行簡約を用いた行列式の計算

行簡約を用いた行列式の計算

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。正方行列\(A\)の行列式の値は、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\sum_{\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \in
S_{n}}\mathrm{sgn}\left( p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\right) \cdot
a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}
\end{equation*}と定義されますが、定義にもとづいて行列式の値を計算するのは面倒です。正方行列の次数\(n\)が\(1,2,3\)などである場合にはサラスの公式を用いて行列式の値を簡単に計算できますが、以降では行簡約を用いて行列式の値を計算する方法を紹介します。

行基本操作とは行列に対して行う以下の3種類の操作の総称です。行列に対して行基本操作を適用することを行簡約と呼びます。

1. 第\(i\)行と第\(j\)行を入れ替える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\leftrightarrow R_{j}\end{equation*}で表記する。
2. 第\(i\)行に非ゼロのスカラー\(k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を掛ける。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right)\end{equation*}で表記する。
3. 第\(j\)行のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍を第\(i\)行に加える。この操作を、\begin{equation*}R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}\end{equation*}で表記する。

では、正方行列を行簡約すると、すなわち行基本操作を適用していくと、行列式の値はどのように変化していくのでしょうか。

行列式の行に関する交代性より、正方行列\(A\)の2つの行\(i,j\)を入れ替えることにより得られる正方行列を\(B\)で表記する場合には、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =-\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、行基本操作\(R_{i}\leftrightarrow R_{j}\)を行うと行列式の値は符号だけが変化します。

行列式の行に関する斉次性より、正方行列\(A\)の行\(i\)のすべての成分をスカラー\(k\)することにより得られる正方行列を\(B\)で表記する場合には、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、行基本操作\(R_{i}\rightarrow kR_{i}\quad \left( k\not=0\right) \)を行うと行列式の値は\(k\)倍になります。

行列式の行に関する加法性や斉次性から導かれたように、正方行列\(A\)の行\(j\)のスカラー\(k\)倍を行\(i\)に加えることにより得られる正方行列を\(B\)で表記する場合には、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、行基本操作\(R_{i}\rightarrow R_{i}+kR_{j}\)を行っても行列式の値は変化しません。

さて、正方行列\(A\)に対して行基本変形を有限回適用すれば、最終的に行既約な階段行列、すなわち行標準形が得られます。\(A\)の行標準形を\(B\)で表記します。\(A\)から\(B\)へ到達する過程において、有限\(p\)回の行基本変形\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
R_{i_{1}}\leftrightarrow R_{j_{1}} \\
\vdots \\
R_{i_{p}}\leftrightarrow R_{j_{p}}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}と、有限\(q\)回の行基本変形\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
R_{i_{1}}\rightarrow k_{1}R_{i_{1}}\quad \left( k_{1}\not=0\right) \\
\vdots \\
R_{i_{q}}\rightarrow k_{q}R_{i_{q}}\quad \left( k_{q}\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と、有限\(r\)回の行基本変形\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
R_{i_{1}}\rightarrow R_{i_{1}}+k_{1}R_{j_{1}} \\
\vdots \\
R_{i_{r}}\rightarrow R_{i_{r}}+k_{r}R_{j_{r}}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が行われた状況を想定します。

先の考察より、\(\left( 1\right) \)により行列式の符号だけが\(\left( -1\right) ^{p}\)だけ変化し、\(\left( 2\right) \)により行列式の値は\(k_{1}\cdots k_{q}\)倍になり、\(\left( 3\right) \)により行列式の値は変化しません。したがって、以下の関係\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =\left( -1\right) ^{p}k_{1}\cdots k_{q}\left\vert
A\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。\(k_{1},\cdots ,k_{q}\)はいずれも非ゼロであるため、このとき、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\left( -1\right) ^{p}\frac{\left\vert B\right\vert
}{k_{1}\cdots k_{q}}
\end{equation*}を得ます。つまり、正方行列\(A\)を行簡約して行標準形\(B\)を得た場合、\(B\)の行列式の値が判明すれば上の関係からもとの正方行列\(A\)の行列式の値が判明します。

上三角行列の行列式の値

正方行列\(A\)を行簡約して行標準形\(B\)を得た場合、\(B\)の行列式の値が判明すればもとの正方行列\(A\)の行列式の値が判明することが明らかになりました。行標準形\(B\)は成分としてゼロを多く含むため、その行列式の値は比較的容易に計算できます。

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の対角線よりも下側の成分がいずれも\(0\)である場合には、つまり、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\left( i>j\Rightarrow
a_{ij}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を上三角行列と呼びます。定義より、上三角行列\(A\)を、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。

行標準形は多くの場合、上三角行列であるため、上三角行列の行列式の値を計算する方法を知っていれば多くの行標準形の行列式の値を計算できます。

演習問題