & -1 \\
3 & 4 & -2\end{vmatrix}=-73 \\
\left\vert \Delta _{3}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
2 & -3 & 13 \\
-1 & 5 & 0 \\
3 & 4 & 4\end{vmatrix}=-219
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\frac{\left\vert \Delta _{1}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }=\frac{-146}{-73}=2 \\
x_{2} &=&\frac{\left\vert \Delta _{2}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }=\frac{-73}{-73}=1 \\
x_{3} &=&\frac{\left\vert \Delta _{3}\right\vert }{\left\vert \Delta
\right\vert }=\frac{-219}{-73}=3
\end{eqnarray*}となります。

 

係数行列の行列式の値がゼロである場合

クラーメルの公式は、係数行列の行列式の値が非ゼロであるような連立1次方程式にのみ適用可能です。係数行列の行列式の値がゼロである場合、そのような連立1次方程式は解を持たないか、あるいは、無数の解を持ちます。以下の例より明らかです。

例(クラーメルの公式)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}=1 \\
x_{1}+x_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列は、\begin{equation*}
\Delta =\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert \Delta \right\vert =0
\end{equation*}となります。したがって、この連立1次方程式に対してクラーメルの公式を適用できません。ちなみに、この連立1次方程式は解を持ちません(確認してください)。

例(クラーメルの公式)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}=1 \\
-x_{1}-x_{2}=-1\end{array}\right.
\end{equation*}の係数行列は、\begin{equation*}
\Delta =\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert \Delta \right\vert =0
\end{equation*}となります。したがって、この連立1次方程式に対してクラーメルの公式を適用できません。ちなみに、この連立1次方程式は無数の解を持ちます(確認してください)。

以上の例から明らかであるように、係数行列の行列式の値のみから、連立1次方程式が解を持つかどうかを判定することはできません。

 

演習問題

例(クラーメルの公式)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
3x_{1}+5x_{2}=8 \\
4x_{1}-2x_{2}=1\end{array}\right.
\end{equation*}の解を求めてください。

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例(クラーメルの公式)
以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=1 \\
3x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=8 \\
x_{1}-2x_{2}-3x_{3}=-1\end{array}\right.
\end{equation*}の解を求めてください。

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