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連立1次方程式

連立1次方程式の定義

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1次方程式

有限\(n+1\)個の実数\(a_{1},\cdots,a_{n},b\in \mathbb{R} \)と、実数を値としてとる\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それらを用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b
\end{equation*}という形で表される方程式を1次方程式(linear equation)と呼びます。

変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の次数を明示する形で1次方程式を表現すると、\begin{equation*}a_{1}x_{1}^{1}+\cdots +a_{n}x_{n}^{1}=b
\end{equation*}となるように、1次方程式を構成する変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の最高次数は\(1\)です。「1次」方程式と呼ばれる理由は以上の通りです。

1次方程式に含まれる変数の個数が\(n\)個であることを明示したい場合、それを\(n\)元1次方程式(linear equation with \(n\) variables)と呼びます。つまり、「元」は1次方程式に含まれる変数の個数を数える単位です。1次方程式に含まれる変数の個数\(n\)は自然数であり、任意に選ぶことができます。

1次方程式を構成する\(a_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)を変数\(x_{i}\)の係数(coefficient of variable \(x_{i}\))と呼びます。\(b\)も係数とみなされますが、これを特に定数項(constant term)と呼びます。1次方程式の係数\(a_{i}\)と定数項\(b\)および変数\(x_{i}\)がいずれも実数のみを値としてとり得ることを明示したい場合、それを\(\mathbb{R} \)上の1次方程式(linear equation in \(\mathbb{R} \))と呼びます。係数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)および定数項\(b\)はいずれも実数であり、\(0\)を含めて任意に選ぶことができます。

例(1次方程式)
\(x,y,z\)がいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}x+2y+3z=4
\end{equation*}は1次方程式です。

例(1次方程式)
\(x\)が実数を値としてとり得る変数であるとき、\begin{equation*}3x=1
\end{equation*}は1次方程式です。1次方程式の変数の個数は1個でも問題ありません。

例(1次方程式)
\(x,y\)がともに実数を値としてとり得る変数であるとき、\begin{equation*}0x+0y=1
\end{equation*}は1次方程式です。1次方程式の係数は\(0\)でも問題ありません。
例(1次方程式)
\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\)がいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}-2x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}+\pi x_{3}-x_{4}=0
\end{equation*}は1次方程式です。1次方程式の定数項は\(0\)でも問題ありません。
例(1次方程式)
\(x,y,z\)がいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation}x+2y=3z+4 \quad \cdots (1)
\end{equation}は1次方程式でしょうか。これを変形すると1次方程式\begin{equation*}
x+2y-3z-4=0
\end{equation*}が得られるため、これと必要十分である\(\left( 1\right) \)もまた1次方程式とみなされます。

以下は\(\mathbb{R} \)上の1次方程式ではない方程式の例です。これらは議論の対象外です。

例(1次方程式ではない方程式)
\(x,y\)がともに実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}x^{2}+y=1
\end{equation*}は1次方程式ではありません。変数\(x,y\)の最高次数は\(x^{2}\)の次数である\(2\)だからです。方程式が1次方程式であるためには変数の最高次数が\(1\)である必要があります。
例(1次方程式ではない方程式)
\(x,y\)がともに実数を値として取り得る変数であり、\(i\)は虚数単位であるとき、\begin{equation*}x+y=i
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の1次方程式ではありません。定数項\(i\)が実数ではないからです。\(\mathbb{R} \)上の1次方程式の変数と係数および定数はいずれも実数である必要があります。

 

連立1次方程式

同じ変数を共有する有限個の1次方程式の集まりを連立1次方程式(system of linear equations)と呼びます。

有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を共有する有限\(m\)個の\(\mathbb{R} \)上の1次方程式からなる連立方程式を、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}と表記します。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{i}\in \mathbb{R} \)は変数です。

連立1次方程式を構成する方程式の個数\(m\)と変数の個数\(n\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。連立1次方程式に含まれる変数の個数が\(n\)個であることを明示したい場合、それを連立\(n\)元1次方程式(system of linear equations with \(n\) variables)と呼びます。

連立1次方程式の係数\(a_{ij}\)と定数項\(b_{i}\)および変数\(x_{i}\)がいずれも実数のみを値としてとり得ることを明示したい場合、それを\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式(system of linear equations in \(\mathbb{R} \))と呼びます。係数\(a_{ij}\)および定数項\(b_{i}\)はいずれも実数であり、\(0\)を含めて任意に選ぶことができます。

