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行列式

行列式の行または列に関する斉次性

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行列式の行または列に関する斉次性

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)の第\(i\)行のすべての成分を\(k\)倍して得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、両者の行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正方行列の1つの行にスカラー\(k\)を掛けると、その前後において、行列式の値は\(k\)倍になります。以上の事実は、正方行列のある行のすべての成分が共通の因数\(k\)を持つ場合、それを行列式の外にくくり出すことが可能であることを同時に意味します。

命題(行列式の行に関する斉次性)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選び、\(A\)の第\(i\)行のすべての成分を\(k\)倍して得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

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例(行列式の行に関する斉次性)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の1行目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}-ka_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2行目の成分をスカラー倍する場合も同様です。

例(行列式の行に関する斉次性)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の1行目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}a_{33}+ka_{12}a_{23}a_{31}+ka_{13}a_{21}a_{32}-ka_{11}a_{23}a_{32}-ka_{12}a_{21}a_{33}-ka_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2行目や3行目の成分をスカラー倍する場合も同様です。

例(行列式の行に関する斉次性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 6 & 9 \\
4 & 8 & 12 \\
5 & 15 & 20\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
3 & 6 & 9 \\
4 & 8 & 12 \\
5 & 15 & 20\end{vmatrix}
&=&3\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 8 & 12 \\
5 & 15 & 20\end{vmatrix}\quad \because 1\text{行目の因数}3\text{をくくり出す} \\
&=&3\cdot 4\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 \\
5 & 15 & 20\end{vmatrix}\quad \because 2\text{行目の因数}4\text{をくくり出す} \\
&=&3\cdot 4\cdot 0\quad \because \text{同じ行を持つ行列式の値は}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

列に関しても同様の主張が成り立ちます。

命題(行列式の列に関する斉次性)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、列\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選び、\(A\)の第\(i\)列のすべての成分を\(k\)倍して得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記する。このとき、\begin{equation*}\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

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例(行列式の列に関する斉次性)
次数\(2\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の1列目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & a_{12} \\
ka_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & a_{12} \\
ka_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}-ka_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2列目の成分をスカラー倍する場合も同様です。

例(行列式の列に関する斉次性)
次数\(3\)の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の1列目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\
ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\
ka_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\
ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\
ka_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}a_{33}+ka_{12}a_{23}a_{31}+ka_{13}a_{21}a_{32}-ka_{11}a_{23}a_{32}-ka_{12}a_{21}a_{33}-ka_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2列目や3列目の成分をスカラー倍する場合も同様です。

例(行列式の列に関する斉次性)
以下の正方行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 7 & 3 \\
4 & 2 & 6 \\
8 & 15 & 9\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
2 & 7 & 3 \\
4 & 2 & 6 \\
6 & 15 & 9\end{vmatrix}
&=&2\begin{vmatrix}
1 & 7 & 3 \\
2 & 2 & 6 \\
3 & 15 & 9\end{vmatrix}\quad \because 1\text{列目の因数}2\text{をくくり出す} \\
&=&2\cdot 3\begin{vmatrix}
1 & 7 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
3 & 15 & 3\end{vmatrix}\quad \because 3\text{列目の因数}3\text{をくくり出す} \\
&=&2\cdot 3\cdot 0\quad \because \text{同じ列を持つ行列式の値は}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

ゼロだけの行または列を持つ行列式の値

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)のある行のすべての成分が\(0\)であるものとします。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}について、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :a_{ik}=0
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロだけの行を持つ正方行列の行列式の値はゼロになります。

命題(ゼロだけの行を持つ行列式の値)
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)のある行のすべての成分が\(0\)である場合には、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。

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例(ゼロだけの行を持つ行列式の値)
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
3 & 6 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の第2行のすべての成分は\(0\)です。行列式の値は、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
3 & 6 & 3\end{vmatrix}
\\
&=&1\cdot 0\cdot 3+4\cdot 0\cdot 3+1\cdot 0\cdot 6-1\cdot 0\cdot 6-4\cdot
0\cdot 3-1\cdot 0\cdot 3 \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合