確認テスト II（固有値と固有ベクトル）

三角行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)です。\(A\)の固有値を求めてください。

以下の正方行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。\(s\in \mathbb{R} \)です。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(3\)が\(A\)の固有値であるものとします。\(s\)の値を求めてください。
2. 先に求めた\(s\)の値を踏まえたとき、\(A\)は\(3\)とは異なる固有値を持つでしょうか。議論してください。

以下の問いに答えてください。

1. 正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられているものとします。さらに、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =A\boldsymbol{x}\end{equation*}を像として定める線形変換\(f_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を定義します。その上で、\(A\)が正則であることと、\(f_{A}\)の核が、\begin{equation*}\ker f_{A}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
   \end{equation*}であることが必要十分であることを証明してください。
2. 正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\(0\in \mathbb{R} \)が\(A\)の固有値であることと、\(A\)が非正則であることが必要十分であることを証明してください。

2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられているものとします。\(AB\)と\(BA\)は同じ固有値を持つことを証明してください。