行列式の乗法性
大きさが等しい2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、これらの行列積に相当する正方行列\(AB\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が定義可能ですが、これらの行列式の値の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert AB\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、行列積の行列式の値は、個々の行列の行列積の値の積と一致します。
以下ではこれを順番に証明します。
以上の命題を踏まえると以下を得ます。
正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の少なくとも一方が非正則であるならば、\begin{equation*}\left\vert AB\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert B\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。
正方行列がともに正則である場合にも同様の主張が成り立ちます。
正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)がともに正則であるならば、\begin{equation*}\left\vert AB\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
結果をまとめます。
正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert AB\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{vmatrix}=4-6=-2 \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0\end{vmatrix}=0-0=0
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert AB\right\vert =0
\end{equation*}であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
6 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{eqnarray*}
\left\vert AB\right\vert &=&\begin{vmatrix}
2 & 0 \\
6 & 0\end{vmatrix}
\\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{vmatrix}=4-6=-2\not=0 \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3\end{vmatrix}=6-4=2\not=0
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert AB\right\vert \not=0
\end{equation*}であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
10 & 7 \\
22 & 15\end{pmatrix}\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{eqnarray*}
\left\vert AB\right\vert &=&\begin{vmatrix}
10 & 7 \\
22 & 15\end{vmatrix}
\\
&=&150-154 \\
&=&-4
\end{eqnarray*}です。
演習問題
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の行列式の値\begin{eqnarray*}
&&\left\vert A\right\vert \\
&&\left\vert B\right\vert \\
&&\left\vert AB\right\vert
\end{eqnarray*}をそれぞれ具体的に計算した上で、\begin{equation*}
\left\vert AB\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert B\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
\forall A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left\vert AB\right\vert =\left\vert A\right\vert \left\vert
B\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。では、以下の主張\begin{equation*}
\forall A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left\vert A+B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert
B\right\vert
\end{equation*}もまた成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。
