縦と横に同じ個数の数を並べてできる配列を正方行列と呼びます。正方行列に対して一定の処理を行うことで、行列式という値を得ることができます。

正方行列

\(n^{2}\)個の数を正方形に配列した表を\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}または、\begin{equation*}
\left( a_{ij}\right) ,\quad i=1,2,\cdots ,n,\quad j=1,2,\cdots ,n
\end{equation*}などで表し、これを\(n\)行\(n\)列の行列(matrix)や正方行列(square matrix)、もしくは次数(order)\(n\)の正方行列などと呼びます。次数が文脈から明らかな場合には、正方行列をシンプルに\(\left( a_{ij}\right) \)と表記することもできます。

行列に含まれる個々の文字\(a_{ij}\ \left( i=1,2,\cdots ,n;\ j=1,2,\cdots,n\right) \)を行列の\(ij\)-成分(\(ij\)-component)と呼びます。ただし、成分\(a_{ij}\)の最初の添字\(i\)は\(a_{ij}\)を含む行の番号であり、後の添字\(j\)は\(a_{ij}\)を含む列の番号です。ですから、\(a_{ij}\)は行列の上から数えて\(i\)番目の行にあり、左から数えて\(j\)番目の列にある数です。

行列の上から\(i\)番目の行に並ぶ数の配列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\end{pmatrix}\end{equation*}を行列の\(i\)行(\(i\)-row)や行ベクトル(row vector)など呼び、行列の左から\(j\)番目の列に並ぶ数の配列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\cdots \\
a_{nj}\end{pmatrix}\end{equation*}を行列の\(j\)列(\(j\)-column)や列ベクトル(column vector)などと呼びます。

 

行列式

次数\(n\)の正方行列\(\left( a_{ij}\right) \)のそれぞれの行から成分を1つずつ選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積をつくります。ただし、同じ列から複数の成分を選ぶことはできないものとします。つまり、正方行列\(\left( a_{ij}\right) \)の第\(1\)行から選ぶ成分を\(a_{1p_{1}}\)で表し、第\(2\)行から選ぶ成分を\(a_{2p_{2}}\)で表し、\(\cdots \)、第\(n\)行から選ぶ成分を\(a_{np_{n}}\)で表すとき、これら\(n\)個の成分が属する列番号\(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\)の中に同じ数がないようにした上で、選んだ\(n\)個の成分の積\begin{equation*}
a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をとるということです。

上で定めたルールにより、選ばれた\(n\)個の成分\(a_{1p_{1}},a_{2p_{2}},\cdots ,a_{np_{n}}\)が属する列の番号\(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\)はそれぞれ\(1\)から\(n\)までの数であると同時に、その中には重複する数はないため、\(\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \)は\(1\)から\(n\)までの数の順列になっているはずです。そこで、この順列の符号\begin{equation*}
\varepsilon \left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right)
\end{equation*}をとった上で、これと選ばれた\(n\)個の成分の積\(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}\)の積\begin{equation}
\varepsilon \left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} \tag{1}
\end{equation}をとります。

順列の符号について
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}において、3個の成分\(a_{11},a_{22},a_{33}\)を選べば、\begin{equation*}
\varepsilon \left( 1,2,3\right) a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 2\cdot 6\cdot 1=12
\end{equation*}を得て、別の3個の成分\(a_{11},a_{23},a_{32}\)を選べば、\begin{equation*}
\varepsilon \left( 1,3,2\right) a_{11}a_{23}a_{32}=\left( -1\right) \cdot 2\cdot 7\cdot 9=-126
\end{equation*}を得ます。ちなみに、3 個の成分として例えば\(a_{11},a_{21},a_{32}\)を選ぶことはできません。なぜなら、\(a_{11}\)と\(a_{21}\)はともに同じ列に属する成分だからです。

さて、先の要領で正方行列\(\left( a_{ij}\right) \)から選ばれた\(n\)個の成分の積\(a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}\)は、正方行列のそれぞれの行から1つずつ、しかも、どの列からも 1 つずつ選ばれた成分の積です。このような性質を持った\(n\)個の成分の積は、\(1,2,\cdots ,n\)からつくられるすべての順列の個数、すなわち\(n!\)個だけつくることができます。そこで、\(n!\)個の積それぞれについて\(\left( 1\right) \)を求めた上でそれらの和をとり、それを、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) }\varepsilon \left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\tag{2}
\end{equation}で表します。これを正方行列\(\left( a_{ij}\right) \)の行列式(determinant)と呼びます。上の行列式は\(\left\vert a_{ij}\right\vert \)と表記することもできます。つまり、行列はカッコ\(\left( {}\right) \)を用いて表記する一方で、\(\left( {}\right) \)を\(\left\vert {}\right\vert \)に置き換えれば行列式を表す記号になるということです。ちなみに、\(\left( 2\right) \)の右辺中の\(\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) }\)は\(1,2,\cdots ,n\)からつくられるすべての順列\(\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \)についての和を表す記号です。\(\left( 2\right) \)の右辺を左辺の展開式(expansion )と呼びます。右辺を計算すれば 1 つの数値が得られますが、その数値を左辺の行列式の(value)と呼びます。

例(行列式)
先ほどの次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式とその値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\varepsilon \left( 1,2,3\right) a_{11}a_{22}a_{33}+\varepsilon \left(
2,3,1\right) a_{12}a_{23}a_{31}+\varepsilon \left( 3,1,2\right)
a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&+\varepsilon \left( 1,3,2\right) a_{11}a_{23}a_{32}+\varepsilon \left(
2,1,3\right) a_{12}a_{21}a_{33}+\varepsilon \left( 3,2,1\right)
a_{13}a_{22}a_{31} \\
&=&1\cdot 2\cdot 6\cdot 1+1\cdot 3\cdot 7\cdot 8+1\cdot 4\cdot 5\cdot 9 \\
&&+\left( -1\right) \cdot 2\cdot 7\cdot 9+\left( -1\right) \cdot 3\cdot
5\cdot 1+\left( -1\right) \cdot 4\cdot 6\cdot 8 \\
&=&27
\end{eqnarray*}となります。

次数\(n\)の正方行列の行列式は\(n!\)個の項を加えたものですので、\(n\)が大きくなると加える項の数が急速に増えます。\(n=2\)のときは\(2!=2\)個、\(n=3\)のときは\(3!=6\)個ですが、\(n=4\)のときは\(4!=24\)個、\(n=5\)個のときは\(5!=120\)個にもなってしまいます。したがって、\(n\)が増えるにつれて行列式の値を計算するのが難しくなります。しかし、後に示す行列式の性質を利用すると、\(n=4,5,6\)程度ならば簡単に計算することができます。