行列式の行または列に関する斉次性

行列式の行または列に関する斉次性

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)の第\(i\)行のすべての成分を\(k\)倍して得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、両者の行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正方行列の1つの行にスカラー\(k\)を掛けると、その前後において、行列式の値は\(k\)倍になります。以上の事実は、正方行列のある行のすべての成分が共通の因数\(k\)を持つ場合、それを行列式の外にくくり出すことが可能であることを同時に意味します。

列に関しても同様の主張が成り立ちます。

ゼロだけの行または列を持つ行列式の値

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)のある行のすべての成分が\(0\)であるものとします。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}について、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :a_{ik}=0
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロだけの行を持つ正方行列の行列式の値はゼロになります。

列についても同様の主張が成り立ちます。

演習問題