対称行列の対角化
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、複素数を含めると\(A\)には合計\(n\)個の固有値が存在します。特に、\(A\)が対称行列である場合には、その\(n\)個の固有値\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\)はいずれも実数であるとともに、それぞれの固有値に対して実ベクトルであるような固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)がそれぞれ存在することが保証されるため、\(A\)を実行列に対角化できます。加えて、正方行列\(A\)が対称行列であることと\(A\)が直交対角化可能であることは必要十分であるため、\(A\)が対称行列である場合には直交行列を通じて\(A\)を対角化できます。
以降では、いくつかのパターンに分けた上で、対称行列を直交対角化するための具体的な手順を解説します。
対称行列の固有値がすべて異なる場合
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda_{n}\in \mathbb{R} \)が互いに異なる場合、これらに対応する実ベクトルであるような固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選ぶと、その中の任意の2つは直交するため、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\}
\end{equation*}は直交系になります。そこで、この集合の要素である個々のベクトルを単位ベクトル化して、\begin{equation*}
v=\left\{ \frac{\boldsymbol{v}_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{1}\right\Vert
},\cdots ,\frac{\boldsymbol{v}_{n}}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{n}\right\Vert
}\right\}
\end{equation*}とすれば、これは正規直交系になります。したがって、\(v\)の要素である列ベクトルから構成される正方行列\begin{equation*}P=\left( \frac{\boldsymbol{v}_{1}}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{1}\right\Vert },\cdots ,\frac{\boldsymbol{v}_{n}}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{n}\right\Vert }\right)
\end{equation*}は直交行列であるとともに、以下の行列\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=P^{-1}AP
\end{equation*}は対角行列になります。とは言え、右辺中に登場する\(P\)の逆行列\(P^{-1}\)を特定するのは面倒です。ただし、\(P\)は直交行列であるため、\begin{equation*}P^{-1}=P^{t}
\end{equation*}が成り立ち、したがって、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=P^{t}AP
\end{equation*}を得ます。以上で直交対角化が完成しました。
ちなみに、\(A\)の対角化行列\(\left[ A\right] _{v}\)と固有値\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda
_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、そのことを以下で確認します。表記を簡略化するために、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{w}_{i}=\frac{\boldsymbol{v}_{i}}{\left\Vert \boldsymbol{v}_{i}\right\Vert }
\end{equation*}と定めます。つまり、\begin{equation*}
v=\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{equation*}です。\(v\)は正規直交系であるため、\begin{equation}\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\boldsymbol{w}_{i}\cdot
\boldsymbol{w}_{j}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ i=j\right) \\
0 & \left( if\ i\not=j\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことに注意してください。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\left[ A\right] _{v} &=&P^{t}AP \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1}^{t} \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}^{t}\end{array}\right) A\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1}^{t} \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}^{t}\end{array}\right) \left( A\boldsymbol{w}_{1},\cdots ,A\boldsymbol{w}_{n}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
\boldsymbol{w}_{1}^{t}A\boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \boldsymbol{w}_{n}^{t}A\boldsymbol{w}_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}^{t}A\boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \boldsymbol{w}_{n}^{t}A\boldsymbol{w}_{n}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\boldsymbol{w}_{1}^{t}\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \boldsymbol{w}_{n}^{t}\lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}^{t}\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \boldsymbol{w}_{n}^{t}\lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}\end{pmatrix}\quad \because \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\text{は固有値} \\
&=&\begin{pmatrix}
\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1}^{t}\boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}\boldsymbol{w}_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{n}^{t}\boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}\boldsymbol{w}_{n}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1}\cdot \boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \lambda
_{n}\boldsymbol{w}_{n}\cdot \boldsymbol{w}_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{n}\cdot \boldsymbol{w}_{1} & \cdots & \lambda
_{n}\boldsymbol{w}_{n}\cdot \boldsymbol{w}_{n}\end{pmatrix}\quad \because \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\text{は列ベクトル} \\
&=&\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right)
\end{eqnarray*}となるため、検証が完了しました。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{eqnarray*}
A^{t} &=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}
\\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)は対称行列です。固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
2-t & 1 \\
1 & 2-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 2-t\right) ^{2}-1\cdot 1 \\
&=&\left( t-1\right) \left( t-3\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( t-1\right) \left( t-3\right) =0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=1,3
