2次形式の符号

正定値である2次形式

表現行列が対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるような2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つということです。

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に対してどのような非ゼロの列ベクトルを入力した場合でも必ず正の実数が出力される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) >0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Q_{A}\)は正定値（positive definite）であるとか正の定符号であるとか正値であるなどと言います。2次形式\(Q_{A}\)は表現行列\(A\)によって特徴づけられるため、同じことを\(A\)が正定値（positive definite）であると言うこともできます。

半正定値である2次形式

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に対してどのような非ゼロの列ベクトルを入力した場合でも必ず非負の実数が出力される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Q_{A}\)は半正定値（positive semidefinite）であるとか非負の定符号（nonnegative definite）であるなどと言います。2次形式\(Q_{A}\)は表現行列\(A\)によって特徴づけられるため、同じことを\(A\)が半正定値（positive semidefinite）であると言うこともできます。

正定値である2次形式は半正定値でもあります。

正定値である2次形式は半正定値であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。半正定値である2次形式は正定値であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

負定値である2次形式

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に対してどのような非ゼロの列ベクトルを入力した場合でも必ず負の実数が出力される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) <0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Q_{A}\)は負定値（negative definite）であるとか負の定符号であるとか負値であるなどと言います。2次形式\(Q_{A}\)は表現行列\(A\)によって特徴づけられるため、同じことを\(A\)が負定値（negative definite）であると言うこともできます。

半負定値である2次形式

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に対してどのような非ゼロの列ベクトルを入力した場合でも必ず非正の実数が出力される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(Q_{A}\)は半負定値（negative semidefinite）であるとか非正の定符号（nonpositive definite）であるなどと言います。2次形式\(Q_{A}\)は表現行列\(A\)によって特徴づけられるため、同じことを\(A\)が半負定値（negative semidefinite）であると言うこともできます。

負定値である2次形式は半負定値でもあります。

負定値である2次形式は半負定値であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。半負定値である2次形式は負定値であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

不定値である2次形式

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)に対して入力する非ゼロのベクトルに応じて\(Q_{A}\)の値が正の実数になったり負の実数になる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}\exists \boldsymbol{x} &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) >0 \\
\exists \boldsymbol{y} &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :Q_{A}\left( \boldsymbol{y}\right) <0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(Q_{A}\)は不定値（indefinite）であるとか不定符号であるなどと言います。2次形式\(Q_{A}\)は表現行列\(A\)によって特徴づけられるため、同じことを\(A\)が不定値（indefinite）であると言うこともできます。

不定値との対比で、正定値または負定値であるような2次形式は定値（definite）であると言い、半正定値または半負定値であるような2次形式は半定置（semidefinite）であると言います。

2次形式の同値類は符号を共有する

定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)であるような2次形式からなる集合を、\begin{equation*}Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \ |\ Q\text{は2次形式}\right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、任意の2次形式\(Q,Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}Q\sim Q^{\prime }\Leftrightarrow \exists \text{直交行列}U\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) =Q\left( U\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}と定義される\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係\(\sim \)は同値関係であることを示しました。したがって、2次形式\(Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それを代表元とする同値類\begin{equation*}\left[ Q\right] =\left\{ Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ Q\sim Q^{\prime }\right\}
\end{equation*}が得られます。これは\(Q\)と同値であるような2次形式からなる集合です。さらに、\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の\(\sim \)による商集合が、\begin{equation*}Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \sim =\left\{ \left[ Q\right] \ |\ Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{equation*}として得られますが、商集合の定義より、これは\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の分割です。つまり、「同値である」という基準から2次形式を複数のグループに分類した場合、それぞれの2次形式は何らかのグループに属するとともに、異なる複数のグループに属する2次形式は存在しないことが保証されます。

同値な2次形式は符号を共有します。つまり、\begin{equation*}
Q\sim Q^{\prime }
\end{equation*}を満たす2次形式\(Q,Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ Q\text{は正定値}\Leftrightarrow
Q^{\prime }\text{は正定値} \\
&&\left( b\right) \ Q\text{は半正定値}\Leftrightarrow Q^{\prime }\text{は半正定値} \\
&&\left( c\right) \ Q\text{は負定値}\Leftrightarrow
Q^{\prime }\text{は負定値} \\
&&\left( d\right) \ Q\text{は半負定値}\Leftrightarrow Q^{\prime }\text{は半負定値} \\
&&\left( e\right) \ Q\text{は不定値}\Leftrightarrow
Q^{\prime }\text{は不定値}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つということです。以上の事実は、同一の同値類\(\left[ Q\right] \)に属する2次形式は同一の符号を共有することを意味します。

ちなみに、商集合\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \sim \)を構成するすべての同値類の代表元を標準形とみなしても一般性は失われないため、\begin{equation*}Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \sim =\left\{ \left[ Q_{D}\right] \ |\ D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \text{は対角行列}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。したがって、2次形式とその標準形は同一の符号を共有します。