確認テスト I（固有値と固有ベクトル）

線形変換\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z \\
b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z \\
c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb{R} \)です。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列が、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}であることを示してください。

線形変換\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x_{2}+x_{3} \\
x_{1}-4x_{2} \\
3x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列を\(A\)で表記します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 以下の基底\begin{equation*}v=\left\{ \left(
   \begin{array}{c}
   1 \\
   1 \\
   1\end{array}\right) ,\left(
   \begin{array}{c}
   1 \\
   1 \\
   0\end{array}\right) ,\left(
   \begin{array}{c}
   1 \\
   0 \\
   0\end{array}\right) \right\}
   \end{equation*}に関する\(\boldsymbol{f}\)の表現行列\(\left[ A\right] _{v}\)を求めてください。
2. 任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)について、以下の関係\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left[ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \right] _{v}\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(A\)のすべての固有値を求めてください。
2. \(A\)のそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めてください。
3. \(A\)を対角化する基底\(v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\} \)を特定した上で、対角化行列\(\left[ A\right] _{v}\)を求めてください。
4. 線形変換\(\boldsymbol{f}_{A}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)による基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\)の像が\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\)のスカラー倍であることを確認してください。

以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(A\)のすべての固有値とその重複度を求めてください。
2. \(A\)のそれぞれの固有値に対応する固有空間とその次元を求めてください。
3. \(A\)のそれぞれの固有値について、固有空間の次元が固有値の重複度以下であることを確認してください。