正方行列の対角化可能性
正方行列の固有値および列固有ベクトルの定義と、それらの概念と正方行列の対角化の関係について簡単に復習します。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに関する固有値問題は、\begin{equation*}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x}
\end{equation*}と定義されます。また、固有値問題の解であるスカラーと非ゼロベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}を\(A\)の固有対と呼びます。固有対\(\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を構成するスカラー\(\lambda \)を正方行列\(A\)の固有値と呼び、固有値\(\lambda \)とともに固有対\(\left(\lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を形成する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)を固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルと呼びます。
正方行列\(A\)が対角化可能である場合には、\(A\)を対角化することにより得られる対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)の対角要素\(\lambda _{i}\)は必ず\(A\)の固有値であるとともに、\(A\)の対角化を実現する基底\(v\)の要素である基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)の列固有ベクトルであることを明らかにしました。
\end{equation*}のもとで、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}が対角行列になることは、\(A\)が対角化可能であるための必要十分条件である。そこで、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda
_{n}\right)
\end{equation*}と表記した場合、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\lambda _{i}\)は\(A\)の固有値であるとともに、\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)に対応する列固有ベクトルとなる。
逆に、正方行列\(A\)の固有値と列固有ベクトルを特定できれば、それを用いることにより\(A\)を対角化できることを示しました。
\end{equation*}が与えられれば、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}
\end{equation*}は対角行列になることが保証されるとともに、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda
_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
したがって、正方行列\(A\)を対角化する際には、その固有値\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{n}\)とそれらに対応する線型独立な列固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)を特定することが基本的な方針となります。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\det \left( A-tI_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を\(A\)の固有多項式と呼びます。スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)が関数\(P_{A}\)の根であることは、すなわち、\begin{equation*}P_{A}\left( \lambda \right) =0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\lambda \)が\(A\)の固有値であるための必要十分条件です。
固有多項式\(P_{A}\left( t\right) \)は\(t\)に関する\(n\)次の多項式\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots
\end{equation*}であるため、複素数の範囲において重複度を含めて\(n\)個の根を持ちます。以上の事実は\(n\)次の正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が重複度を含めて\(n\)個の固有値を持つことを意味します。したがって、正方行列\(A\)の相異なる固有値を\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m}\)と表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、固有多項式を、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}\left( t-\lambda _{1}\right)
^{r_{1}}\times \cdots \times \left( t-\lambda _{m}\right) ^{r_{m}}
\end{equation*}と表現できます。\(r_{i}\)は固有値\(\lambda _{i}\)の重複度を表す自然数です。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda _{i}\in \mathbb{R} \)に関する固有空間は、\begin{equation*}E_{\lambda _{i}}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ A\boldsymbol{x}=\lambda _{i}\boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり、固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有空間とは、\(\lambda _{i}\)に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなる集合です。固有空間\(E_{\lambda _{i}}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、\(E_{\lambda _{i}}\)に属する列固有ベクトルどうしの線型結合もまた\(\lambda _{i}\)に対応する列固有ベクトルです。固有値\(\lambda _{i}\)の重複度を\(r_{i}\)で表記するとき、以下の関係\begin{equation*}\dim E_{\lambda _{i}}\leq r_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、固有値\(\lambda _{i}\)に関する固有空間の次元は\(\lambda _{i}\)の重複度以下になります。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の対角化行列\(\left[ A\right]_{v}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の対角成分は\(n\)個の実数であるとともに、それらはいずれも\(A\)の固有値です。したがって、\(A\)が実数の範囲で対角化可能であるためには\(n\)個の固有値がいずれも実数である必要があります。ただし、重複を認めます。さらに、\(A\)を対角化するためには基底\(v\)が必要ですが、\(v\)には\(n\)個の線型独立な基底ベクトルが含まれるとともに、それぞれの基底ベクトルは先の\(n\)個の固有値に関する列固有ベクトルです。では、\(n\)個の固有値が実数である場合、それらに関する\(n\)個の列固有ベクトルが線型独立であるためにはどのような条件を満たされていればよいのでしょうか。順番に考えます。
固有ベクトルの独立性
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の相異なる固有値\(\lambda _{1}\cdots ,\lambda _{m}\in \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。\(m\leq n\)です。固有値に対して固有ベクトルが必ず存在するため、先の固有値\(\lambda _{1}\cdots ,\lambda _{m}\)に関する固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ選ぶことができますが、これらの固有ベクトルは必ず線型独立になります。
\end{equation*}は線型独立である。
以上の命題を踏まえた上で以下を示します。
\end{equation*}は線型独立である。
正方行列の対角化可能性の判定
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の\(n\)個の固有値がいずれも実数であるものとします。重複を認めるものとして、相異なる固有値を\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{m}\)と表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、それらの重複度\(r_{1},\cdots ,r_{m}\)の間には以下の関係\begin{equation*}r_{1}+\cdots +r_{m}=n
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、それぞれの固有値の固有空間の次元が固有値の重複度と一致するものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\dim E_{\lambda _{i}}=r_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、それぞれの固有空間\(E_{\lambda _{i}}\)から\(r_{i}\)個の列固有ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{i,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{i,r_{i}}