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(1\)と\(3\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。固有値\(1\)の固有空間\(E_{1}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-1I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-1 & 1 \\
1 & 2-1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{1} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。固有値\(3\)の固有空間\(E_{3}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-3I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-3 & 1 \\
1 & 2-3\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}-x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{3} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。固有値\(1,3\)に対応する固有ベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}については、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、これは直交系です。個々のベクトルを正規化すると、\begin{eqnarray*}
v &=&\left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) ,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、正規直交系が得られます。その上で、\begin{equation*}
P=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\end{equation*}と定めればこれは直交行列であるとともに、\begin{eqnarray*}
\left[ A\right] _{v} &=&P^{-1}AP \\
&=&P^{t}AP \\
&=&\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。
対称行列の固有値が重複する場合
続いて、対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値の中に重複するものが存在する場合について考えます。相異なる固有値を\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m}\in \mathbb{R} \)と表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、それらの重複度\(r_{1},\cdots ,r_{m}\in \mathbb{N} \)の間には以下の関係\begin{equation*}r_{1}+\cdots +r_{m}=n
\end{equation*}が成り立ちます。対称行列は対角化可能であることが保証されているため、\(A\)のそれぞれの固有値の固有空間の次元が固有値の重複度と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\dim E_{\lambda _{i}}=r_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、それぞれの固有空間\(E_{\lambda _{i}}\)から\(r_{i}\)個の線型独立な固有ベクトルをとり出すことができるため、合計で\(n\)個の固有ベクトルが得られます。異なる固有値に対応する固有ベクトルどうしは線型独立であるため、得られた\(n\)個の固有ベクトルは線型独立であることに注意してください。\(n\)個の線型独立なベクトルが得られれば、シュミットの直交化法を用いることにより、それを正規直交系に変換できます。正規直交系が得られれば、先と同様のプロセスにより、\(A\)を直交対角化できます。
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{eqnarray*}
A^{t} &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0\end{pmatrix}^{t} \\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)は対称行列です。固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{3}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
-t & 1 & 1 \\
1 & -t & 1 \\
1 & 1 & -t\end{pmatrix}
\\
&=&-t^{3}+3t+2 \\
&=&-\left( t-2\right) \left( t+1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\left( t-2\right) \left( t+1\right) ^{2}=0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=-1,2
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(-1,2\)であり、\(-1\)の重複度は\(2\)であり、\(2\)の重複度は\(1\)です。固有値\(-1\)の固有空間\(E_{-1}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A+I_{3}=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{-1} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-s-t \\
s \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ s\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}となります。固有値\(2\)の固有空間\(E_{2}\)は、係数行列が、\begin{equation*}A-2I_{3}=\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -2\end{pmatrix}\end{equation*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -2\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}-x_{3}=0 \\
x_{2}-x_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{2} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
s \\
s \\
s\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ s\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ s\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}となります。固有値\(-1,-1,2\)に対応する固有ベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}は線型独立であるため、シュミットの直交化法を用いて正規直交系へ変換します。これらのベクトルを、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{1} &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{x}_{2} &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{x}_{3} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ表記します。ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1}\)を単位ベクトル化した上で、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}_{1} &=&\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}_{1}\right\Vert }\boldsymbol{x}_{1} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定めます。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{z}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}+b_{1}\boldsymbol{y}_{1}
\end{equation*}が\(\boldsymbol{y}_{1}\)と直交するようなスカラー\(b_{1}\in \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}b_{1} &=&-\boldsymbol{x}_{2}\cdot \boldsymbol{y}_{1} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0\end{array}\right) \\
&=&-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{z}_{2} &=&\boldsymbol{x}_{2}+b_{1}\boldsymbol{y}_{1} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1\end{array}\right) -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。その上で、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{y}_{2} &=&\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{z}_{2}\right\Vert }\boldsymbol{z}_{2} \\
