順列の置換の逆置換とその符号

置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。これを写像\(\sigma :\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)とみなすのであれば、\begin{eqnarray*}\sigma \left( 1\right) &=&3 \\
\sigma \left( 2\right) &=&1 \\
\sigma \left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。逆写像\(\sigma ^{-1}:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\sigma ^{-1}\left( 1\right) &=&2 \\
\sigma ^{-1}\left( 2\right) &=&3 \\
\sigma ^{-1}\left( 3\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma \)の逆置換は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。

置換\(\sigma \in S_{n}\)が任意に与えられたとき、逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)が存在することが保証されます。このとき、以下の合成写像\begin{eqnarray*}\sigma ^{-1}\circ \sigma &:&\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n} \\
\sigma \circ \sigma ^{-1} &:&\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{eqnarray*}をそれぞれ定義できますが、写像と逆写像の合成写像は恒等写像であるため、これらはともに恒等写像であり、したがって、\begin{equation*}
\sigma ^{-1}\sigma =\sigma \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立します。具体例を挙げると、置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるとき、逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{3}\)は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sigma ^{-1}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma ^{-1}\left( \sigma \left( 1\right) \right) & \sigma ^{-1}\left(
\sigma \left( 2\right) \right) & \sigma ^{-1}\left( \sigma \left( 3\right)
\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{置換の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma ^{-1}\left( 3\right) & \sigma ^{-1}\left( 1\right) & \sigma
^{-1}\left( 2\right)
\end{pmatrix}\quad \because \sigma \text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because \sigma ^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\sigma \sigma ^{-1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma \left( \sigma ^{-1}\left( 1\right) \right) & \sigma \left( \sigma
^{-1}\left( 2\right) \right) & \sigma \left( \sigma ^{-1}\left( 3\right)
\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{置換の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma \left( 2\right) & \sigma \left( 3\right) & \sigma \left( 1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \sigma ^{-1}\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because \sigma \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、先の考察通り、\begin{equation*}
\sigma ^{-1}\sigma =\sigma \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}であることが示されました。

置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとる。これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{3}\)は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)はともに偶置換であるため、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

置換\(\sigma \in S_{4}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\)を求めた上で、その符号を明らかにしてください。

置換\(\sigma \in S_{5}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\)を求めた上で、その符号を明らかにしてください。

置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとります。このとき、以下が成り立つことを示してください。

1. \(\sigma \)が偶置換であるならば、\(\sigma ^{-1}\)もまた偶置換である。
2. \(\sigma \)が奇置換であるならば、\(\sigma ^{-1}\)もまた奇置換です。