確認テスト II（行列式）

以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & -s & 0 & 0 \\
0 & 1 & -s & 0 \\
0 & 0 & 1 & -s \\
0 & 1 & 0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。ただし\(s\in \mathbb{R} \)です。この正方行列が正則であるために\(s\)が満たすべき条件を行列式を用いて特定してください。

以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
s \\
1 \\
-s\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2s \\
3s+1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし\(s\in \mathbb{R} \)です。このベクトル集合が線型独立であるために\(s\)が満たすべき条件を行列式を用いて特定してください。

以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
ax-2by=c \\
3ax-5by+2c\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし\(a,b,c\in \mathbb{R} \)です。この連立1次方程式が解を持つために\(a,b,c\)が満たすべき条件を特定した上で、その条件が満たされるという仮定のもと、行列式を用いて解を具体的に求めてください。

以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
3y+2x=z=1 \\
3x+2z=8-5y \\
3z-1=x-2y\end{array}\right.
\end{equation*}が解を持つことを確認した上で、行列式を用いて解を具体的に求めてください。

以下の問いに答えてください（各8点）。

1. 正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則である場合には、\begin{equation*}\left\vert A^{-1}\right\vert =\frac{1}{\left\vert A\right\vert }\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
2. 2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して以下の条件\begin{equation*}B=C^{-1}AC\end{equation*}を満たす正方行列\(C\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合、\(A\)と\(B\)は相似であると言います。\(A\)と\(B\)が相似である場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert B\right\vert
   \end{equation*}が成り立つことを証明してください。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対してある自然数\(m\in \mathbb{N} \)が存在して、\begin{equation*}A^{m}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)をベキ零元（nilpotent）であると言います。ただし、\(0\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)はゼロ行列です。以下の問いに答えてください（各8点）。

1. 正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)がベキ零元である場合には、\(A\)は非正則であることを証明してください。
2. 正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)がベキ零元である場合には、\(I_{n}-A\)は正則であることを証明してください。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。
3. 正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)がベキ零元である場合には、\(I_{n}+A\)は正則であることを証明してください。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。