2次形式の符号と主座小行列式の符号の関係
表現行列が対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるような2次形式\begin{equation*}Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つということです。2次形式\(Q_{A}\)の符号は、\begin{eqnarray*}Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0 \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0 \\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0 \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0 \\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &\exists
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0\wedge \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{y}^{t}A\boldsymbol{y}<0
\end{eqnarray*}と定義されます。また、以下の関係\begin{eqnarray*}
Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて正} \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて非負} \\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて負} \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて非正} \\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値の中に正と負が存在する}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\)の固有値の符号を観察することにより\(Q_{A}\)の符号を特定できます。以降では、\(A\)の主座小行列式の符号を観察することによっても\(Q_{A}\)の符号を特定できることを示します。
正定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が正定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の命題は、\(A\)の固有値がすべて正であることと必要十分です。
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が正定値である場合には、その表現行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行列式の値は必ず正になります。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert >0
\end{equation*}が成り立ちます。
A\right\vert >0
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題を踏まえた上で以下を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&>&0\quad \because \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は正定値です。したがって、先の命題より\(A\)の任意の主座小行列式は正であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1>0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1>0 \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}=1>0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
半正定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半正定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の命題は、\(A\)の固有値がすべて非負であることと必要十分です。
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半正定値である場合には、その表現行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行列式の値は必ず非負になります。つまり、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。
A\right\vert \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題を踏まえた上で以下を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&=&\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&\geq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は半正定値です。したがって、先の命題より\(A\)の任意の主座小行列式は非負であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1>0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1>0 \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1\end{vmatrix}=1-1=0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
負定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が負定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の命題は、\(A\)の固有値がすべて負であることと必要十分です。
以下もまた成り立ちます。
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の主座小行列式が負}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の主座小行列式が正}\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \\
&<&0\quad \because \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は負定値です。したがって、先の命題より\(A\)の奇数次の主座小行列式は負であり偶数次の主座小行列式は正であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert -1\right\vert =-1<0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert -1\right\vert =-1<0
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1\end{vmatrix}=1-0=1>0
\end{equation*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
半負定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半負定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の命題は、\(A\)の固有値がすべて非正であることと必要十分です。
以下もまた成り立ちます。
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の主座小行列式が非正}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の主座小行列式が非負}\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} \\
&=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}です。任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2} \\
&=&-\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2} \\
&\leq &0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q_{A}\)は半負定値です。したがって、先の命題より\(A\)の奇数次の主座小行列式は非正であり偶数次の主座小行列式は非負であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert -1\right\vert =-1<0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert -1\right\vert =-1<0
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{vmatrix}=1-1=0
\end{equation*}ですが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
不定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が不定値であることは、\begin{eqnarray*}\exists \boldsymbol{x} &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0 \\
\exists \boldsymbol{y} &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{y}^{t}A\boldsymbol{y}<0
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されますが、以上の命題は、\(A\)の固有値の中に正と負の値がともに存在することと必要十分です。
以下もまた成り立ちます。
\begin{array}{l}
A\text{の奇数次の主座小行列式の中に正と負が存在する}\vee \\
A\text{の偶数次の主座小行列式の中に負が存在する}\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2} \\
&=&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\frac{3}{2}x_{1}x_{2}+\frac{3}{2}x_{2}x_{1} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\(Q_{A}\)の表現行列は、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。以下の非ゼロベクトル\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}に注目した場合、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &=&1+1+3=5>0 \\
Q_{A}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&1+1-3=-1<0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(Q_{A}\)は不定値です。\(1\)次の主座小行列式は、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1>0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert 1\right\vert =1>0
\end{eqnarray*}を満たし、\(2\)次の首座小行列式は、\begin{equation*}\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1\end{vmatrix}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}<0
\end{equation*}を満たします。つまり、\(A\)の偶数次の主座小行列式の中に負が存在しますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。主座小行列式を用いて\(Q\)の符号を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。主座小行列式を用いて\(Q\)の符号を特定してください。
=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}
\end{equation*}を定めるものとします。主座小行列式を用いて\(Q\)の符号を特定してください。
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