2次形式
2つのベクトルからなる順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して実数\(B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める多変数関数\begin{equation*}B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が双線型形式であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) +B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( c\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =B\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},c\boldsymbol{z}\right) =cB\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たすこととして定義されます。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して実数\(Q\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める多変数関数\begin{equation*}Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q\left( \boldsymbol{x}\right) =B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、\(Q\)のことを\(B\)に関連付けられた2次形式（associated quadratic form of \(B\)）と呼びます。
2次行列と正方行列の関係
2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。つまり、以下の条件\begin{equation}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q\left( \boldsymbol{x}\right) =B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するということです。双曲線形式\(B\)に対しては、その表現行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が一意的に存在して、両者の間に以下の関係\begin{equation}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\cdot A\boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}Q\left( \boldsymbol{x}\right) &=&B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、2次形式とは、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)のうちの2つの変数の積、すなわち\(x_{i}^{2}\)の形と\(x_{i}x_{j}\ \left( i\not=j\right) \)の形の積にそれぞれ定数をかけて加えることにより得られる形の式です。
逆に、正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられれば、\(A\)を表現行列とする双線型形式\(B:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が一意的に定まるとともに、両者の間に先の関係\(\left( 2\right) \)が成立します。したがって、この場合にも、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}Q\left( \boldsymbol{x}\right) &=&B_{A}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}\quad \because \left(
2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}
\end{equation*}が成り立ちます。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&2x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。したがって、\(B\)に関連付けられた2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}Q\left( \boldsymbol{x}\right) =2x_{1}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}+3x_{2}x_{2}
\end{equation*}を値として定めます。
A=\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&2x_{1}y_{1}+4x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。したがって、\(B\)に関連付けられた2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{equation*}Q\left( \boldsymbol{x}\right) =2x_{1}x_{1}+4x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}+3x_{2}x_{2}
\end{equation*}を値として定めます。
2次形式\(Q\)が与えられれば、それに関連する双線型形式\(B\)の表現行列に相当する正方行列\(A\)が定まるとともに、逆に、正方行列\(A\)が与えられれば、それを表現行列とする双曲線形式\(B\)に関連する2次形式\(Q\)が定まることが明らかになりました。
ただし、2次形式と正方行列の間に1対1の関係は成立しません。なぜなら、2次形式\(Q\)が与えられたとき、それに関連する双線型形式\(B\)は一意的に定まるとは限らないからです。2次形式\(Q\)に関連する異なる双線型形式\(B_{1},B_{2}\)が存在する場合、それらの表現行列は異なるため、\(Q\)には複数の異なる正方行列が関連付けられることになります。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の正方行列\begin{equation*}
A_{1}=\begin{pmatrix}
1 & -5 \\
-1 & 4\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{1}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A_{1}\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & -5 \\
-1 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}y_{1}-5x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
B_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)
&=&x_{1}^{2}-5x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+4x_{2}^{2} \\
&=&x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2} \\
&=&Q\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q\)は\(B_{1}\)に関連する2次形式です。以下の正方行列\begin{equation*}A_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-6 & 4\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}から定義される双線型形式\begin{equation*}
B_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A_{2}\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-6 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}y_{1}-6x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
B_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)
&=&x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2} \\
&=&Q\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q\)は\(B_{2}\)に関連する2次形式でもあります。以上より、\(Q\)は2つの異なる正方行列\(A_{1},A_{2}\)によって表現され得ることが明らかになりました。
2次形式と対称行列の関係
2次形式と正方行列の間には1対1の関係は成り立たないことが明らかになりました。一方、2次形式と対称行列の間には1対1の関係が成立します。以下で順番に示します。
まずは以下の補題を示します。
\boldsymbol{x}\right) -Q\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上を踏まえた上で以下の補題を示します。
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +B\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \right] \end{equation*}を定める関数\(\beta :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\beta \)は\(Q\)に関連付けられた唯一の対称双線型形式であるとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\beta \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\frac{1}{2}\left[
Q\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) -Q\left( \boldsymbol{x}\right)
-Q\left( \boldsymbol{y}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
以上を踏まえた上で以下の命題を示します。
\end{equation*}を満たす対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するとともに、それは一意的に定まる。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(Q\)は2次形式であり、以下の2つの異なる正方行列\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\begin{pmatrix}
1 & -5 \\
-1 & 4\end{pmatrix}
\\
A_{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-6 & 4\end{pmatrix}\end{eqnarray*}によって特徴づけられます。ただ、\(A_{1},A_{2}\)はともに対称行列ではありません。一方、以下の正方行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
-3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}は対称行列であるとともに、この対称行列から定義される双線型形式\begin{equation*}
B:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{y} \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\begin{pmatrix}
1 & -3 \\
-3 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}y_{1}-3x_{1}y_{2}-3x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}
\end{eqnarray*}を値として定めます。このとき、\begin{eqnarray*}
B\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right)
&=&x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2} \\
&=&Q\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(Q\)は\(B\)に関連する2次形式です。しかも先の命題より、このような対称行列は\(A\)の他に存在しません。\(A\)を具体的に導出する方法については場を改めて解説します。
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