置換の積
2つの置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)を任意に選びます。これらはそれぞれ全単射\(\sigma ,\sigma ^{\prime }:\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視できますが、\(\sigma \)の値域\(\mathbb{N} _{n}\)と\(\sigma ^{\prime }\)の定義域\(\mathbb{N} _{n}\)は一致しているため合成写像\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\circ \sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(i\in \mathbb{N} _{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( i\right) =\sigma
^{\prime }\left( \sigma \left( i\right) \right)
\end{equation*}を定めます。一般に、全単射どうしの合成写像は全単射であるため\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma \)は全単射であり、したがって置換です。つまり、\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma \in S_{n}\)であることが保証されます。そこで、このような置換\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma \)を\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の積（product）や合成（composition）などと呼びます。多くの場合、置換の積\(\sigma^{\prime }\circ \sigma \)を表記する際には記号\(\circ \)を省略して、\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\sigma
\end{equation*}とします。
置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)が与えられたとき、\(\sigma ^{\prime }\)の値域\(\mathbb{N} _{n}\)と\(\sigma \)の定義域\(\mathbb{N} _{n}\)は一致するため、\(\sigma^{\prime }\)と\(\sigma \)の積\begin{equation*}\sigma \sigma ^{\prime }
\end{equation*}を先と同じ要領で定義することもできます。一般に、\(\sigma ^{\prime }\sigma \)と\(\sigma \sigma ^{\prime }\)は一致するとは限りません。
置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}
\\
\sigma ^{\prime } &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma ^{\prime }\left( 1\right) & \sigma ^{\prime }\left( 2\right) & \cdots
& \sigma ^{\prime }\left( n\right)\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表現するのであれば、\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の積は、\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma ^{\prime }\left( \sigma \left( 1\right) \right) & \sigma ^{\prime
}\left( \sigma \left( 2\right) \right) & \cdots & \sigma ^{\prime }\left(
\sigma \left( n\right) \right)\end{pmatrix}\end{equation*}であり、\(\sigma ^{\prime }\)と\(\sigma \)の積は、\begin{equation*}\sigma \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( \sigma ^{\prime }\left( 1\right) \right) & \sigma \left(
\sigma ^{\prime }\left( 2\right) \right) & \cdots & \sigma \left( \sigma
^{\prime }\left( n\right) \right)\end{pmatrix}\end{equation*}となります。
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3\end{pmatrix},\quad \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。これらを写像\(\sigma ,\sigma ^{\prime }:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)とみなすのであれば、\begin{eqnarray*}\sigma \left( 1\right) &=&2 \\
\sigma \left( 2\right) &=&1 \\
\sigma \left( 3\right) &=&3
\end{eqnarray*}かつ、\begin{eqnarray*}
\sigma ^{\prime }\left( 1\right) &=&3 \\
\sigma ^{\prime }\left( 2\right) &=&1 \\
\sigma ^{\prime }\left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。合成写像\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma :\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( 1\right) &=&1 \\
\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( 2\right) &=&3 \\
\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の積は、\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}となります。一方、合成写像\(\sigma \circ \sigma ^{\prime }:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\left( \sigma \circ \sigma ^{\prime }\right) \left( 1\right) &=&3 \\
\left( \sigma \circ \sigma ^{\prime }\right) \left( 2\right) &=&2 \\
\left( \sigma \circ \sigma ^{\prime }\right) \left( 3\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma ^{\prime }\)と\(\sigma \)の積は、\begin{equation*}\sigma \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。ここでは、\begin{equation*}
\sigma ^{\prime }\sigma \not=\sigma \sigma ^{\prime }
\end{equation*}が成立しています。
置換の積の符号
2つの置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)を任意に選んだ上で、これらの積\(\sigma ^{\prime }\sigma \in S_{n}\)をとります。このとき、これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma
^{\prime }\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、2つの置換の積の符号は、それぞれの置換の符号の積に等しいということです。
まずは以下の補題を示します。
x_{i}-x_{j}\right) \\
&=&\left( x_{1}-x_{2}\right) \left( x_{1}-x_{3}\right) \cdots \left(
x_{n-1}-x_{n}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める多項式関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。また、置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選ぶ。つまり、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}\end{equation*}である。その上で、それぞれの\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{\sigma }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) &=&\prod\limits_{1\leq i<j\leq
n}\left( x_{\sigma \left( i\right) }-x_{\sigma \left( j\right) }\right) \\
&=&\left( x_{\sigma \left( 1\right) }-x_{\sigma \left( 2\right) }\right)
\left( x_{\sigma \left( 1\right) }-x_{\sigma \left( 3\right) }\right) \cdots
\left( x_{\sigma \left( n-1\right) }-x_{\sigma \left( n\right) }\right)
\end{eqnarray*}を値として多項式関数\(f_{\sigma }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき、任意の\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{\sigma }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) & \left( if\ \sigma \text{は偶置換}\right) \\
-f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) & \left( if\ \sigma \text{は奇置換}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{\sigma }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma
\right) \cdot f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
以上の補題を踏まえた上で、以下の命題を示します。
置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、これらの積\(\sigma ^{\prime}\sigma \in S_{n}\)をとる。このとき、これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma
^{\prime }\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3\end{pmatrix},\quad \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。先に示したように、これらの積は、\begin{equation*}
\sigma ^{\prime }\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2\end{pmatrix},\quad \sigma \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。\(\sigma \)と\(\sigma^{\prime }\sigma \)および\(\sigma \sigma ^{\prime }\)は奇置換である一方で\(\sigma ^{\prime }\)は偶置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) &=&-1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\right) &=&1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) &=&-1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma \sigma ^{\prime }\right) &=&-1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) &=&\mathrm{sgn}\left( \sigma
^{\prime }\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =-1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma \sigma ^{\prime }\right) &=&\mathrm{sgn}\left( \sigma
\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\right) =-1
\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これは先の命題の主張と整合的です。
演習問題
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}
\\
\sigma _{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を満たすものとします。積\(\sigma _{2}\sigma _{1},\sigma _{1}\sigma _{2}\in S_{3}\)をそれぞれ求めた上で、その符号を求めてください。
- \(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)がともに偶置換であるならば、\(\sigma ^{\prime }\sigma \)もまた偶置換である。
- \(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)がともに奇置換であるならば、\(\sigma ^{\prime }\sigma \)は偶置換である。
- \(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の一方が偶置換で他方が奇置換であるならば、\(\sigma^{\prime }\sigma \)は奇置換である。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】