行列式の行または列に関する斉次性
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、\(A\)の第\(i\)行のすべての成分を\(k\)倍して得られる行列を\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。このとき、両者の行列式の値の間には、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正方行列の1つの行にスカラー\(k\)を掛けると、その前後において、行列式の値は\(k\)倍になります。以上の事実は、正方行列のある行のすべての成分が共通の因数\(k\)を持つ場合、それを行列式の外にくくり出すことが可能であることを同時に意味します。
\end{equation*}が成り立つ。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の1行目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}-ka_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2行目の成分をスカラー倍する場合も同様です。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の1行目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}a_{33}+ka_{12}a_{23}a_{31}+ka_{13}a_{21}a_{32}-ka_{11}a_{23}a_{32}-ka_{12}a_{21}a_{33}-ka_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2行目や3行目の成分をスカラー倍する場合も同様です。
\begin{pmatrix}
3 & 6 & 9 \\
4 & 8 & 12 \\
5 & 15 & 20\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
3 & 6 & 9 \\
4 & 8 & 12 \\
5 & 15 & 20\end{vmatrix}
&=&3\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 8 & 12 \\
5 & 15 & 20\end{vmatrix}\quad \because 1\text{行目の因数}3\text{をくくり出す} \\
&=&3\cdot 4\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 \\
5 & 15 & 20\end{vmatrix}\quad \because 2\text{行目の因数}4\text{をくくり出す} \\
&=&3\cdot 4\cdot 0\quad \because \text{同じ行を持つ行列式の値は}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
列に関しても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の1列目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & a_{12} \\
ka_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & a_{12} \\
ka_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}-ka_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2列目の成分をスカラー倍する場合も同様です。
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の1列目の成分を\(k\)倍すると、\begin{equation*}B=\begin{pmatrix}
ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\
ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\
ka_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}サラスの公式を用いてこれらの行列式の値を求めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\\
\left\vert B\right\vert &=&\begin{vmatrix}
ka_{11} & a_{12} & a_{13} \\
ka_{21} & a_{22} & a_{23} \\
ka_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=ka_{11}a_{22}a_{33}+ka_{12}a_{23}a_{31}+ka_{13}a_{21}a_{32}-ka_{11}a_{23}a_{32}-ka_{12}a_{21}a_{33}-ka_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =k\left\vert A\right\vert
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。2列目や3列目の成分をスカラー倍する場合も同様です。
\begin{pmatrix}
2 & 7 & 3 \\
4 & 2 & 6 \\
8 & 15 & 9\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値について、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
2 & 7 & 3 \\
4 & 2 & 6 \\
6 & 15 & 9\end{vmatrix}
&=&2\begin{vmatrix}
1 & 7 & 3 \\
2 & 2 & 6 \\
3 & 15 & 9\end{vmatrix}\quad \because 1\text{列目の因数}2\text{をくくり出す} \\
&=&2\cdot 3\begin{vmatrix}
1 & 7 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
3 & 15 & 3\end{vmatrix}\quad \because 3\text{列目の因数}3\text{をくくり出す} \\
&=&2\cdot 3\cdot 0\quad \because \text{同じ列を持つ行列式の値は}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
ゼロだけの行または列を持つ行列式の値
正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)のある行のすべての成分が\(0\)であるものとします。つまり、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}について、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :a_{ik}=0
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロだけの行を持つ正方行列の行列式の値はゼロになります。
\end{equation*}が成り立つ。
A=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
3 & 6 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の第2行のすべての成分は\(0\)です。行列式の値は、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
3 & 6 & 3\end{vmatrix}
\\
&=&1\cdot 0\cdot 3+4\cdot 0\cdot 3+1\cdot 0\cdot 6-1\cdot 0\cdot 6-4\cdot
0\cdot 3-1\cdot 0\cdot 3 \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
列についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}が成り立つ。
A=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 0 \\
4 & 1 & 0 \\
3 & 6 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}の第3列のすべての成分は\(0\)です。行列式の値は、\begin{eqnarray*}\left\vert A\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 4 & 0 \\
4 & 1 & 0 \\
3 & 6 & 0\end{vmatrix}
\\
&=&1\cdot 1\cdot 0+4\cdot 0\cdot 3+0\cdot 4\cdot 6-1\cdot 0\cdot 6-4\cdot
4\cdot 0-0\cdot 1\cdot 3 \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\begin{pmatrix}
1000 & 2 \\
2000 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。
\begin{pmatrix}
-125 & -25 \\
1 & 7\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。
\begin{pmatrix}
8 & 64 \\
7 & 49\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。
x^{5} & 3 \\
3x^{4} & 9\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。
\left( x+2\right) ^{6} & \frac{1}{x} \\
\left( x+2\right) ^{7} & \frac{1}{x}\end{pmatrix}\end{equation*}の行列式の値を計算してください。
\end{equation*}を満たすことを証明してください。
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
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