実固有値に対応する実固有ベクトルの存在
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、複素数を含めると、\(A\)の固有値は必ず存在します。しかも、その個数は重複度を含めて\(n\)個です。したがって、正方行列\(A\)の固有値\(\lambda \)が与えられたとき、\(\lambda \)が実数である場合と、\(\lambda \)が複素数である場合の2パターンが起こり得ます。特に、\(\lambda \)が実数である場合には、\(\lambda \)に対応する固有ベクトルの中には非ゼロの実ベクトル、すなわちすべての成分が実数であるような非ゼロベクトルが必ず存在します。
命題（実固有値に対応する実固有ベクトルの存在）
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda \)が実数である場合には、\(\lambda \)に対応する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の中には非ゼロの実ベクトルが存在する。
例（実固有値に対応する実固有ベクトル）
正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
3-t & 1 \\
0 & 2-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 3-t\right) \left( 2-t\right) -1\cdot 0 \\
&=&\left( 3-t\right) \left( 2-t\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の固有値は\(2\)と\(3\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。固有値\(2\)の固有空間\(E_{2}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-2I_{2}=\begin{pmatrix}
3-2 & 1 \\
0 & 2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{2} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(2\)に対応する実固有ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が存在することが明らかになりました。固有値\(3\)の固有空間\(E_{3}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-3I_{2}=\begin{pmatrix}
3-3 & 1 \\
0 & 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{3} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(3\)に対応する実固有ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が存在することが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
3-t & 1 \\
0 & 2-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 3-t\right) \left( 2-t\right) -1\cdot 0 \\
&=&\left( 3-t\right) \left( 2-t\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の固有値は\(2\)と\(3\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。固有値\(2\)の固有空間\(E_{2}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-2I_{2}=\begin{pmatrix}
3-2 & 1 \\
0 & 2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{2} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(2\)に対応する実固有ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が存在することが明らかになりました。固有値\(3\)の固有空間\(E_{3}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-3I_{2}=\begin{pmatrix}
3-3 & 1 \\
0 & 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{3} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(3\)に対応する実固有ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が存在することが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
実固有値に対して実固有ベクトルが必ず存在することが明らかになりましたが、その一方で、実固有値に対して複素固有ベクトルが存在する可能性は排除されません。以下の例より明らかです。
例（実固有値に対応する複素固有ベクトル）
正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の固有値が\(2\)と\(3\)であることは先に確認した通りです。その上で、以下の実ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}は固有値\(3\)に対応する固有ベクトルの1つであることを示しました。このベクトルを複素数\(i\)倍すると非ゼロの複素ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が得られますが、これもまた固有値\(3\)に対応する固有ベクトルです。実際、\begin{eqnarray*}A\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) &=&\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3i \\
0\end{array}\right) \\
3\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3i \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、\begin{equation*}
A\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) =3\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の固有値が\(2\)と\(3\)であることは先に確認した通りです。その上で、以下の実ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}は固有値\(3\)に対応する固有ベクトルの1つであることを示しました。このベクトルを複素数\(i\)倍すると非ゼロの複素ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が得られますが、これもまた固有値\(3\)に対応する固有ベクトルです。実際、\begin{eqnarray*}A\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) &=&\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3i \\
0\end{array}\right) \\
3\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3i \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、ゆえに、\begin{equation*}
A\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right) =3\left(
\begin{array}{c}
i \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値がいずれも実数である場合には、先の命題より、それぞれの固有値に対する実固有ベクトルが存在するため、実ベクトルであるような基底を通じて、\(A\)を実行列へ対角化できます。では、すべての固有値が実数になることが保証される正方行列は存在するのでしょうか。
対称行列の固有値と固有ベクトル
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対称行列であるものとします。つまり、\begin{equation*}A^{t}=A
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(A\)の固有値がいずれも実数になることが保証されます。
命題（対称行列の固有値）
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対称行列であるならば、\(A\)の固有値はいずれも実数である。
対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は重複度を含めて\(n\)個の固有値を持ちますが、先の命題より、これらはいずれも実数であることが明らかになりました。さらに冒頭において示した命題より、これらの固有値に対応する実固有ベクトルがそれぞれ存在します。したがって、対称行列を議論の対象とする場合には、実数の範囲で固有値と固有ベクトルを考えても問題はないことになります。ゆえに、対称行列は実ベクトルであるような基底を通じて実行列であるような対角行列へ対角化可能です。
例（対称行列の固有値と固有ベクトル）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{eqnarray*}
A^{t} &=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)は対称行列です。固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
2-t & 1 \\
1 & 3-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 2-t\right) \left( 3-t\right) -1\cdot 1 \\
&=&t^{2}-5t+5
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
t_{2}-5t+5=0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は、\begin{eqnarray*}\lambda _{1} &=&\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\
\lambda _{2} &=&\frac{5-\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}であり、それぞれの重複度は\(1\)です。これらはいずれも実数であるため、この結果は先の命題の主張と整合的です。固有値\(\lambda _{1}\)の固有空間\(E_{\lambda _{1}}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-\frac{5+\sqrt{5}}{2}I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-\frac{5+\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & 3-\frac{5+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & 1 & 0 \\
