2次形式がとり得る値の範囲と固有値の関係
表現行列が対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるような2次形式\begin{equation*}Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つということです。2次形式\(Q_{A}\)の符号は、\begin{eqnarray*}Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0 \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0 \\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0 \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0 \\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &\exists
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0\wedge \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{y}^{t}A\boldsymbol{y}<0
\end{eqnarray*}と定義されますが、\(\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\)の符号を直接特定するのは必ずしも容易ではありません。代替的な手法が要請されます。
非ゼロのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)および非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( c\boldsymbol{x}\right) &=&\left( c\boldsymbol{x}\right)
^{t}A\left( c\boldsymbol{x}\right) \\
&=&c\boldsymbol{x}^{t}Ac\boldsymbol{x} \\
&=&c^{2}\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、\(c\not=0\)ゆえに\(c^{2}>0\)であるため、\(c^{2}\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\)の符号は常に一致します。言い換えると、\(Q_{A}\left( c\boldsymbol{x}\right) \)と\(Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の符号は常に一致するため、\(Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の符号を調べる代わりに\(Q_{A}\left( c\boldsymbol{x}\right) \)の符号を調べても一般性は失われません。特に、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}\left\Vert c\boldsymbol{x}\right\Vert =1
\end{equation*}を満たすような\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を選ぶことができ、それに対しても同様の議論が成立するため、結局、\(Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の符号を調べる際には\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\)を満たすような非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)だけを対象にしても一般性は失われません。つまり、\begin{eqnarray*}Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\Rightarrow \boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0\right) \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\Rightarrow \boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0\right)
\\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\Rightarrow \boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0\right) \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\Rightarrow \boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0\right)
\\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &\exists
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\wedge \boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0\right) \wedge
\exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert =1\wedge \boldsymbol{y}^{t}A\boldsymbol{y}<0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その表現行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は対称行列であるため\(n\)個の固有値\(\lambda_{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb{R} \)がいずれも実数として定まります。有限個の実数からなる集合に対しては最大値と最小値がそれぞれ1つの実数として定まるため、\begin{eqnarray*}\max \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\} &\in &\mathbb{R} \\
\min \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つことに注意してください。その上で、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\)を満たしながら値を変化させる場合、以下の不等式\begin{equation*}\min \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\} \leq Q_{A}\left(
\boldsymbol{x}\right) \leq \max \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda
_{n}\right\}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。しかも、\(Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の最大値は\(\max \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\} \)と一致し、\(Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の最小値は\(\min \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda_{n}\right\} \)と一致します。つまり、\begin{eqnarray*}\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \wedge \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max \left\{ \lambda
_{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\} \\
\min_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \wedge \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\min \left\{ \lambda
_{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\boldsymbol{x}\right) \leq \max \left\{ \lambda _{1},\cdots ,\lambda
_{n}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。さらに、\begin{eqnarray*}
\max_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \wedge \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\max \left\{ \lambda
_{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\} \\
\min_{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \wedge \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\min \left\{ \lambda
_{1},\cdots ,\lambda _{n}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
正定値である2次形式と固有値の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が正定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、先の命題を用いると、以上の条件は、\(Q_{A}\)の表現行列の固有値がすべて正であることと必要十分であることが示されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&>&0\quad \because \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は正定値です。したがって、先の命題より\(A\)の固有値はいずれも正であるはずです。実際、固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
1-t & 0 \\
0 & 1-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 1-t\right) ^{2}
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 1-t\right) ^{2}=0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=1
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(1\)であり、その重複度は\(2\)です。\(1\)は正ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
半正定値である2次形式と固有値の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半正定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、先の命題を用いると、以上の条件は、\(Q_{A}\)の表現行列の固有値がすべて非負であることと必要十分であることが示されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&=&\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は半正定値です。したがって、先の命題より\(A\)の固有値はいずれも非負であるはずです。実際、固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
1-t & -1 \\
-1 & 1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}-2t \\
&=&t\left( t-2\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
t\left( t-2\right) =0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=1
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(0\)と\(2\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。\(0\)と\(2\)は非負ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
負定値である2次形式と固有値の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が負定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、先の命題を用いると、以上の条件は、\(Q_{A}\)の表現行列の固有値がすべて負であることと必要十分であることが示されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \\
&<&0\quad \because \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は負定値です。したがって、先の命題より\(A\)の固有値はいずれも負であるはずです。実際、固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
-1-t & 0 \\
0 & -1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}+2t+1 \\
&=&\left( t+1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( t+1\right) ^{2}=0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=-1
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(-1\)であり、その重複度は\(2\)です。\(-1\)は負ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
半負定値である2次形式と固有値の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半負定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、先の命題を用いると、以上の条件は、\(Q_{A}\)の表現行列の固有値がすべて非正であることと必要十分であることが示されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} \\
&=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} \\
&=&-\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&\leq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は半負定値です。したがって、先の命題より\(A\)の固有値はいずれも非正であるはずです。実際、固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
-1-t & 1 \\
1 & -1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}+2t \\
&=&t\left( t+2\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
t\left( t+2\right) =0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=-2,0
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(-2\)と\(0\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。\(-2\)と\(0\)はともに非正ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
不定値である2次形式と固有値の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が不定値であることは、\begin{eqnarray*}\exists \boldsymbol{x} &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0 \\
\exists \boldsymbol{y} &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{y}^{t}A\boldsymbol{y}<0
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されますが、先の命題を用いると、以上の条件は、\(Q_{A}\)の表現行列の固有値の中に正と負の値がともに存在することと必要十分であることが示されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2} \\
&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\frac{3}{2}x_{1}x_{2}+\frac{3}{2}x_{2}x_{1} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。以下の非ゼロベクトル\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}に注目した場合、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &=&1+1+3=5>0 \\
Q_{A}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&1+1-3=-1<0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(Q_{A}\)は不定値です。したがって、先の命題より\(A\)の固有値の中には正の値と負の値がともに存在するはずです。実際、固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
1-t & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}-2t-\frac{5}{4} \\
&=&\frac{1}{4}\left( 2t+1\right) \left( 2t-5\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{4}\left( 2t+1\right) \left( 2t-5\right) =0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=-\frac{1}{2},\frac{5}{2}
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(-\frac{1}{2}\)と\(\frac{5}{2}\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。\(-\frac{1}{2}\)は負で\(\frac{5}{2}\)は正ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(Q\)の符号を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(Q\)の符号を特定してください。
=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(Q\)の符号を特定してください。
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