例(連立1次方程式)
\(x,y,z\)はいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=-1 \\
3x-2y+2z=7 \\
5x+3y-4z=2\end{array}\right.
\end{equation*}は連立1次方程式です。

例(連立1次方程式)
\(x,y,z\)はいずれも実数を値としてとり得る変数であるとき、\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=-1 \\
2y+2z=7 \\
-2z=1\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}は連立1次方程式でしょうか。これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=-1 \\
0x+2y+2z=7 \\
0x+0y-2z=1\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であるため、\(\left( 1\right) \)は連立1次方程式とみなされます。
例(連立1次方程式としての1次方程式)
変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b
\end{equation*}を、1個の方程式だけからなる連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\end{array}\right.
\end{equation*}と同一視することができます。

 

同次連立1次方程式

すべての定数項が\(0\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を同次連立1次方程式(homogeneous system of linear equations)と呼びます。また、同次連立1次方程式ではない連立1次方程式、すなわち少なくとも1つの定数項が非ゼロであるような連立1次方程式を非同次連立1次方程式(nonhomogeneous system of linear equations)と呼びます。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、すべての定数項を\(0\)に置き換えれば同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これを\(\left( 1\right) \)に付随する同次連立1次方程式(associated homogeneous system of linear equations)と呼びます。

例(同次連立1次方程式)
\(x,y,z\)はいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=-1 \\
3x-2y+2z=7 \\
5x+3y-4z=2\end{array}\right.
\end{equation*}は連立1次方程式です。この連立1次方程式に付随する同次連立1次方程式は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=0 \\
3x-2y+2z=0 \\
5x+3y-4z=0\end{array}\right.
\end{equation*}です。

 

連立1次方程式の解

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、それぞれの変数に具体的な実数\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+\cdots +a_{1n}k_{n}=b_{1} \\
a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots +a_{2n}k_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+\cdots +a_{mn}k_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られます。\(\left( 3\right) \)中のすべての命題が真である場合、\(\left( 2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の(solution)と呼びます。\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)を満たす(satisfy)とも言います。逆に、\(\left( 3\right) \)の中に偽であるような命題が存在する場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

例(連立1次方程式の解)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
x+y=7 \\
2x+4y=18\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、それぞれの変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると2つの命題\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
5+2=7 \\
2\cdot 5+4\cdot 2=18\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
7=7 \\
18=18\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらはともに真であるため、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解です。一方、以下の値\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
4\end{array}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を代入すると2つの命題\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
3+4=7 \\
2\cdot 3+4\cdot 4=18\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
7=7 \\
22=18\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、第2式は偽であるため、\(\left( 3\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。
例(連立1次方程式の解)
変数\(x,y,z\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=6 \\
2x-y+4z=2 \\
4x+3y-2z=14\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、それぞれの変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
4 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると3つの命題\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
1+2\cdot 4-3\cdot 1=6 \\
2\cdot 1-4+4\cdot 1=2 \\
4\cdot 1+3\cdot 4-2\cdot 1=14\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
6=6 \\
2=2 \\
14=14\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらはいずれも真であるため、\(\left( 2\right) \)は\(\left(1\right) \)の解です。

同次連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、それぞれの変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}0+a_{12}0+\cdots +a_{1n}0=0 \\
a_{21}0+a_{22}0+\cdots +a_{2n}0=0 \\
\vdots \\
a_{m1}0+a_{m2}0+\cdots +a_{mn}0=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=0 \\
0=0 \\
\vdots \\
0=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらは明らかに真であるため\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解です。ゼロベクトルは任意の同次連立1次方程式の解であるということです。このような解を自明解(trivial solution)やゼロ解(zero solution)などと呼びます。また、同次連立1次方程式\(\left( 1\right) \)が自明解とは異なる解を持つ場合、すなわちゼロベクトルとは異なる解を持つ場合、そのような解を自明ではない解(nontrivial solution)や非ゼロ解(nonzero solution)などと呼びます。

