教材一覧
教材一覧
教材検索

行列式

順列の置換の積(合成)とその符号

目次

Twitterで共有
メールで共有

置換の積

2つの置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)を任意に選びます。これらはそれぞれ全単射\(\sigma ,\sigma ^{\prime }:\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}\)と同一視できますが、\(\sigma \)の値域\(\mathbb{N} _{n}\)と\(\sigma ^{\prime }\)の定義域\(\mathbb{N} _{n}\)は一致しているため合成写像\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\circ \sigma :\mathbb{N} _{n}\rightarrow \mathbb{N} _{n}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(i\in \mathbb{N} _{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( i\right) =\sigma
^{\prime }\left( \sigma \left( i\right) \right)
\end{equation*}を定めます。一般に、全単射どうしの合成写像は全単射であるため\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma \)は全単射であり、したがって置換です。つまり、\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma \in S_{n}\)であることが保証されます。そこで、このような置換\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma \)を\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の(product)や合成(composition)などと呼びます。多くの場合、置換の積\(\sigma^{\prime }\circ \sigma \)を表記する際には記号\(\circ \)を省略して、\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\sigma
\end{equation*}とします。

置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)が与えられたとき、\(\sigma ^{\prime }\)の値域\(\mathbb{N} _{n}\)と\(\sigma \)の定義域\(\mathbb{N} _{n}\)は一致するため、\(\sigma^{\prime }\)と\(\sigma \)の積\begin{equation*}\sigma \sigma ^{\prime }
\end{equation*}を先と同じ要領で定義することもできます。一般に、\(\sigma ^{\prime }\sigma \)と\(\sigma \sigma ^{\prime }\)は一致するとは限りません。

置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\sigma &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}
\\
\sigma ^{\prime } &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma ^{\prime }\left( 1\right) & \sigma ^{\prime }\left( 2\right) & \cdots
& \sigma ^{\prime }\left( n\right)\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表現するのであれば、\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の積は、\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma ^{\prime }\left( \sigma \left( 1\right) \right) & \sigma ^{\prime
}\left( \sigma \left( 2\right) \right) & \cdots & \sigma ^{\prime }\left(
\sigma \left( n\right) \right)\end{pmatrix}\end{equation*}であり、\(\sigma ^{\prime }\)と\(\sigma \)の積は、\begin{equation*}\sigma \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( \sigma ^{\prime }\left( 1\right) \right) & \sigma \left(
\sigma ^{\prime }\left( 2\right) \right) & \cdots & \sigma \left( \sigma
^{\prime }\left( n\right) \right)\end{pmatrix}\end{equation*}となります。

例(置換の積)
置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{3}\)がそれぞれ、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3\end{pmatrix},\quad \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。これらを写像\(\sigma ,\sigma ^{\prime }:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)とみなすのであれば、\begin{eqnarray*}\sigma \left( 1\right) &=&2 \\
\sigma \left( 2\right) &=&1 \\
\sigma \left( 3\right) &=&3
\end{eqnarray*}かつ、\begin{eqnarray*}
\sigma ^{\prime }\left( 1\right) &=&3 \\
\sigma ^{\prime }\left( 2\right) &=&1 \\
\sigma ^{\prime }\left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。合成写像\(\sigma ^{\prime }\circ \sigma :\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( 1\right) &=&1 \\
\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( 2\right) &=&3 \\
\left( \sigma ^{\prime }\circ \sigma \right) \left( 3\right) &=&2
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の積は、\begin{equation*}\sigma ^{\prime }\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}となります。一方、合成写像\(\sigma \circ \sigma ^{\prime }:\mathbb{N} _{3}\rightarrow \mathbb{N} _{3}\)は、\begin{eqnarray*}\left( \sigma \circ \sigma ^{\prime }\right) \left( 1\right) &=&3 \\
\left( \sigma \circ \sigma ^{\prime }\right) \left( 2\right) &=&2 \\
\left( \sigma \circ \sigma ^{\prime }\right) \left( 3\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\sigma ^{\prime }\)と\(\sigma \)の積は、\begin{equation*}\sigma \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。ここでは、\begin{equation*}
\sigma ^{\prime }\sigma \not=\sigma \sigma ^{\prime }
\end{equation*}が成立しています。

 

