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行列式の定義

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行列式

次数\(n\)の正方行列\(A=\left(a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)のそれぞれの行から成分を1つずつ選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積をつくります。ただし、同じ列から複数の成分を選ぶことはできないものとします。具体的には、\(A\)の第\(1\)行から成分\(a_{1p_{1}}\)を選び、第\(2\)行から成分\(a_{2p_{2}}\)を選び、\(\cdots \)、第\(n\)行から\(a_{np_{n}}\)を選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation*}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をつくったとき、この\(n\)個の成分はいずれも異なる列から選ばれていることから、それぞれの成分が属する列の番号\begin{equation*}p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}
\end{equation*}は\(1\)から\(n\)までの数であるとともに、その中には重複する数は存在しません。したがって、これを集合\(\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)の要素を成分とする順列の置換\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\in S_{n}
\end{equation*}とみなすことができます。簡便化のため、これを、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}
\end{equation*}で表記します。置換に対しては符号\begin{equation*}
\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right)
\end{equation*}を特定できます。以上を踏まえた上で、この符号と選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation}\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot
a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}をとります。

\(n\)次の正方行列\(A\)のそれぞれの行から1つずつ、しかも、それぞれの列からも1つずつ、合計\(n\)個の成分を選ぶ場合のパターンは全部で\(n!\)通り存在します。なぜなら、これは\(n\)個の異なる自然数\(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\)を成分とする順列の個数に等しいからです。そこで、その\(n!\)通りのパターンそれぞれについて\(\left(1\right) \)を求めた上で、それらの総和\begin{equation*}\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をとります。これを\(A\)の行列式(determinant)と呼び、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすものとして正方行列の行列式は定義されるということです。\(\left( 2\right) \)の右辺を展開式(expansion )と呼びます。展開式を計算すれば1つの数値が得られますが、その数値を行列式の(value)と呼びます。

それぞれの置換\(\left(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}\)を全単射\(\sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視するのであれば、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立するため、\(\left( 2\right) \)を、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) \cdot a_{1\sigma
\left( 1\right) }a_{2\sigma \left( 2\right) }\cdots a_{n\sigma \left(
n\right) }
\end{equation*}と表現することもできます。

例(行列式)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) \cdot a_{11}a_{22}+\mathrm{sgn}\left( 2,1\right)
\cdot a_{12}a_{21}
\end{equation*}となります。\(\left( 1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) &=&1 \\
\mathrm{sgn}\left( 2,1\right) &=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}であることが明らかになりました。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
-1 & -2\end{vmatrix}
&=&4\left( -2\right) -\left( -5\right) \left( -1\right) =-13 \\
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}
&=&1\cdot 1-0\cdot 0=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) \cdot a_{11}a_{22}a_{33}+\mathrm{sgn}\left(
2,3,1\right) \cdot a_{12}a_{23}a+\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) \cdot
a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&+\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}+\mathrm{sgn}\left(
2,1,3\right) \cdot a_{12}a_{21}a_{33}+\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) \cdot
a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( 1,2,3\right) ,\left(2,3,1\right) ,\left( 3,1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 1,3,2\right) ,\left( 2,1,3\right) ,\left(3,2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,3,1\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) =1 \\
\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,1,3\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) =-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{equation*}であることが明らかになりました。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 1\end{vmatrix}
&=&2\cdot 6\cdot 1+3\cdot 7\cdot 8+4\cdot 5\cdot 9-2\cdot 7\cdot 9-3\cdot
5\cdot 1-4\cdot 6\cdot 8=27 \\
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{vmatrix}
&=&1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 0\cdot 0+0\cdot 0\cdot 0-1\cdot 0\cdot 0-0\cdot
0\cdot 1-0\cdot 1\cdot 0=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列式)
次数\(1\)の正方行列\begin{equation*}\left( a_{11}\right)
\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert a_{11}\right\vert =\mathrm{sgn}\left( 1\right) \cdot a_{11}
\end{equation*}となります。\(\left( 1\right) \)は偶置換であるため、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( 1\right) =1
\end{equation*}となります。以上より、\begin{equation*}
\left\vert a_{11}\right\vert =a_{11}
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、次数\(1\)の正方行列の行列式はスカラー\(a_{11}\)自身です。

次数\(n\)の正方行列の行列式は\(n!\)個の項の和であるため、\(n\)が大きくなると項の個数が急速に増加します。\(n=2\)の場合には\(2!=2\)個、\(n=3\)の場合には\(3!=6\)個ですが、\(n=4\)の場合には\(4!=24\)個、\(n=5\)個の場合には\(5!=120\)個にもなってしまいます。したがって、\(n\)が増えるにつれて行列式の値を計算するのが困難になります。ただ、定義にもとづいて行列式の値を計算するのではなく、以降で解説する行列式の性質を上手く利用することにより、計算プロセスを大幅に短縮することができます。

 

演習問題

問題(行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
4 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

証明

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問題(行列式)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、以下の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x-y & x \\
x & x+y\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

証明

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問題(行列式)
実数\(x\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{vmatrix}
x & x \\
4 & 2x\end{vmatrix}=0
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。\(x\)の値を求めてください。
証明

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次回は次数が2または3の正方行列の行列式の値を求める上で重要な指針となるサラスの公式について解説します。

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