WIIS

行列式

行列式の定義

目次

次のページ:

サラスの公式

Twitter
Mailで保存

行列式

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)のそれぞれの行から成分を1つずつ選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積をつくります。ただし、同じ列から複数の成分を選ぶことはできないものとします。具体的には、\(A\)の第\(1\)行から成分\(a_{1p_{1}}\)を選び、第\(2\)行から成分\(a_{2p_{2}}\)を選び、\(\cdots \)、第\(n\)行から\(a_{np_{n}}\)を選んだ上で、選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation*}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をつくったとき、この\(n\)個の成分はいずれも異なる列から選ばれていることから、それぞれの成分が属する列の番号\begin{equation*}p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}
\end{equation*}はそれぞれ\(1\)から\(n\)までの数であるとともに、その中には重複する数は存在しません。したがって、これを集合\(\mathbb{N} _{n}=\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)の要素を成分とする順序の置換\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\in S_{n}
\end{equation*}とみなすことができます。簡便化のため、これを、\begin{equation*}
\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}
\end{equation*}で表記します。置換に対しては符号\begin{equation*}
\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right)
\end{equation*}が定まります。以上を踏まえた上で、この符号と選ばれた\(n\)個の成分の積\begin{equation}\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot
a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}をとります。

\(n\)次の正方行列\(A\)のそれぞれの行から1つずつ、しかも、それぞれの列からも1つずつ、合計\(n\)個の成分を選ぶ場合のパターンは全部で\(n!\)通り存在します。なぜなら、これは\(n\)個の異なる自然数\(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\)を成分とする順列の個数に等しいからです。そこで、その\(n!\)通りのパターンそれぞれについて\(\left(1\right) \)を求めた上で、それらの総和\begin{equation*}\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}をとります。これを\(A\)の行列式(determinant)と呼び、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left\vert a_{ij}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left(
p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}として正方行列の行列式は定義されるということです。\(\left( 2\right) \)の右辺を展開式(expansion )と呼びます。展開式を計算すれば1つの数値が得られますが、その数値を行列式の(value)と呼びます。

それぞれの置換\(\left(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in S_{n}\)を全単射\(\sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視するのであれば、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n}\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立するため、\(\left( 2\right) \)を、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) \cdot a_{1\sigma
\left( 1\right) }a_{2\sigma \left( 2\right) }\cdots a_{n\sigma \left(
n\right) }
\end{equation*}と表現することもできます。

例(次数2の正方行列の行列式)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) \cdot a_{11}a_{22}+\mathrm{sgn}\left( 2,1\right)
\cdot a_{12}a_{21}
\end{equation*}となります。\(\left( 1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2\right) &=&1 \\
\mathrm{sgn}\left( 2,1\right) &=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、次数\(2\)の正方行列の行列式に関しては、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}という関係が成立することが明らかになりました。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
-1 & -2\end{vmatrix}
&=&4\left( -2\right) -\left( -5\right) \left( -1\right) \\
&=&-13
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}
&=&1\cdot 1-0\cdot 0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

例(次数3の正方行列の行列式)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) \cdot a_{11}a_{22}a_{33}+\mathrm{sgn}\left(
2,3,1\right) \cdot a_{12}a_{23}a+\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) \cdot
a_{13}a_{21}a_{32} \\
&&+\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}+\mathrm{sgn}\left(
2,1,3\right) \cdot a_{12}a_{21}a_{33}+\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) \cdot
a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( 1,2,3\right) ,\left(2,3,1\right) ,\left( 3,1,2\right) \)は偶置換であり、\(\left( 1,3,2\right) ,\left( 2,1,3\right) ,\left(3,2,1\right) \)は奇置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( 1,2,3\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,3,1\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,1,2\right) =1 \\
\mathrm{sgn}\left( 1,3,2\right) &=&\mathrm{sgn}\left( 2,1,3\right) =\mathrm{sgn}\left( 3,2,1\right) =-1
\end{eqnarray*}となります。以上を踏まえると、次数\(3\)の正方行列の行列式に関しては、\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
&=&a_{11}\left( a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) -a_{12}\left(
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) +a_{13}\left(
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right) \\
&=&a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 1\end{vmatrix}
&=&2\begin{vmatrix}
6 & 7 \\
9 & 1\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
5 & 7 \\
8 & 1\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9\end{vmatrix}
\\
&=&2\left( 6\cdot 1-7\cdot 9\right) -3\left( 5\cdot 1-7\cdot 8\right)
+4\left( 5\cdot 9-6\cdot 8\right) \\
&=&27
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{vmatrix}
&=&1\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{vmatrix}
\\
&=&1\left( 1\cdot 1-0\cdot 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

例(次数1の正方行列の行列式)
次数\(1\)の正方行列\begin{equation*}\left( a_{11}\right)
\end{equation*}に対して、その行列式の値は、\begin{equation*}
\left\vert a_{11}\right\vert =\mathrm{sgn}\left( 1\right) \cdot a_{11}
\end{equation*}となります。\(\left( 1\right) \)は偶置換であるため、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( 1\right) =1
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、次数\(1\)の正方行列の行列式に関しては、\begin{equation*}\left\vert a_{11}\right\vert =a_{11}
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、次数\(1\)の正方行列の行列式はスカラー\(a_{11}\)自身です。

次数\(n\)の正方行列の行列式は\(n!\)個の項の和であるため、\(n\)が大きくなると項の個数が急速に増加します。\(n=2\)の場合には\(2!=2\)個、\(n=3\)の場合には\(3!=6\)個ですが、\(n=4\)の場合には\(4!=24\)個、\(n=5\)個の場合には\(5!=120\)個にもなってしまいます。したがって、\(n\)が増えるにつれて行列式の値を計算するのが困難になります。ただ、定義にもとづいて行列式の値を計算するのではなく、以降で解説する行列式の性質を上手く利用することにより、計算プロセスを大幅に短縮できます。

 

演習問題

問題(行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
4 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(行列式)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 \\
0 & -4 & 2 \\
1 & -1 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(行列式)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、以下の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x-y & x \\
x & x+y\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(行列式)
実数\(x\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}\begin{vmatrix}
x & x \\
4 & 2x\end{vmatrix}=0
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。\(x\)の値を求めてください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次のページ:

サラスの公式

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

サラスの公式

次数が2または3であるような正方行列に関しては、その行列式の値を求める際にサラスの公式と呼ばれる指針を利用することができます。

転置行列の行列式の値

行列のij成分とji成分を入れ替えることで得られる行列を転置行列と呼びます。正方行列の行列式の値と、その転置行列の行列式の値は一致します。

行列式の行または列に関する交代性

正方行列の2つの行(列)を入れ替えると、その前後において、行列式の値は符号だけが変化します。以上の事実を利用すると、同じ行(列)を持つ正方行列の行列式の値はゼロになることが示されます。

行列式の行または列に関する斉次性

正方行列の1つの行(列)のすべての成分をk倍すると、その前後において、行列式の値はk倍になります。以上の事実は、正方行列のある行(列)が共通因数を持つ場合、それを行列式の外にくくり出せることを同時に意味します。

行列式の行または列に関する加法性

行列式の1つの行(列)のそれぞれの成分が2つの実数の和に分解されているならば、この行列式を、それぞれの数を成分とする2つの行列式の和に分解できます。また、1つの行(列)の定数倍を別の行(列)に加えても、行列式の値は変化しません。