2次形式の標準形

2次形式の同値関係

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たす対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が一意的に存在しますが、このような対称行列\(A\)をもとの2次形式\(Q\)の表現行列と呼びます。2次形式\(Q\)の表現行列が\(A\)であることを明示したい場合には、\(Q\)のことを、\begin{equation*}Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記できるものと定めます。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}です。

2つの2次形式\begin{eqnarray*}
Q &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
Q^{\prime } &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) =Q\left( U\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす直交行列\(U\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(Q\)は\(Q^{\prime }\)と同値である（equivalent）であると言い、そのことを、\begin{equation*}Q\sim Q^{\prime }
\end{equation*}と表記します。つまり、\begin{equation*}
Q\sim Q^{\prime }\Leftrightarrow \exists \text{直交行列}U\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) =Q\left( U\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}です。

2次形式どうしが同値であることの意味は後ほど考察することとして、まずは、これが同値関係であることを示します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)を定義域とするすべての2次形式からなる集合を、\begin{equation*}Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \ |\ Q\text{は2次形式}\right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、\(\sim \)は\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の二項関係であるとともに、反射律、対称律、推移律に相当する以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) :Q\sim Q \\
&&\left( b\right) \ \forall Q,Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( Q\sim Q^{\prime }\Rightarrow Q^{\prime }\sim Q\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall Q,Q^{\prime },Q^{\prime \prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) :\left[ \left( Q\sim Q^{\prime }\wedge Q^{\prime }\sim Q^{\prime
\prime }\right) \Rightarrow Q\sim Q^{\prime \prime }\right] \end{eqnarray*}を満たします。

反射律\(\left( a\right) \)は、任意の2次形式\(Q\)は自身\(Q\)と同値であることを意味します。対称律\(\left(b\right) \)は、2次形式\(Q,Q^{\prime }\)を任意に選んだとき、\(Q\)が\(Q^{\prime }\)と同値である場合には、\(Q^{\prime }\)が\(Q\)と同値であることも保証されることを意味します。推移律\(\left( c\right) \)は、2次形式\(Q,Q^{\prime },Q^{\prime \prime }\)を任意に選んだとき、\(Q\)が\(Q^{\prime }\)と同値であり、\(Q^{\prime }\)が\(Q^{\prime \prime }\)と同値である場合には、\(Q\)が\(Q^{\prime \prime }\)と同値であることも保証されることを意味します。

2次形式の同値関係\(\sim \)は\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の同値関係であるため、2次形式\(Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それを代表元とする同値類\begin{equation*}\left[ Q\right] =\left\{ Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ Q\sim Q^{\prime }\right\}
\end{equation*}が得られます。これは\(Q\)と同値であるような2次形式からなる集合です。さらに、\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の\(\sim \)による商集合が、\begin{equation*}Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \sim =\left\{ \left[ Q\right] \ |\ Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{equation*}として得られますが、商集合の定義より、これは\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の分割です。つまり、「同値である」という基準から2次形式を複数のグループに分類した場合、それぞれの2次形式は何らかのグループに属するとともに、異なる複数のグループに属する2次形式は存在しないことが保証されます。

2次形式が同値であることの代替的な定義

2次形式と対称行列の間には1対1の関係が成り立つため、2つの2次形式が与えられたとき、それは2つの対称行列\(A,A^{\prime }\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}Q_{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \\
Q_{A^{\prime }} &:&\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}と表現できます。\(Q_{A}\)と\(Q_{A^{\prime }}\)は同値であるものとします。つまり、\begin{equation*}Q_{A}\sim Q_{A^{\prime }}
\end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、以下の条件\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A^{\prime }}\left( \boldsymbol{x}\right) =Q_{A}\left( U\boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす直交行列\(U\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在することを意味します。すると、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}Q_{A^{\prime }}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&Q_{A}\left( U\boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( U\boldsymbol{x}\right) ^{t}A\left( U\boldsymbol{x}\right) \quad
\because \text{2次形式の定義} \\
&=&\left( \boldsymbol{x}^{t}U^{t}\right) A\left( U\boldsymbol{x}\right) \\
&=&\boldsymbol{x}^{t}\left( U^{t}AU\right) \boldsymbol{x} \\
&=&Q_{U^{t}AU}\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \text{2次形式の定義} \\
&=&Q_{U^{-1}AU}\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because U\text{は直交行列}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{\prime }=U^{-1}AU
\end{equation*}を得ます。以上の事実は、直交行列\(U\)を通じて\(A\)を対角化することにより\(A^{\prime }\)が得られることを意味します。

