主座小行列式
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \left( a_{ij}\right) \in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \right\} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。\(m\leq n\)を満たす\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに以下の条件\begin{equation*}1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n
\end{equation*}を満たす\(m\)個の番号\(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{m}\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。その上で、以下の正方行列\begin{eqnarray*}A_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{m}} &=&\left\{ \left( a_{ij}\right) \in
M_{m,m}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ i,j\in \left\{ i_{1},i_{2},\cdots ,i_{m}\right\} \right\} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{i_{1}i_{1}} & a_{i_{1}i_{2}} & \cdots & a_{i_{1}i_{m}} \\
a_{i_{2}i_{1}} & a_{i_{2}i_{2}} & \cdots & a_{i_{2}i_{m}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_{m}i_{1}} & a_{i_{m}i_{2}} & \cdots & a_{i_{m}i_{m}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定義します。これをもとの正方行列\(A\)の\(m\)次の主座小行列（principal submatrix）と呼びます。さらに、主座小行列式の行列式\begin{equation*}\left\vert A_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{m}}\right\vert =\begin{vmatrix}
a_{i_{1}i_{1}} & a_{i_{1}i_{2}} & \cdots & a_{i_{1}i_{m}} \\
a_{i_{2}i_{1}} & a_{i_{2}i_{2}} & \cdots & a_{i_{2}i_{m}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i_{m}i_{1}} & a_{i_{m}i_{2}} & \cdots & a_{i_{m}i_{m}}\end{vmatrix}\end{equation*}を\(m\)次の主座小行列式（principal minor）と呼びます。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の主座小行列式\(A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}\in M_{m,m}\left( \mathbb{R} \right) \)とは、\(A\)から\(i_{1},i_{2},\cdots,i_{m}\)行以外のすべての行の要素と、\(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{m}\)列以外のすべての列の要素を消去することにより得られる正方行列に他なりません。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、番号\(1\)に注目すれば\(1\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{1}=\left( a_{11}\right)
\end{equation*}が得られ、番号\(2\)に注目すれば\(1\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{2}=\left( a_{22}\right)
\end{equation*}が得られます。また、番号\(1,2\)に注目すれば\(2\)次の主座小行列式\begin{equation*}A_{1,2}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。主座小行列式は、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &=&a_{11} \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&a_{22} \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}です。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、番号\(1\)に注目すれば\(1\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{1}=\left( a_{11}\right)
\end{equation*}が得られ、番号\(2\)に注目すれば\(1\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{2}=\left( a_{22}\right)
\end{equation*}が得られ、番号\(3\)に注目すれば\(1\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{3}=\left( a_{33}\right)
\end{equation*}が得られます。また、番号\(1,2\)に注目すれば\(2\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{1,2}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られ、番号\(2,3\)に注目すれば\(2\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{2,3}=\begin{pmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られ、番号\(1,3\)に注目すれば\(2\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{1,3}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。また、番号\(1,2,3\)に注目すれば\(3\)次の主座小行列\begin{equation*}A_{1,2,3}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。主座小行列式は、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &=&a_{11} \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&a_{22} \\
\left\vert A_{3}\right\vert &=&a_{33} \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert A_{2,3}\right\vert &=&a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} \\
\left\vert A_{1,3}\right\vert &=&a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} \\
\left\vert A_{1,2,3}\right\vert
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}です。
狭義の主座小行列式
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の主座小行列式\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( a_{11}\right) \\
A_{1,2} &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
A_{1,2,3} &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}
\\
&&\vdots \\
A_{1,2,3,\cdots ,n} &=&A
\end{eqnarray*}を特に狭義の主座小行列（strict principal submatrix）と呼び、これらを、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&A_{1} \\
A_{2} &=&A_{1,2} \\
A_{3} &=&A_{1,2,3} \\
&&\vdots \\
A_{n} &=&A_{1,2,3,\cdots ,n}=A
\end{eqnarray*}で表記します。また、主座小行列式の行列式\begin{equation*}
\left\vert A_{1}\right\vert ,\left\vert A_{2}\right\vert ,\left\vert
