行列式を用いた線型従属・線型独立であることの判定

行列式を用いた線型独立であることの判定

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(A\)を正則行列と呼びます。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則である場合には、定義より、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在します。これを\(A\)の逆行列と呼び、\begin{equation*}A^{-1}
\end{equation*}で表記します。つまり、正方行列\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)とは、以下の条件\begin{equation*}AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列として定義されます。

正方行列が正則であることは様々な形で表現可能です。これまで明らかになったものをまとめます。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則であるものとします。先の命題より、以上の事実は、\begin{equation*}n=\mathrm{rank}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。行列の階数は、その行列の列空間の次元および行空間の次元と一致するため、このとき、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right\} \right) =n \\
\mathrm{row}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,n\right) \right\} \right) =n
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。さらに以上の事実は、\(A\)の列ベクトル集合および行ベクトル集合\begin{eqnarray*}&&\left\{ \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right)
\right\} \\
&&\left\{ \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,n\right)
\right\}
\end{eqnarray*}がともに線型独立であることを意味します。結果をまとめます。

\(n\)個の\(n\)次元列ベクトルからなる集合\begin{equation}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{n1}\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
a_{n1} \\
\vdots \\
a_{nn}\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が線型独立であることを判定しようとしている状況を想定します。以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}を定義した上で、\(A\)が正則であることを示せば、先の命題より、\(\left( 1\right) \)が線型独立であることを示したことになります。\(A\)が正則であることは、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \not=0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため、行列式を用いて列ベクトル集合が線型独立であることを判定できます。ただし、\(A\)は正方行列である必要があるため、列ベクトル集合\(\left( 1\right) \)を構成する個々の列ベクトルの次元とベクトルの個数は一致する必要があります。

行ベクトル集合についても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

\(n\)個の\(n\)次元行ベクトルからなる集合\begin{equation}\left\{ \left( a_{11},\cdots ,a_{n1}\right) ,\cdots ,\left( a_{n1},\cdots
,a_{nn}\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}が線型独立であることを判定しようとしている状況を想定します。以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}を定義した上で、\(A\)が正則であることを示せば、先の命題より、\(\left( 2\right) \)が線型独立であることを示したことになります。\(A\)が正則であることは、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \not=0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため、行列式を用いて行ベクトル集合が線型独立であることを判定できます。ただし、\(A\)は正方行列である必要があるため、行ベクトル集合\(\left( 1\right) \)を構成する個々の行ベクトルの次元とベクトルの個数は一致する必要があります。

行列式を用いた線型従属であることの判定

先の命題はベクトル集合が線型独立であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル集合が線型従属であることも判定できます。

\(n\)個の\(n\)次元列ベクトルからなる集合\begin{equation}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{n1}\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
a_{n1} \\
\vdots \\
a_{nn}\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が線型従属であることを判定しようとしている状況を想定します。以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}を定義した上で、\(A\)が非正則であることを示せば、先の命題より、\(\left( 1\right) \)が線型従属であることを示したことになります。\(A\)が非正則であることは、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため、行列式を用いて列ベクトル集合が線型従属であることを判定できます。ただし、\(A\)は正方行列である必要があるため、列ベクトル集合\(\left( 1\right) \)を構成する個々の列ベクトルの次元とベクトルの個数は一致する必要があります。

行ベクトル集合についても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

\(n\)個の\(n\)次元行ベクトルからなる集合\begin{equation}\left\{ \left( a_{11},\cdots ,a_{n1}\right) ,\cdots ,\left( a_{n1},\cdots
,a_{nn}\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}が線型従属であることを判定しようとしている状況を想定します。以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}を定義した上で、\(A\)が非正則であることを示せば、先の命題より、\(\left( 2\right) \)が線型従属であることを示したことになります。\(A\)が非正則であることは、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため、行列式を用いて行ベクトル集合が線型従属であることを判定できます。ただし、\(A\)は正方行列である必要があるため、行ベクトル集合\(\left( 1\right) \)を構成する個々の行ベクトルの次元とベクトルの個数は一致する必要があります。

演習問題