正方行列の直交対角化
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における何らかの基底\begin{equation*}v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\}
\end{equation*}のもとで以下の正方行列\begin{equation}
\left[ A\right] _{v}=C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e} \quad \cdots (1)
\end{equation}が対角行列になることは、\(A\)が対角化可能であるための必要十分条件です。さらに、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda
_{n}\right)
\end{equation*}と表記した場合、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\lambda _{i}\)は\(A\)の固有値であるとともに、\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルです。
正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対角化可能であるとともに、\(A\)の対角化を実現する基底\(v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)が正規直交系である状況を想定します。\(v\)が正規直交系であることは、\(v\)の要素\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)を列ベクトルとする正方行列\begin{equation*}P=\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right)
\end{equation*}が直交行列であることと必要十分です。直交行列の定義より、このとき、\begin{equation*}
P^{t}=P^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、座標の変換行列の定義より、\begin{equation}
C_{v\rightarrow e}=\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) =P \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、したがって、\begin{equation}
C_{v\rightarrow e}^{-1}=P^{-1} \quad \cdots (3)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\left[ A\right] _{v} &=&C_{v\rightarrow e}^{-1}AC_{v\rightarrow e}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&P^{-1}AP\quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ A\right] _{v}=P^{-1}AP
\end{equation*}を得ます。両辺の左側から\(P\)をかけて右側から\(P^{-1}\)をかけると、\begin{equation*}P\left[ A\right] _{v}P^{-1}=PP^{-1}APP^{-1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=P\left[ A\right] _{v}P^{-1}
\end{equation*}を得ます。
結論をまとめると、正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対角化可能であるとともに、\(A\)の対角化を実現する基底\(v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)が正規直交系である場合には、以下の条件\begin{equation*}A=PDP^{-1}
\end{equation*}を満たす対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)と直交行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することが明らかになりました。ただし、\begin{eqnarray*}P &=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) \\
D &=&\left[ A\right] _{v}
\end{eqnarray*}です。さらに、
\begin{equation*}
D=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right)
\end{equation*}と表記した場合、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\lambda _{i}\)は\(A\)の固有値であるとともに、\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルです。
以上の議論を踏まえた上で、正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の条件\begin{equation*}A=PDP^{-1}
\end{equation*}を満たす対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)と直交行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(A\)は直交対角化可能（orthogonally diagonalizable）であると言います。先の議論から明らかになったように、この場合、\(P\)の列ベクトルからなる集合\begin{equation*}v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\}
\end{equation*}を基底として採用すれば\(A\)は直交対角化可能であるとともに、\(A\)の対角化行列は、\begin{equation*}\left[ A\right] _{v}=D=P^{-1}AP
\end{equation*}として得られます。加えて、\begin{equation*}
D=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right)
\end{equation*}と表記した場合、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\lambda _{i}\)は\(A\)の固有値であるとともに、\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルです。
直交行列の定義を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}を満たす対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)と直交行列\(P\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することは、\(A\)が直交対角化可能であるための必要十分条件である。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{eqnarray*}
A^{t} &=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}
\\
&=&A
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)は対称行列です。固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
2-t & 1 \\
1 & 2-t\end{pmatrix}
\\
&=&\left( 2-t\right) ^{2}-1\cdot 1 \\
&=&\left( t-1\right) \left( t-3\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{equation*}
P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( t-1\right) \left( t-3\right) =0
\end{equation*}の解は、\begin{equation*}
t=1,3
\end{equation*}であるため、\(A\)の固有値は\(1\)と\(3\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。したがって、\(A\)の対角化行列は、\begin{equation*}D=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}です。さらに、固有値\(1\)の固有空間\(E_{1}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-1I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-1 & 1 \\
1 & 2-1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}+x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{1} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。固有値\(3\)の固有空間\(E_{3}\)は、係数行列が、\begin{eqnarray*}A-3I_{2} &=&\begin{pmatrix}
2-3 & 1 \\
1 & 2-3\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるような同次連立1次方程式の解集合です。拡大係数行列を行簡約すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}となりますが、これは以下の連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{ x_{1}-x_{2}=0\right.
\end{equation*}と同値であるため、\begin{eqnarray*}
E_{3} &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k \\
k\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{eqnarray*}を得ます。固有値\(1,3\)に対応する固有ベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}については、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、これは直交系です。個々のベクトルを正規化すると、\begin{eqnarray*}
v &=&\left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) ,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、正規直交系が得られます。その上で、\begin{equation*}
P=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\end{equation*}と定めればこれは直交行列であるとともに、\begin{eqnarray*}
PDP^{-1} &=&PDP^{t} \\
&=&\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}
\\
&=&A
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(A\)は直交行列\(P\)を通じて対角行列\(D\)へと直交対角化が可能であることが明らかになりました。
正方行列は直交対角化可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{eqnarray*}
A^{t} &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}
\\
&\not=&A
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)は対称行列ではありません。固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{2}\right) \quad \because \text{固有多項式の定義} \\
&=&\det \left(
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right) \\
&=&\det
\begin{pmatrix}
1-t & -1 \\
1 & 1-t\end{pmatrix}
\\
&=&t^{2}-2t+2
\end{eqnarray*}であるため、その根は、\begin{eqnarray*}
t &=&\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2} \\
&=&\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2} \\
&=&\frac{2\pm 2i}{2} \\
&=&1\pm i
\end{eqnarray*}です。\(A\)の固有値は\(1+i\)と\(1-i\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。したがって、\(A\)を実数の範囲で対角化できず、ゆえに直交対角化することもできません。
対称行列は直交対角化可能
先に直交対角化が可能な対称行列の例を挙げましたが、同様の主張が任意の対称行列について成立します。つまり、任意の対称行列は直交対角化可能です。
直交対角化可能な正方行列は対称行列
任意の対称行列は直交対角化可能であることが明らかになりましたが、その逆もまた成立します。直交対角化可能な正方行列はいずれも対称行列であるということです。
スペクトラル定理（対称行列と直交対角化可能行列の関係）
対称行列は直交対角化が可能であり、逆に、直交対角化が可能な正方行列は対称行列であることが明らかになりました。したがって以下を得ます。これをスペクトラル定理（spectral theorem）と呼びます。
A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}\end{equation*}は対称行列かつ直交対角化可能であることは先に示した通りです。以上の事実はスペクトラル定理の主張と整合的です。
スペクトラル定理より、正方行列が対称行列ではないことと、直交対角化が可能ではないことは必要十分です。
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}は対称行列ではなく直交対角化が不可能であることは先に示した通りです。以上の事実はスペクトラル定理の主張と整合的です。
演習問題
A=\begin{pmatrix}
4 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}は直交対角化可能でしょうか。判定してください。
A=\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}は直交対角化可能でしょうか。理由を述べた上で判定してください。
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