双線型形式
2つのベクトルからなる順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、実数\(B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める多変数関数\begin{equation*}B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。このような関数\(B\)が以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) +B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( c\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},c\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合には、これを双線型形式（bilinear forms）と呼びます。
条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)は、\(\boldsymbol{y}\)の値を固定して\(B\)を\(\boldsymbol{x}\)を変数とする関数とみなした場合に\(B\)が線形写像であることを意味します。このような事情を踏まえた上で、\(\left( a\right) \)を\(x\)に関する加法性（additivity in the first argument）と呼び、\(\left( b\right) \)を\(x\)に関する斉次性（homogeneity in the first argument）と呼びます。同様に、条件\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)は、\(\boldsymbol{x}\)の値を固定して\(B\)を\(\boldsymbol{y}\)を変数とする関数とみなした場合に\(B\)が線形写像であることを意味します。このような事情を踏まえた上で、\(\left( c\right) \)を\(y\)に関する加法性（additivity in the second argument）と呼び、\(\left( d\right) \)を\(y\)に関する斉次性（homogeneity in the second argument）と呼びます。条件\(\left( b\right),\left( c\right) \)を1つの条件にまとめると、双線型形式が満たすべき先の諸条件を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) +B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( c\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) =B\left( \boldsymbol{x},c\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}と表現することもできます。
正方行列から定義される双線型形式
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、2つの列ベクトルからなる順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の実数\begin{equation*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
B_{A}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\(\boldsymbol{x}\)は列ベクトルであるため、\begin{equation*}\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立ち、したがって、\begin{equation*}
B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}
\end{equation*}を得ます。また、\(\boldsymbol{x},A,\boldsymbol{y}\)の成分を明示すると、\begin{eqnarray*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\begin{pmatrix}
a_{11}y_{1}+\cdots +a_{1n}y_{n} \\
\vdots \\
a_{n1}y_{1}+\cdots +a_{nn}y_{n}\end{pmatrix}
\\
&=&x_{1}\left( a_{11}y_{1}+\cdots +a_{1n}y_{n}\right) +\cdots +x_{n}\left(
a_{n1}y_{1}+\cdots +a_{nn}y_{n}\right) \\
&=&a_{11}x_{1}y_{1}+\cdots +a_{1n}x_{1}y_{n}+\cdots +a_{n1}x_{n}y_{1}+\cdots
+a_{nn}x_{n}y_{n} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。この関数\(B_{A}\)は双線型形式です。
\end{equation*}を定める関数\(B_{A}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは双線型形式である。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{A}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&2x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。
A=\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{A}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&2x_{1}y_{1}+4x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。
0=\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{0}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B_{0}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}0\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}\end{array}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}を値として定めます。
I_{n}=\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{I_{n}}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B_{I_{n}}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}I_{n}\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}\end{array}\right) \\
&=&1x_{1}y_{1}+\cdots +1x_{n}y_{n} \\
&=&x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}
\end{eqnarray*}を値として定めます。
双線型形式は正方行列によって表現される
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、2つの列ベクトルからなる順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}
\end{equation*}を値として定める関数\(B_{A}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは双線型形式になることが明らかになりました。逆に、双線型形式\(B_{A}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}
\end{equation*}を満たす正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することを保証できます。順番に解説します。
関数\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が与えられれば、それぞれの順序対\(\left( i,j\right)\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \times \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)に対して、\begin{equation*}a_{ij}=B\left( \boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right)
\end{equation*}を第\(ij\)成分とする正方行列\begin{equation*}M\left( B\right) =\left( a_{ij}\right) =\left( B\left( \boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right) \right) \in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。以上のように定義される正方行列\(M\left( B\right) \)を双線型形式\(B\)の表現行列（matrix representation of \(B\)）と呼びます。
双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}
\end{equation*}を満たす正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するとともに、このような正方行列\(A\)が一意的に定まります。しかも、この正方行列\(A\)は\(B\)の表現行列と一致します。つまり、\begin{equation*}A=M\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。さらに、\begin{equation*}A=M\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(M\left( B\right) \)は\(B\)の表現行列であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}M\left( B\right) =\left( B\left( \boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right) \right)
\end{equation*}と定義される。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{A}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
=2x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{equation*}を値として定めることは先に示した通りです。逆に、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
=2x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{equation*}を値として定める双線型形式\begin{equation*}
B:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、その表現行列は、\begin{eqnarray*}
M\left( B\right) &=&\begin{pmatrix}
B\left( \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{1}\right) & B\left( \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right) \\
B\left( \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{1}\right) & B\left( \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{2}\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&=&A
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
B=B_{A}
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
対称双線型形式
双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) +B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( c\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},c\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。以上の諸条件に加えて、以下の条件\begin{equation*}
\left( e\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、このような\(B\)を対称双線型形式（symmetric bilinear form）と呼びます。\(\left( e\right) \)を対称性（symmetry）と呼びます。
双線型形式\(B\)が対称双線型形式であることと、\(B\)の表現行列\(M\left( B\right) \)が対称行列であることは必要十分です。
\end{equation*}と定義される。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{A}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
=2x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{equation*}を値として定めることは先に示した通りです。\(A\)は対称行列であるため、先の命題より\(B_{A}\)は対称性を満たします。つまり、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}:B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =B_{A}\left(
\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
A=\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{A}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
=2x_{1}y_{1}+4x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{equation*}を値として定めることは先に示した通りです。\(A\)は対称行列ではないため、先の命題より\(B_{A}\)は対称性を満たしません。実際、以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
B_{A}\left( \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right) &=&4 \\
B_{A}\left( \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right) &=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
B_{A}\left( \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right) \not=B_{A}\left( \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right)
\end{equation*}を得ます。
演習問題
=3x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+5x_{2}y_{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(B\)が双線型形式であることを示してください。また、\(B\)の表現行列を求めてください。さらに、\(B\)が対称双線型形式であるか判定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(B\)が双線型形式であることを示してください。また、\(B\)の表現行列を求めてください。さらに、\(B\)が対称双線型形式であるか判定してください。
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