A_{3}\right\vert ,\cdots ,\left\vert A_{n}\right\vert
\end{equation*}を狭義の主座小行列式（strict principal minor）と呼びます。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、狭義の主座小行列としては、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left( a_{11}\right) \\
A_{2} &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が存在し、狭義の主座小行列式は、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &=&a_{11} \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}です。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、狭義の主座小行列としては、\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\left( a_{11}\right) \\
A_{2} &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
A_{3} &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が存在し、狭義の主座小行列式は、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1}\right\vert &=&a_{11} \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert A_{3}\right\vert
&=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}です。
行列の主座小行列式と固有値の関係
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に関する固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して以下の実数\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( tI_{n}-A\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
t-a_{11} & \cdots & -a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & \cdots & t-a_{nn}\end{pmatrix}
\\
&=&t^{n}+c_{1}t^{n-1}+\cdots +c_{n-1}t+c_{n}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
P_{A}\left( t\right) =t^{n}+c_{1}t^{n-1}+\cdots +c_{n-1}t+c_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を値として定めます。ただし、\(c_{1},\cdots ,c_{n-1},c_{n}\in \mathbb{R} \)です。他方で、正方行列\(A\)には\(n\)個の固有値\(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\)が存在するとともに、それらは方程式\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}の解であるため、\begin{eqnarray*}
P_{A}\left( t\right) &=&\left( t-\lambda _{1}\right) \left( t-\lambda
_{2}\right) \times \cdots \times \left( t-\lambda _{n}\right) \\
&=&t^{n}-\left( \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}\right)
t^{n-1}+\left( \lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\cdots
+\lambda _{n-1}\lambda _{n}\right) t^{n-2} \\
&&-\left( \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{1}\lambda
_{2}\lambda _{4}+\cdots +\lambda _{n-2}\lambda _{n-1}\lambda _{n}\right)
t^{n-3}+\cdots +\left( -1\right) ^{n}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda
_{n} \\
&=&t^{n}+\left( -1\right) ^{1}\sum_{1\leq i\leq n}\lambda _{i}t^{n-1}+\left(
-1\right) ^{2}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda
_{i_{2}}t^{n-2}+\left( -1\right) ^{3}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq
n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\lambda _{i_{3}}t^{n-3}+\cdots +\left(
-1\right) ^{n}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
P_{A}\left( t\right) =t^{n}+\left( -1\right) ^{1}\sum_{1\leq i\leq n}\lambda
_{i}t^{n-1}+\left( -1\right) ^{2}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\lambda
_{i_{1}}\lambda _{i_{2}}t^{n-2}+\left( -1\right) ^{3}\sum_{1\leq
i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\lambda
_{i_{3}}t^{n-3}+\cdots +\left( -1\right) ^{n}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots
\lambda _{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)は一致するため係数を比較することにより、\begin{eqnarray*}c_{1} &=&\left( -1\right) ^{1}\sum_{1\leq i\leq n}\lambda
_{i}=-\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i} \\
c_{2} &=&\left( -1\right) ^{2}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\lambda
_{i_{1}}\lambda _{i_{2}} \\
c_{3} &=&\left( -1\right) ^{3}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\lambda
_{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\lambda _{i_{3}} \\
&&\vdots \\
c_{n} &=&\left( -1\right) ^{n}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}
\end{eqnarray*}を得ます。これを一般的な形で表現すると、\begin{eqnarray*}
c_{1} &=&-\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i} \\
c_{m} &=&\left( -1\right) ^{m}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq
n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{m}}\quad \left(
m=2,\cdots ,n-1\right) \\
c_{n} &=&\left( -1\right) ^{n}\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}
\end{eqnarray*}となり、さらにこれを変形することにより、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i} &=&-c_{1} \\
\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda
_{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{m}} &=&\left( -1\right) ^{m}c_{m}\quad \left(
m=2,\cdots ,n-1\right) \\
\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n} &=&\left( -1\right) ^{n}c_{n}
