以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{3} \\
\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & -1 \\
1 & -4 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
100 & 101 & 102 \\
101 & 102 & 103 \\
102 & 103 & 104\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 5 & -3 & -2 \\
-2 & -3 & 2 & -5 \\
1 & 3 & -2 & 2 \\
-1 & -6 & 4 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を求めてください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 10 \\
0 & 7+t & -3 \\
0 & 4 & t\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。\(t\in \mathbb{R} \)です。\(A\)が正則行列であるために\(t\)が満たすべき条件を明らかにしてください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)です。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 余因子行列\(\mathrm{adj}\left( A\right) \)を求めてください。
2. 以下の関係\begin{equation*}\mathrm{adj}\left( \mathrm{adj}\left( A\right) \right) =A
   \end{equation*}が成り立つことを示してください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
1 & 5 & 7\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 行列式\(\left\vert A\right\vert \)の値を求めてください。
2. 余因子行列\(\mathrm{adj}\left( A\right) \)を求めてください。
3. 以下の関係\begin{equation*}A\mathrm{adj}\left( A\right) =AI_{3}
   \end{equation*}が成り立つことを確認してください。ただし、\(I_{3}\in M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。
4. 逆行列\(A^{-1}\)を求めてください。