行列式を用いた正則行列の判定と逆行列の導出

正則行列の判定と逆行列の導出

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(A\)を正則行列と呼びます。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則である場合には、定義より、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在します。これを\(A\)の逆行列と呼び、\begin{equation*}A^{-1}
\end{equation*}で表記します。つまり、正方行列\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)とは、以下の条件\begin{equation*}AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列として定義されます。

正方行列が正則であることは様々な形で表現可能です。これまで明らかになったものをまとめます。

正則行列\(A\)が正則であるものとします。この場合、\(A\)の行標準形は単位行列\(I_{n}\)であるため、\(A\)に対してガウス・ジョルダンの消去法を適用すれば単位行列\(I_{n}\)が得られます。消去法を構成する個々の行基本操作に対応する行基本行列を\(E_{1},E_{2},\cdots ,E_{p}\)で表記します。つまり、\begin{equation*}I_{n}=E_{p}\cdots E_{2}E_{1}A
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\(A\)の逆行列が、\begin{equation*}A^{-1}=E_{p}\cdots E_{2}E_{1}I_{n}
\end{equation*}として定まることが保証されるため、\(A\)から\(I_{n}\)を得るために適用した行基本操作をそのまま\(I_{n}\)に対して適用すれば\(A^{-1}\)が得られます。

行列式を用いた正則行列の判定

正方行列が正則であることは行列式を用いて判定することもできます。順番に解説します。

行列の行基本操作とは以下の3種類の操作\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ R_{i}\leftrightarrow R_{j} \\
&&\left( R_{2}\right) \ R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)
\\
&&\left( R_{3}\right) \ R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}
\end{eqnarray*}の総称です。行列\(A\)に対して行基本操作を有限回適用することで行列\(B\)が得られる場合、\(A\)は\(B\)と行同値であると言います。

単位行列\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して行基本操作\(\left( R_{1}\right) ,\left( R_{2}\right) ,\left( R_{3}\right) \)の中の1つを適用することにより行列\(E\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が得られる場合、このような行列\(E\)を行基本行列と呼びます。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)と行基本行列\(E\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left\vert EA\right\vert =\left\vert E\right\vert \left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、正方行列\(A\)に対して行基本行列\(E\)に対応する行基本操作を行うことにより得られる行列の行列式の値\(\left\vert EA\right\vert \)は、個々の行列の行列式の値どうしの積\(\left\vert E\right\vert \left\vert A\right\vert \)と一致します。

以上の命題を踏まえた上で以下を示します。

以上の命題を踏まえた上で以下を示します。

余因子行列

行列式を用いて正方行列が正則であることを判定する方法が明らかになりました。では、正方行列が正則であることが判明した場合、行列式を用いて逆行列を具体的に求めることはできるのでしょうか。まずは必要な概念を整備します。

次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n,n}\)が与えられたとき、それぞれの成分\(a_{ij}\ \left( i,j=1,\cdots ,n\right) \)の余因子は、\begin{equation*}A_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}\left\vert M_{ij}\right\vert
\end{equation*}と定義されます。ただし、\(M_{ij}\)は\(A\)から第\(i\)行と第\(j\)列を削除することにより得られる次数\(n-1\)の正方行列です。\(A\)のそれぞれの成分\(a_{ij}\)に対して余因子\(A_{ij}\)を計算することにより、\(A_{ij}\)を\(ij\)成分とする次数\(n\)の正方行列\begin{equation*}\left( A_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{11} & \cdots & A_{1n} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。さらにこの正方行列の転置行列を、\begin{equation*}
\mathrm{adj}\left( A\right) =\left( A_{ij}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)の余因子行列（cofactor matrix）と呼びます。つまり、\begin{equation*}\mathrm{adj}\left( A\right) =\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。

余因子行列を用いた逆行列の導出

正方行列が正則である場合、その逆行列は余因子行列を用いて以下のように導出可能です。

演習問題