\end{equation*}が得られるため、すべての固有空間\(E_{\lambda_{1}},\cdots ,E_{\lambda _{m}}\)から合計\(n\)個の列固有ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{1,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{1,r_{1}},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m,r_{m}}
\end{equation*}が得られるとともに、先の命題より、これらは線型独立です。したがって、\begin{equation*}
v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{1,r_{1}},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m,r_{m}}\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底であり、これを基底として採用すれば\(A\)は対角化可能です。結果をまとめます。
\end{equation*}が成り立つ場合には、以下の基底\begin{equation*}
v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{1,r_{1}},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m,1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{m,r_{m}}\right\}
\end{equation*}のもとで\(A\)は対角化可能である。
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
3-t & 1 \\
0 & 2-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 3-t\right) \left( 2-t\right) -1\cdot 0 \\
&=&\left( 3-t\right) \left( 2-t\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の固有値は\(2\)と\(3\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。固有値\(2\)の固有空間\(E_{2}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-2I_{2}=\begin{pmatrix}
3-2 & 1 \\
0 & 2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{2} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\dim E_{2}=1
\end{equation*}を得ます。固有値\(3\)の固有空間\(E_{3}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-3I_{2}=\begin{pmatrix}
3-3 & 1 \\
0 & 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{3} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\dim E_{3}=1
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\dim E_{2} &=&r_{2}=1 \\
\dim E_{3} &=&r_{3}=1
\end{eqnarray*}が成り立つことが確認できたため、先の命題より\(A\)は対角化可能です。具体的には、固有値\(2,3\)に関する以下の固有ベクトル集合\begin{equation*}v=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}のもとで\(A\)は対角化可能であるとともに、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
C_{v\rightarrow e} &=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right) =\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
C_{v\rightarrow e}^{-1} &=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right) ^{-1}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{eqnarray*}
\left[ A\right] _{v} &=&C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e} \\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。
正方行列の対角化不可能性の判定
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値の中に複素数が存在する場合には、対角化行列の対角成分の中に複素数が現れてしまうため、\(A\)を実数の範囲で対角化することはできません。
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \quad \because \text{固有多項式の定義} \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
1-t & -1 \\
1 & 1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}-2t+2
\end{eqnarray*}であるため、その根は、\begin{eqnarray*}
t &=&\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2} \\
&=&\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2} \\
&=&\frac{2\pm 2i}{2} \\
&=&1\pm i
\end{eqnarray*}です。\(A\)の固有値は\(1+i\)と\(1-i\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。したがって、\(A\)を実数の範囲で対角化することはできません。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の\(n\)個の固有値がいずれも実数であるものとします。重複を認めるものとして、相異なる固有値を\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{m}\)と表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、それらの重複度\(r_{1},\cdots ,r_{m}\)の間には以下の関係\begin{equation*}r_{1}+\cdots +r_{m}=n
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、少なくとも1つの固有値の固有空間の次元が固有値の重複度を下回るものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\dim E_{\lambda _{i}}<r_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、すべての固有空間\(E_{\lambda_{1}},\cdots ,E_{\lambda _{m}}\)から得られる列固有ベクトルの個数が\(n\)を下回ってしまうため、それらの列固有ベクトルからなる集合は\(\mathbb{R} ^{2}\)の基底になり得ず、したがって、\(A\)は対角化不可能です。
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \quad \because \text{固有多項式の定義} \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
3-t & 1 \\
-1 & 1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}-4t+4 \\
&=&\left( t-2\right) ^{2}
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の固有値は\(2\)であり、その重複度は\(2\)です。固有値\(2\)の固有空間\(E_{2}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-2I_{2}=\begin{pmatrix}
3-2 & 1 \\
-1 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{2} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\dim E_{2}=1
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\dim E_{2}<r_{2}
\end{equation*}を得るため、\(A\)は対角化可能ではありません。
演習問題
A=\begin{pmatrix}
1 & -3 & 3 \\
3 & -5 & 3 \\
6 & -6 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}は対角化可能でしょうか。判定してください。また、対角化可能である場合には、それを可能にする基底\(v\)と対角化行列\(\left[ A\right] _{v}\)を特定してください。
A=\begin{pmatrix}
-3 & 1 & -1 \\
-7 & 5 & -1 \\
-6 & 6 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}は対角化可能でしょうか。判定してください。また、対角化可能である場合には、それを可能にする基底\(v\)と対角化行列\(\left[ A\right] _{v}\)を特定してください。
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