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行列式

順列の置換の逆置換とその符号

目次

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逆置換

置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選びます。これは全単射\(\sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視できますが、全単射に対しては逆写像が必ず存在するため、\(\sigma \)の逆写像\begin{equation*}\sigma ^{-1}:\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{equation*}が存在します。加えて、全単射の逆写像は必ず全単射であるため\(\sigma ^{-1}\)も全単射であり、したがって\(\sigma ^{-1}\)は置換です。つまり、\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)であることが保証されます。そこで、このような置換\(\sigma ^{-1}\)を\(\sigma \)の逆置換(inverse permutation)と呼びます。

置換\(\sigma \in S_{n}\)と逆置換\(\sigma^{-1}\in S_{n}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)
\end{pmatrix}
\\
\sigma ^{-1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma ^{-1}\left( 1\right) & \sigma ^{-1}\left( 2\right) & \cdots &
\sigma ^{-1}\left( n\right)
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表現するのであれば、順序対\(\left( i,k\right) \in \mathbb{N} _{n}\times \mathbb{N} _{n}\)を任意に選んだとき、逆写像の定義より、\begin{equation*}k=\sigma \left( i\right) \Leftrightarrow i=\sigma ^{-1}\left( k\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、置換\(\sigma \)の\(i\)番目の成分が\(k\)であることと、逆置換\(\sigma ^{-1}\)の\(k\)番目の成分が\(i\)であることは必要十分です。

例(逆置換)
置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。これを写像\(\sigma :\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)とみなすのであれば、\begin{eqnarray*}\sigma \left( 1\right) &=&3 \\
\sigma \left( 2\right) &=&1 \\
\sigma \left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。逆写像\(\sigma ^{-1}:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\sigma ^{-1}\left( 1\right) &=&2 \\
\sigma ^{-1}\left( 2\right) &=&3 \\
\sigma ^{-1}\left( 3\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma \)の逆置換は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。

例(逆置換)
置換\(\sigma \in S_{n}\)が任意に与えられたとき、逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)が存在することが保証されます。このとき、以下の合成写像\begin{eqnarray*}\sigma ^{-1}\circ \sigma &:&\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n} \\
\sigma \circ \sigma ^{-1} &:&\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{eqnarray*}をそれぞれ定義できますが、写像と逆写像の合成写像は恒等写像であるため、これらはともに恒等写像であり、したがって、\begin{equation*}
\sigma ^{-1}\sigma =\sigma \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立します。具体例を挙げると、置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるとき、逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{3}\)は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sigma ^{-1}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma ^{-1}\left( \sigma \left( 1\right) \right) & \sigma ^{-1}\left(
\sigma \left( 2\right) \right) & \sigma ^{-1}\left( \sigma \left( 3\right)
\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{置換の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma ^{-1}\left( 3\right) & \sigma ^{-1}\left( 1\right) & \sigma
^{-1}\left( 2\right)
\end{pmatrix}\quad \because \sigma \text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because \sigma ^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\sigma \sigma ^{-1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma \left( \sigma ^{-1}\left( 1\right) \right) & \sigma \left( \sigma
^{-1}\left( 2\right) \right) & \sigma \left( \sigma ^{-1}\left( 3\right)
\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{置換の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma \left( 2\right) & \sigma \left( 3\right) & \sigma \left( 1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \sigma ^{-1}\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because \sigma \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、先の考察通り、\begin{equation*}
\sigma ^{-1}\sigma =\sigma \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}であることが示されました。

 

逆置換の符号

置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとります。このとき、これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、置換と逆置換の符号は一致するということです。

命題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとる。これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{3}\)は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)はともに偶置換であるため、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{4}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\)を求めた上で、その符号を明らかにしてください。
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問題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{5}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\)を求めた上で、その符号を明らかにしてください。
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問題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとります。このとき、以下が成り立つことを示してください。

  1. \(\sigma \)が偶置換であるならば、\(\sigma ^{-1}\)もまた偶置換である。
  2. \(\sigma \)が奇置換であるならば、\(\sigma ^{-1}\)もまた奇置換です。
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