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行列式

行列式の定義

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行列式

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)のそれぞれの行から成分を1つずつ選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積をつくります。ただし、同じ列から複数の成分を選ぶことはできないものとします。具体的には、\(A\)の第\(1\)行から成分\(a_{1p_{1}}\)を選び、第\(2\)行から成分\(a_{2p_{2}}\)を選び、\(\cdots \)、第\(n\)行から\(a_{np_{n}}\)を選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation*}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をつくったとき、この\(n\)個の成分はいずれも異なる列から選ばれていることから、それぞれの成分が属する列の番号\begin{equation*}p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}
\end{equation*}はそれぞれ\(1\)から\(n\)までの数であるとともに、その中には重複する数は存在しません。したがって、これを集合\(\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)の要素を成分とする順序の置換\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\in S_{n}
\end{equation*}とみなすことができます。簡便化のため、これを、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}
\end{equation*}で表記します。置換に対しては符号\begin{equation*}
\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right)
\end{equation*}が定まります。以上を踏まえた上で、この符号と選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation}\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot
a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}をとります。

\(n\)次の正方行列\(A\)のそれぞれの行から1つずつ、しかも、それぞれの列からも1つずつ、合計\(n\)個の成分を選ぶ場合のパターンは全部で\(n!\)通り存在します。なぜなら、これは\(n\)個の異なる自然数\(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\)を成分とする順列の個数に等しいからです。そこで、その\(n!\)通りのパターンそれぞれについて\(\left(1\right) \)を求めた上で、それらの総和\begin{equation*}\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をとります。これを\(A\)の行列式(determinant)と呼び、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert a_{ij}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}として正方行列の行列式は定義されるということです。\(\left( 2\right) \)の右辺を展開式(expansion )と呼びます。展開式を計算すれば1つの数値が得られますが、その数値を行列式の(value)と呼びます。

それぞれの置換\(\left(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}\)を全単射\(\sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視するのであれば、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立するため、\(\left( 2\right) \)を、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) \cdot a_{1\sigma
\left( 1\right) }a_{2\sigma \left( 2\right) }\cdots a_{n\sigma \left(
n\right) }
\end{equation*}と表現することもできます。

例(次数2の正方行列の行列式)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) \cdot a_{11}a_{22}+\mathrm{sgn}\left( 2,1\right)
\cdot a_{12}a_{21}
\end{equation*}となります。\(\left( 1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) &=&1 \\
\mathrm{sgn}\left( 2,1\right) &=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、次数\(2\)の正方行列の行列式に関しては、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}という関係が成立することが明らかになりました。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
-1 & -2\end{vmatrix}
&=&4\left( -2\right) -\left( -5\right) \left( -1\right) \\
&=&-13
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}
&=&1\cdot 1-0\cdot 0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

例(次数3の正方行列の行列式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) \cdot a_{11}a_{22}a_{33}+\mathrm{sgn}\left(
2,3,1\right) \cdot a_{12}a_{23}a+\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) \cdot
a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&+\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}+\mathrm{sgn}\left(
2,1,3\right) \cdot a_{12}a_{21}a_{33}+\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) \cdot
a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( 1,2,3\right) ,\left(2,3,1\right) ,\left( 3,1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 1,3,2\right) ,\left( 2,1,3\right) ,\left(3,2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,3,1\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) =1 \\
\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,1,3\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) =-1
\end{eqnarray*}となります。以上を踏まえると、次数\(3\)の正方行列の行列式に関しては、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{12}\left(
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) +a_{13}\left(
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right) \\
&=&a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 1\end{vmatrix}
&=&2\begin{vmatrix}
6 & 7 \\
9 & 1\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
5 & 7 \\
8 & 1\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9\end{vmatrix}
\\
&=&2\left( 6\cdot 1-7\cdot 9\right) -3\left( 5\cdot 1-7\cdot 8\right)
+4\left( 5\cdot 9-6\cdot 8\right) \\
&=&27
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{vmatrix}
&=&1\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{vmatrix}
\\
&=&1\left( 1\cdot 1-0\cdot 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

例(次数1の正方行列の行列式)
次数\(1\)の正方行列\begin{equation*}\left( a_{11}\right)
\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert a_{11}\right\vert =\mathrm{sgn}\left( 1\right) \cdot a_{11}
\end{equation*}となります。\(\left( 1\right) \)は偶置換であるため、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( 1\right) =1
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、次数\(1\)の正方行列の行列式に関しては、\begin{equation*}\left\vert a_{11}\right\vert =a_{11}
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、次数\(1\)の正方行列の行列式はスカラー\(a_{11}\)自身です。

次数\(n\)の正方行列の行列式は\(n!\)個の項の和であるため、\(n\)が大きくなると項の個数が急速に増加します。\(n=2\)の場合には\(2!=2\)個、\(n=3\)の場合には\(3!=6\)個ですが、\(n=4\)の場合には\(4!=24\)個、\(n=5\)個の場合には\(5!=120\)個にもなってしまいます。したがって、\(n\)が増えるにつれて行列式の値を計算するのが困難になります。ただ、定義にもとづいて行列式の値を計算するのではなく、以降で解説する行列式の性質を上手く利用することにより、計算プロセスを大幅に短縮できます。

 

演習問題

問題(行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
4 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

証明

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問題(行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 \\
0 & -4 & 2 \\
1 & -1 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

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問題(行列式)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、以下の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x-y & x \\
x & x+y\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

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問題(行列式)
実数\(x\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{vmatrix}
x & x \\
4 & 2x\end{vmatrix}=0
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。\(x\)の値を求めてください。
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