逆の議論も成立するため以下を得ます。

2次形式の標準形

任意の2次形式\(Q,Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の関係\begin{equation*}Q\sim Q^{\prime }\Leftrightarrow \text{直交行列のもとで}Q\text{の表現行列は}Q^{\prime }\text{の表現行列へ対角化可能}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。先に示したように\(\sim \)は\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の同値関係であるため、2次形式\(Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それを代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ Q\right] &=&\left\{ Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ Q\sim Q^{\prime }\right\} \\
&=&\left\{ Q^{\prime }\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ \text{直交行列のもとで}Q^{\prime }\text{の表現行列は}Q\text{の表現行列へ対角化可能}\right\}
\end{eqnarray*}となります。

2次形式\(Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、それを代表元とする同値類\(\left[ Q\right] \)に注目します。2次形式の表現行列は対称行列であり、対称行列は直交対角化可能であるため（スペクトラル定理）、\(Q\)を直交対角化することにより得られる対角行列を表現行列とする2次形式を同値類\(\left[ Q\right] \)の代表元として採用することもできます。つまり、\(Q\)の表現行列を直交対角化することにより、表現行列が対角行列\begin{equation*}D=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right) =\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}\end{equation*}であるような2次形式\begin{equation*}
Q_{D}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が一意的に得られるとともに、これを同値類\(\left[ Q\right] \)の代表元として採用できるため、\begin{equation*}\left[ Q_{D}\right] =\left[ Q\right] \end{equation*}を得ます。

表現行列が対角行列であるような2次形式を対角2次形式（diagonal quadratic form）と呼びます。対角2次形式\(Q_{D}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}Q_{D}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}D\boldsymbol{x} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \\
&=&\lambda _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n}^{2} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}
\end{eqnarray*}という形をしています。つまり、\(i\not=j\)を満たす\(x_{i}x_{j}\)の係数はいずれも\(0\)です。

任意の2次形式\(Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)について同様の議論が成立するため、商集合\(Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \sim \)を構成するすべての同値類の代表元を対角2次形式とみなしても一般性は失われません。したがって、商集合を、\begin{equation*}Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \sim =\left\{ \left[ Q_{D}\right] \ |\ D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \text{は対角行列}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。2次形式\(Q\in Q_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、商集合の定義より、これは何らかの対角行列\(D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を代表元とする2次形式\(Q_{D}\)を代表元とする同値類\(\left[ Q_{D}\right] \)に属します。つまり、\begin{equation*}\exists \text{対角行列}D\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) :Q\in \left[ Q_{D}\right] \end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、2次形式\(Q\)の表現行列を直交対角化することにより対角行列\(D\)が得られることを意味します。そこで、このような対角2次形式\(Q_{D}\)をもとの2次形式\(Q\)の標準形（standard form）と呼びます。2次形式\(Q\)の表現行列は対称行列であり、対称行列の対角化行列は一意的に定まるため、2次形式\(Q\)の標準形\(Q_{D}\)は一意的に定まることに注意してください。

表現行列が\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるような2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。\(A\)は対称行列であるため直交対角化可能です。つまり、直交行列\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \in
M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在して、\(A\)の対角化行列は、\begin{equation}D=P^{-1}AP \quad \cdots (1)
\end{equation}として得られます。加えて、\begin{equation}
D=\mathrm{diag}\left( \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表記した場合、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\lambda _{i}\)は\(A\)の固有値であるとともに、\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルです。そこで、\begin{equation}\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y} \quad \cdots (3)
\end{equation}とおけば、\begin{eqnarray*}
Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x} \\
&=&\left( P\boldsymbol{y}\right) ^{t}A\left( P\boldsymbol{y}\right) \quad
\because \left( 3\right) \\
&=&\boldsymbol{y}^{t}P^{t}AP\boldsymbol{y} \\
&=&\boldsymbol{y}^{t}P^{-1}AP\boldsymbol{y}\quad \because P\text{は直交行列} \\
&=&\boldsymbol{y}^{t}D\boldsymbol{y}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&Q_{D}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{eqnarray*}となり、\(Q_{A}\)の標準形\(Q_{D}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が得られます。具体的には、\(Q_{D}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}Q_{D}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
D\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \mathrm{diag}\left( \lambda
_{1},\cdots ,\lambda _{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right)
\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}\end{array}\right) \\
&=&\lambda _{1}y_{1}^{2}+\cdots +\lambda _{n}y_{n}^{2}
\end{eqnarray*}です。対称行列\(A\)の対角化行列\(D\)は一意的に定まるため、2次形式\(Q_{A}\)の標準形\(Q_{D}\)は一意的に定まります。

2次形式の標準形の特定方法

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の表現行列\(A\)が対角行列である場合には、\(Q\)自体が\(Q\)の標準形です。

2次形式\(Q:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の表現行列\(A\)が対角行列ではない場合には、\(A\)を直交対角化すれば\(Q\)の標準形を特定できます。その際、\(A\)の固有値に重複がない場合には\(A\)の固有値を求めれば\(A\)の直交対角化が容易に実現しますが、\(A\)の固有値に重複がある場合にはシュミットの直交化法を用いる必要があります。

演習問題