行列式の定義

行列式

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)のそれぞれの行から成分を1つずつ選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積をつくります。ただし、同じ列から複数の成分を選ぶことはできないものとします。具体的には、\(A\)の第\(1\)行から成分\(a_{1p_{1}}\)を選び、第\(2\)行から成分\(a_{2p_{2}}\)を選び、\(\cdots \)、第\(n\)行から\(a_{np_{n}}\)を選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation*}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をつくったとき、この\(n\)個の成分はいずれも異なる列から選ばれていることから、それぞれの成分が属する列の番号\begin{equation*}p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}
\end{equation*}はそれぞれ\(1\)から\(n\)までの数であるとともに、その中には重複する数は存在しません。したがって、これを集合\(\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)の要素を成分とする順序の置換\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\in S_{n}
\end{equation*}とみなすことができます。簡便化のため、これを、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}
\end{equation*}で表記します。置換に対しては符号\begin{equation*}
\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right)
\end{equation*}が定まります。以上を踏まえた上で、この符号と選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation}\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot
a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}をとります。

\(n\)次の正方行列\(A\)のそれぞれの行から1つずつ、しかも、それぞれの列からも1つずつ、合計\(n\)個の成分を選ぶ場合のパターンは全部で\(n!\)通り存在します。なぜなら、これは\(n\)個の異なる自然数\(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\)を成分とする順列の個数に等しいからです。そこで、その\(n!\)通りのパターンそれぞれについて\(\left(1\right) \)を求めた上で、それらの総和\begin{equation*}\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をとります。これを\(A\)の行列式（determinant）と呼び、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert a_{ij}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}として正方行列の行列式は定義されるということです。\(\left( 2\right) \)の右辺を展開式（expansion ）と呼びます。展開式を計算すれば1つの数値が得られますが、その数値を行列式の値（value）と呼びます。

それぞれの置換\(\left(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}\)を全単射\(\sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視するのであれば、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立するため、\(\left( 2\right) \)を、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) \cdot a_{1\sigma
\left( 1\right) }a_{2\sigma \left( 2\right) }\cdots a_{n\sigma \left(
n\right) }
\end{equation*}と表現することもできます。

次数\(n\)の正方行列の行列式は\(n!\)個の項の和であるため、\(n\)が大きくなると項の個数が急速に増加します。\(n=2\)の場合には\(2!=2\)個、\(n=3\)の場合には\(3!=6\)個ですが、\(n=4\)の場合には\(4!=24\)個、\(n=5\)個の場合には\(5!=120\)個にもなってしまいます。したがって、\(n\)が増えるにつれて行列式の値を計算するのが困難になります。ただ、定義にもとづいて行列式の値を計算するのではなく、以降で解説する行列式の性質を上手く利用することにより、計算プロセスを大幅に短縮できます。

演習問題