同次連立1次方程式には必ず自明解が存在する一方で、非同次連立1次方程式は解を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(解を持たない連立1次方程式)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
3x-y=1 \\
0x+0y=2\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられたとき、変数\(x,y\)にどのような実数を代入しても第2式の左辺は\(0\)になり、これは右辺\(2\)と一致しません。したがってこの連立1次方程式は解を持ちません。

連立1次方程式が解を持つ場合、それは1つだけであるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(複数の解を持つ連立1次方程式)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
x-y=1 \\
-2x+2y=-2\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}は複数の解を持ちます。具体例を挙げると、実数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}という形で表される実数の組はいずれも\(\left( 1\right) \)の解です。実際、\(\left( 2\right) \)を\(\left( 1\right) \)に代入すると以下の2つの命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
t-\left( t-1\right) =1 \\
-2t+2\left( t-1\right) =-2\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
1=1 \\
-2=-2\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらはともに真であるため、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解です。任意の\(t\)について同様であるため、\(\left( 1\right) \)は無数の解を持ちます。

 

連立1次方程式の解集合

連立1次方程式には解は存在するとは限らず、また、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限らないことが明らかになりました。

与えられた連立1次方程式の解をすべて集めてできる集合を解集合(solution set)や一般解(general solution)などと呼び、解集合の要素である個々の解を(solution)や特殊解(particular solution)などと呼びます。

例(連立1次方程式の解集合)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
x+y=7 \\
2x+4y=18\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、この連立1次方程式は唯一の解\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right)
\end{equation*}を持つため、この連立1次方程式の解集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}です。

例(連立1次方程式の解集合)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
3x-y=1 \\
0x+0y=2\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、この連立1次方程式は解を持たないため、この連立1次方程式の解集合は、\begin{equation*}
\phi
\end{equation*}です。

例(連立1次方程式の解集合)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
x-y=1 \\
-2x+2y=-2\end{array}\right.
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、実数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right)
\end{equation*}という形で表される実数の組はいずれも解であるため、先の連立1次方程式の解集合は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。\(t\)に具体的な値を代入すれば具体的な解が得られます。

 

連立1次方程式と随伴する同次連立1次方程式の解の関係

連立1次方程式の解と、それに随伴する同次連立1次方程式の解の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(連立1次方程式と随伴する同次連立1次方程式の解の関係)
連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}に随伴する同次連立1次方程式は、\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義される。\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(\left(2\right) \)の解集合が\(W\subset \mathbb{R} ^{n}\)であるとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+W=\left\{ u+w\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ w\in W\right\}
\end{equation*}となる。

証明

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連立1次方程式の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を適当に選びます。また、その連立1次方程式に随伴する同次連立1次方程式の解集合を\(W\subset \mathbb{R} ^{n}\)で表記します。後ほど示すように、同次連立1次方程式の解集合\(W\)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。さらに、上の命題より、もとの連立1次方程式の解集合は、\begin{equation*}u+W
\end{equation*}になることが保証されますが、以上の事実は、この解集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。以上の事実は、連立1次方程式の解集合の構造について考察する際に重要な役割を果たします。詳細は場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(2本の直線の交点)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線のベクトル方程式は、その直線上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)および媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されます。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線は、\begin{equation*}L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と表現されます。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線の交点は連立1次方程式の解として表現されますが、それはどのような連立1次方程式でしょうか。定式化してください。
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問題(2本の直線の交点)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、それを直線の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することができます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)に存在する直線は、\begin{equation*}L\left( a_{1},a_{2},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現されます。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つの直線の交点は連立1次方程式の解として表現されますが、それはどのような連立1次方程式でしょうか。定式化してください。
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問題(2つの平面の交点)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面のベクトル方程式は、平面上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)および媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されます。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面は、\begin{equation*}P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と表現されます。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面の交点は連立1次方程式の解として表現されますが、それはどのような連立1次方程式でしょうか。定式化してください。
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問題(2つの平面の交点)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、それを平面の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することができます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面を、\begin{equation*}P\left( a_{1},a_{2},,a_{3},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面の交点は連立1次方程式の解として表現されますが、それはどのような連立1次方程式でしょうか。定式化してください。
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問題(連立1次方程式の解)
変数\(x,y,z\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
x+2y-3z=6 \\
2x-y+4z=2 \\
4x+3y-2z=14\end{array}\right.
\end{equation*}の解集合を求めてください。

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