\end{eqnarray*}を得ます。結果をまとめます。
&=&t^{n}+c_{1}t^{n-1}+\cdots +c_{n-1}t+c_{n}
\end{eqnarray*}と表現される。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i} &=&-c_{1} \\
\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda
_{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{m}} &=&\left( -1\right) ^{m}c_{m}\quad \left(
m=2,\cdots ,n-1\right) \\
\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n} &=&\left( -1\right) ^{n}c_{n}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
さらに、以下の命題もまた成り立ちます。
&=&t^{n}+c_{1}t^{n-1}+\cdots +c_{n-1}t+c_{n}
\end{eqnarray*}と表現される。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}a_{ii} &=&-c_{1} \\
\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n}\left\vert A_{i_{1},i_{2},\cdots
,i_{m}}\right\vert &=&\left( -1\right) ^{m}c_{m}\quad \left( m=2,\cdots
,n-1\right) \\
\left\vert A\right\vert &=&\left( -1\right) ^{n}c_{n}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
以上の2つの命題を総合すると以下を得ます。
&=&t^{n}+c_{1}t^{n-1}+\cdots +c_{n-1}t+c_{n}
\end{eqnarray*}と表現される。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}a_{ii} &=&\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i} \\
\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n}\left\vert A_{i_{1},i_{2},\cdots
,i_{m}}\right\vert &=&\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n}\lambda
_{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{m}}\quad \left( m=2,\cdots
,n-1\right) \\
\left\vert A\right\vert &=&\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}の固有値が\(\lambda _{1},\lambda _{2}\)である場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}a_{11}+a_{22} &=&\lambda _{1}+\lambda _{2} \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&\lambda _{1}\lambda _{2} \\
\left\vert A\right\vert &=&\lambda _{1}\lambda _{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\left\vert A\right\vert
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
a_{11}+a_{22} &=&\lambda _{1}+\lambda _{2} \\
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} &=&\lambda _{1}\lambda _{2}
\end{eqnarray*}を得ます。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の固有値が\(\lambda _{1},\lambda _{2}\)である場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}a_{11}+a_{22}+a_{33} &=&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3} \\
\left\vert A_{1,2}\right\vert +\left\vert A_{2,3}\right\vert +\left\vert
A_{1,3}\right\vert &=&\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda
_{3}+\lambda _{1}\lambda _{3} \\
\left\vert A_{1,2,3}\right\vert &=&\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3} \\
\left\vert A\right\vert &=&\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \\
\left\vert A_{2,3}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} \\
\left\vert A_{1,3}\right\vert &=&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} \\
\left\vert A_{1,2,3}\right\vert &=&\left\vert A\right\vert
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
a_{11}+a_{22}+a_{33} &=&\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3} \\
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}+a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} &=&\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{1}\lambda _{3}
\\
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} &=&\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}
\end{eqnarray*}を得ます。
行列のトレース
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の対角成分の和を、\begin{eqnarray*}\mathrm{Tr}\left( A\right) &=&a_{11}+\cdots +a_{nn} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}a_{ii}
\end{eqnarray*}と表記し、これを\(A\)のトレース（trace）と呼びます。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値が\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{n}\)である場合、先の命題より、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{Tr}\left( A\right) =\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、正方行列\(A\)のトレースは、\(A\)のすべての固有値の和と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(A\)のトレース\(\mathrm{Tr}\left(A\right) \)と固有値\(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda_{3}\)を求めた上で、トレースが固有値の和と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Tr}\left( A\right) =\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
- 主座小行列式と固有値の間に以下の関係\begin{equation*}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\left\vert A_{i_{1},i_{2}}\right\vert
=\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。 - \(A\)の行列式の値を具体的に求めた上で、\begin{equation*}\left\vert A\right\vert =\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
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