&=&\frac{2}{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定めます。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{z}_{3}=\boldsymbol{x}_{3}+b_{1}\boldsymbol{y}_{1}+b_{2}\boldsymbol{y}_{2}
\end{equation*}が\(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\)と直交するようなスカラー\(b_{1},b_{2}\in \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}b_{1} &=&-\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{y}_{1}=-\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0\end{array}\right) =0 \\
b_{2} &=&-\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{y}_{2}=-\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right) =0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{z}_{3} &=&\boldsymbol{x}_{3}+b_{1}\boldsymbol{y}_{1}+b_{2}\boldsymbol{y}_{2} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) +0\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0\end{array}\right) +0\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。その上で、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{y}_{3} &=&\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{y}_{3}\right\Vert }\boldsymbol{y}_{3} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定めます。以上より、正規直交系\begin{eqnarray*}
v &=&\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\boldsymbol{y}_{3}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}が得られました。その上で、\begin{equation*}
P=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}と定めればこれは直交行列であるとともに、\begin{eqnarray*}
\left[ A\right] _{v} &=&P^{-1}AP \\
&=&P^{t}AP \\
&=&\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。
対称行列のスペクトル分解
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対称行列である場合には、その\(n\)個の固有値\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb{R} \)はいずれも実数であるとともに、それぞれの固有値に対して実ベクトルであるような固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ存在します。スペクトル定理より\(A\)は直交対角化可能であるため、以下の条件\begin{equation*}P^{t}AP=\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}\end{equation*}を満たす直交行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在します。具体的には、固有ベクトルからなるベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)を正規直交系へと変換して\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)とした場合、\begin{equation*}P=\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right)
\end{equation*}となります。さて、両辺に対して左側から\(P\)をかけ、右側から\(P^{t}\)をかけると、\begin{equation*}PP^{t}APP^{t}=P\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}P^{t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=P\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}P^{t}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{eqnarray*}
A &=&P\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}P^{t} \\
&=&\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right)
\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1}^{t} \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}^{t}\end{array}\right) \\
&=&\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1}\boldsymbol{w}_{1}^{t}+\cdots +\lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A=\lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1}\boldsymbol{w}_{1}^{t}+\cdots +\lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}
\end{equation*}を得ます。これを対称行列\(A\)のスペクトル分解（spectral decomposition）と呼びます。
正規直交系\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底であることを踏まえた上で、\(A\)に対して基底ベクトル\(\boldsymbol{w}_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)を入力すると、\begin{eqnarray*}A\boldsymbol{w}_{i} &=&\left( \lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1}\boldsymbol{w}_{1}^{t}+\cdots +\lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}\right)
\boldsymbol{w}_{i}\quad \because A\text{のスペクトル分解} \\
&=&\left( \lambda _{1}\boldsymbol{w}_{1}\boldsymbol{w}_{1}^{t}\right)
\boldsymbol{w}_{i}+\cdots +\left( \lambda _{n}\boldsymbol{w}_{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}\right) \boldsymbol{w}_{i} \\
&=&\lambda _{1}\left( \boldsymbol{w}_{1}\boldsymbol{w}_{1}^{t}\right)
\boldsymbol{w}_{i}+\cdots +\lambda _{n}\left( \boldsymbol{w}_{n}\boldsymbol{w}_{n}^{t}\right) \boldsymbol{w}_{i} \\
&=&\lambda _{i}\left( \boldsymbol{w}_{i}\boldsymbol{w}_{i}^{t}\right)
\boldsymbol{w}_{i}\quad \because \left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \text{は正規直交系} \\
&=&\left( \lambda _{i}\boldsymbol{w}_{i}\boldsymbol{w}_{i}^{t}\right)
\boldsymbol{w}_{i}
\end{eqnarray*}が出力されるため、\(A\)に入出力するベクトルを正規直交系\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)のもとでの座標ベクトルにすれば、\(A\)に入力したベクトルと出力されるベクトルの対応関係を容易に把握できます。
演習問題
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 \\
3 & 1 & 4 \\
0 & 4 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(A\)が対称行列であることを確認してください。
- \(A\)を直交対角化してください。その上で、\(A\)の対角化行列と、\(A\)の直交対角化を実現する直交行列を特定してください。
- \(A\)をスペクトル分解してください。
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