2次形式の表現行列の特定

2次形式の表現行列

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに関連する双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、両者の間には以下の関係\begin{equation}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q\left( \boldsymbol{x}\right) =B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。双線型形式\(B\)に対しては、その表現行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が一意的に存在して、両者の間に以下の関係\begin{equation}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}Q\left( \boldsymbol{x}\right) &=&B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、2次形式とは、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)のうちの2つの変数の積、すなわち\(x_{i}^{2}\)の形と\(x_{i}x_{j}\ \left( i\not=j\right) \)の形の積にそれぞれ定数をかけて加えることにより得られる形の式です。

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに関連する双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限らず、したがって、以下の条件\begin{equation}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は一意的に定まるとは限りません。一方、\(\left( 1\right) \)を満たす対称行列が一意的に存在することが保証されることを既に示しました。そこで、\(\left(1\right) \)を満たす対称行列\(A\)を2次形式\(Q\)の表現行列（matrix representation of \(Q\)）と呼びます。

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の表現行列が\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であることを明示したい場合には、\(Q\)のことを、\begin{equation*}Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記できるものと定めます。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}です。

以降では、2次形式の表現行列を具体的に特定する方法について解説します。

2次形式に関連する双曲線形式が与えられている場合

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に関連する双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が具体的に与えられている状況を想定します。

双線型形式\(B\)が対称性を満たす場合、すなわち\(B\)が対称双線型形式である場合には、\(B\)の表現行列\(M\left( B\right) \)は対称行列です。双線型形式の表現行列は一意的に定まるため、この場合、\(M\left( B\right) \)は2次形式\(Q\)の表現行列でもあります。つまり、2次形式\(Q\)に関連する双線型形式\(B\)が対称双線型形式である場合には、\(Q\)の表現行列\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}A=M\left( B\right) =\left( B\left( \boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right) \right)
\end{equation*}と表現されます。

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に関連する双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が対称性を満たさない場合においても、それぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\beta \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\frac{1}{2}\left[ B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
\beta :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すれば、\(\beta \)は\(Q\)に関連付けられた唯一の対称双線型形式であるとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\beta \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\frac{1}{2}\left[
Q\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) -Q\left( \boldsymbol{x}\right)
-Q\left( \boldsymbol{y}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを既に示しました。\(\beta \)の表現行列\(M\left( \beta \right) \)は対称行列です。双線型形式の表現行列は一意的に定まるため、この場合、\(M\left( \beta \right) \)は2次形式\(Q\)の表現行列でもあります。つまり、2次形式\(Q\)に関連する双線型形式\(B\)が対称双線型形式であるとは限らない場合でも、そこから先の要領で\(\beta \)を定義すれば、\(Q\)の表現行列\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}A=M\left( \beta \right) =\left( \beta \left( \boldsymbol{e}_{i},\boldsymbol{e}_{j}\right) \right)
\end{equation*}と表現されます。

2次形式が多項式として与えられている場合

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数\begin{equation}Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}
\quad \cdots (1)
\end{equation}として与えられている場合、\(Q\)の表現行列を求めるためにはどうすればよいでしょうか。この場合、\(Q\)の係数行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}と定まるとともに、\begin{equation*}
Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つため、\(A\)が対称行列であれば目標は達成されます。ただし、多項式関数\(\left( 1\right) \)から係数行列\(A\)は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

以上の例から明らかになったように、2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の形\begin{eqnarray*}Q\left( \boldsymbol{x}\right)
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_{i}x_{j}
\end{eqnarray*}として理解できるため、\(x_{i}^{2}\)の係数\(a_{ii}\)をそのまま係数行列\(A\)の\(ij\)成分として採用し、\(x_{i}x_{j}\)の係数を2等分した上でそれぞれを係数行列の\(ij\)成分と\(ji\)成分として採用すれば\(A\)は対称行列になるため、\(A\)は\(Q\)の表現行列となります。2次形式\(Q\)の表現行列は一意的に定まるため、以上の要領で得られた対称行列\(A\)は\(Q\)の一意的な表現行列です。

演習問題