WIIS

行列式

順列の置換の逆置換とその符号

目次

Twitter
Mailで保存

逆置換

置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選びます。これは全単射\(\sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視できますが、全単射に対しては逆写像が必ず存在するため、\(\sigma \)の逆写像\begin{equation*}\sigma ^{-1}:\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{equation*}が存在します。加えて、全単射の逆写像は必ず全単射であるため\(\sigma ^{-1}\)も全単射であり、したがって\(\sigma ^{-1}\)は置換です。つまり、\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)であることが保証されます。そこで、このような置換\(\sigma ^{-1}\)を\(\sigma \)の逆置換(inverse permutation)と呼びます。

置換\(\sigma \in S_{n}\)と逆置換\(\sigma^{-1}\in S_{n}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)
\end{pmatrix}
\\
\sigma ^{-1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma ^{-1}\left( 1\right) & \sigma ^{-1}\left( 2\right) & \cdots &
\sigma ^{-1}\left( n\right)
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表現するのであれば、順序対\(\left( i,k\right) \in \mathbb{N} _{n}\times \mathbb{N} _{n}\)を任意に選んだとき、逆写像の定義より、\begin{equation*}k=\sigma \left( i\right) \Leftrightarrow i=\sigma ^{-1}\left( k\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、置換\(\sigma \)の\(i\)番目の成分が\(k\)であることと、逆置換\(\sigma ^{-1}\)の\(k\)番目の成分が\(i\)であることは必要十分です。

例(逆置換)
置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。これを写像\(\sigma :\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)とみなすのであれば、\begin{eqnarray*}\sigma \left( 1\right) &=&3 \\
\sigma \left( 2\right) &=&1 \\
\sigma \left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。逆写像\(\sigma ^{-1}:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\sigma ^{-1}\left( 1\right) &=&2 \\
\sigma ^{-1}\left( 2\right) &=&3 \\
\sigma ^{-1}\left( 3\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma \)の逆置換は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。

例(逆置換)
置換\(\sigma \in S_{n}\)が任意に与えられたとき、逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)が存在することが保証されます。このとき、以下の合成写像\begin{eqnarray*}\sigma ^{-1}\circ \sigma &:&\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n} \\
\sigma \circ \sigma ^{-1} &:&\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{eqnarray*}をそれぞれ定義できますが、写像と逆写像の合成写像は恒等写像であるため、これらはともに恒等写像であり、したがって、\begin{equation*}
\sigma ^{-1}\sigma =\sigma \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix}\end{equation*}という関係が成立します。具体例を挙げると、置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるとき、逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{3}\)は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sigma ^{-1}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma ^{-1}\left( \sigma \left( 1\right) \right) & \sigma ^{-1}\left(
\sigma \left( 2\right) \right) & \sigma ^{-1}\left( \sigma \left( 3\right)
\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{置換の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma ^{-1}\left( 3\right) & \sigma ^{-1}\left( 1\right) & \sigma
^{-1}\left( 2\right)
\end{pmatrix}\quad \because \sigma \text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because \sigma ^{-1}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\sigma \sigma ^{-1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma \left( \sigma ^{-1}\left( 1\right) \right) & \sigma \left( \sigma
^{-1}\left( 2\right) \right) & \sigma \left( \sigma ^{-1}\left( 3\right)
\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{置換の積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\sigma \left( 2\right) & \sigma \left( 3\right) & \sigma \left( 1\right)
\end{pmatrix}\quad \because \sigma ^{-1}\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because \sigma \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、先の考察通り、\begin{equation*}
\sigma ^{-1}\sigma =\sigma \sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}であることが示されました。

 

逆置換の符号

置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとります。このとき、これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、置換と逆置換の符号は一致するということです。

命題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとる。これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{3}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}であるものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{3}\)は、\begin{equation*}\sigma ^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)はともに偶置換であるため、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{-1}\right) =1
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{4}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\)を求めた上で、その符号を明らかにしてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{5}\)が、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。逆置換\(\sigma ^{-1}\)を求めた上で、その符号を明らかにしてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(逆置換の符号)
置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選んだ上で、その逆置換\(\sigma ^{-1}\in S_{n}\)をとります。このとき、以下が成り立つことを示してください。

  1. \(\sigma \)が偶置換であるならば、\(\sigma ^{-1}\)もまた偶置換である。
  2. \(\sigma \)が奇置換であるならば、\(\sigma ^{-1}\)もまた奇置換です。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

順列の置換とその符号

1以上n以下の自然数を何らかの順番のもとで並べて列にしたものを順列と呼びます。小さい順番に並んでいる自然数の順列の成分を並び替える操作を置換と呼びます。

順列の置換の積(合成)とその符号

順列の置換は全単射と同一視できるため、複数の置換の合成写像を定義できます。これを置換の積と呼びます。置換の積の符号は、置換の符号どうしの積と一致します。