置換の積の符号

2つの置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)を任意に選んだ上で、これらの積\(\sigma ^{\prime }\sigma \in S_{n}\)をとります。このとき、これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma
^{\prime }\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、2つの置換の積の符号は、それぞれの置換の符号の積に等しいということです。

まずは以下の補題を示します。

命題(置換の符号)
それぞれの\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) &=&\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}\left(
x_{i}-x_{j}\right) \\
&=&\left( x_{1}-x_{2}\right) \left( x_{1}-x_{3}\right) \cdots \left(
x_{n-1}-x_{n}\right)
\end{eqnarray*}を値として定める多項式関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。また、置換\(\sigma \in S_{n}\)を任意に選ぶ。つまり、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma \left( 1\right) & \sigma \left( 2\right) & \cdots & \sigma \left(
n\right)\end{pmatrix}\end{equation*}である。その上で、それぞれの\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{\sigma }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) &=&\prod\limits_{1\leq i<j\leq
n}\left( x_{\sigma \left( i\right) }-x_{\sigma \left( j\right) }\right) \\
&=&\left( x_{\sigma \left( 1\right) }-x_{\sigma \left( 2\right) }\right)
\left( x_{\sigma \left( 1\right) }-x_{\sigma \left( 3\right) }\right) \cdots
\left( x_{\sigma \left( n-1\right) }-x_{\sigma \left( n\right) }\right)
\end{eqnarray*}を値として多項式関数\(f_{\sigma }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき、任意の\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{\sigma }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) & \left( if\ \sigma \text{は偶置換}\right) \\
-f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) & \left( if\ \sigma \text{は奇置換}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{\sigma }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma
\right) \cdot f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の補題を踏まえた上で、以下の命題を示します。

命題(置換の積の符号)

置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、これらの積\(\sigma ^{\prime}\sigma \in S_{n}\)をとる。このとき、これらの符号の間には、\begin{equation*}\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) =\mathrm{sgn}\left( \sigma
^{\prime }\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(置換の積の符号)
置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{3}\)がそれぞれ、\begin{equation*}\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3\end{pmatrix},\quad \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。先に示したように、これらの積は、\begin{equation*}
\sigma ^{\prime }\sigma =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2\end{pmatrix},\quad \sigma \sigma ^{\prime }=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。\(\sigma \)と\(\sigma^{\prime }\sigma \)および\(\sigma \sigma ^{\prime }\)は奇置換である一方で\(\sigma ^{\prime }\)は偶置換であるため、\begin{eqnarray*}\mathrm{sgn}\left( \sigma \right) &=&-1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\right) &=&1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) &=&-1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma \sigma ^{\prime }\right) &=&-1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\sigma \right) &=&\mathrm{sgn}\left( \sigma
^{\prime }\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma \right) =-1 \\
\mathrm{sgn}\left( \sigma \sigma ^{\prime }\right) &=&\mathrm{sgn}\left( \sigma
\right) \cdot \mathrm{sgn}\left( \sigma ^{\prime }\right) =-1
\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これは先の命題の主張と整合的です。

 

演習問題

問題(置換の積の符号)
置換\(\sigma _{1},\sigma _{2}\in S_{3}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\sigma _{1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1\end{pmatrix}
\\
\sigma _{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を満たすものとします。積\(\sigma _{2}\sigma _{1},\sigma _{1}\sigma _{2}\in S_{3}\)をそれぞれ求めた上で、その符号を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(置換の積の符号)
置換\(\sigma ,\sigma ^{\prime }\in S_{n}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、これらの積\(\sigma ^{\prime}\sigma \in S_{n}\)をとります。このとき、以下が成り立つことを示してください。

  1. \(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)がともに偶置換であるならば、\(\sigma ^{\prime }\sigma \)もまた偶置換である。
  2. \(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)がともに奇置換であるならば、\(\sigma ^{\prime }\sigma \)は偶置換である。
  3. \(\sigma \)と\(\sigma ^{\prime }\)の一方が偶置換で他方が奇置換であるならば、\(\sigma^{\prime }\sigma \)は奇置換である。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(偶置換と奇置換の個数は等しい)
集合\(\mathbb{N} _{n}\)の要素を成分とする順列に関して全部で\(n!\)個の置換が存在しますが、その中で偶置換と奇置換は半分ずつであることを証明してください。ただし、\(n\geq 2\)です。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録