1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda _{1}} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2}k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(\lambda _{1}\)の固有ベクトルの中には実ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が存在します。固有値\(\lambda _{2}\)の固有空間\(E_{\lambda_{2}}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-\frac{5-\sqrt{5}}{2}I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-\frac{5-\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & 3-\frac{5-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{-1+\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{-1+\sqrt{5}}{2} & 1 & 0 \\
1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda _{2}} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2}k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(\lambda _{2}\)の固有ベクトルの中には実ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が存在します。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{eqnarray*}
A^{t} &=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}
\\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)は対称行列です。固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
2-t & 1 \\
1 & 3-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 2-t\right) \left( 3-t\right) -1\cdot 1 \\
&=&t^{2}-5t+5
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
t_{2}-5t+5=0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は、\begin{eqnarray*}\lambda _{1} &=&\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\
\lambda _{2} &=&\frac{5-\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}であり、それぞれの重複度は\(1\)です。これらはいずれも実数であるため、この結果は先の命題の主張と整合的です。固有値\(\lambda _{1}\)の固有空間\(E_{\lambda _{1}}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-\frac{5+\sqrt{5}}{2}I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-\frac{5+\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & 3-\frac{5+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & 1 & 0 \\
1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda _{1}} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2}k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(\lambda _{1}\)の固有ベクトルの中には実ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が存在します。固有値\(\lambda _{2}\)の固有空間\(E_{\lambda_{2}}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-\frac{5-\sqrt{5}}{2}I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-\frac{5-\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & 3-\frac{5-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{-1+\sqrt{5}}{2} & 1 \\
1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{-1+\sqrt{5}}{2} & 1 & 0 \\
1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda _{2}} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2}k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、固有値\(\lambda _{2}\)の固有ベクトルの中には実ベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が存在します。
対称行列の異なる固有値に関する固有ベクトルどうしは直交する
対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の異なる2つの固有値\(\lambda _{i},\lambda _{j}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、さらに、それらに対応する実固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i},\boldsymbol{x}_{j}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、これらは必ず直交します。
命題（対称行列の異なる固有値に関する固有ベクトルどうしは直交する）
対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の異なる2つの固有値\(\lambda _{i},\lambda _{j}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、さらに、それらに対応する固有ベクトル\(\boldsymbol{x}_{i},\boldsymbol{x}_{j}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}_{i}\)と\(\boldsymbol{x}_{j}\)は直交する。
例（対称行列の異なる固有値に関する固有ベクトルどうしは直交する）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は対称行列であるとともに、その固有値が、\begin{eqnarray*}
\lambda _{1} &=&\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\
\lambda _{2} &=&\frac{5-\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}であり、それぞれの固有空間が、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda _{1}} &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right) \\
E_{\lambda _{2}} &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}であることを先に示しました。さらに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、\(E_{\lambda_{1}}\)と\(E_{\lambda _{2}}\)からベクトルを1つずつ任意に選んだとき、それらは直交します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}は対称行列であるとともに、その固有値が、\begin{eqnarray*}
\lambda _{1} &=&\frac{5+\sqrt{5}}{2} \\
\lambda _{2} &=&\frac{5-\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}であり、それぞれの固有空間が、\begin{eqnarray*}
E_{\lambda _{1}} &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right) \\
E_{\lambda _{2}} &=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}であることを先に示しました。さらに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\
1\end{array}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、\(E_{\lambda_{1}}\)と\(E_{\lambda _{2}}\)からベクトルを1つずつ任意に選んだとき、それらは直交します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
問題（対称行列の固有値と固有ベクトル）
以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & -2 \\
0 & -2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & -2 \\
0 & -2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(A\)が対称行列であることを示してください。
- \(A\)の固有値をすべて特定した上で、それらがいずれも実数であることを確認してください。
- \(A\)のそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルをすべて求めた上で、その中には実ベクトルが存在することを示してください。
- \(A\)の異なる固有値に対応する固有ベクトルどうしは直交することを示してください。
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