狭義の主座小行列式を用いた2次形式の符号の判定

2次形式の符号と狭義の主座小行列式の符号の関係

表現行列が対称行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるような2次形式\begin{equation*}Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:Q_{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つということです。2次形式\(Q_{A}\)の符号は、\begin{eqnarray*}Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0 \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0 \\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &\forall
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0 \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow
&\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0 \\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &\exists
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0\wedge \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{y}^{t}A\boldsymbol{y}<0
\end{eqnarray*}と定義されます。また、以下の関係\begin{eqnarray*}
Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて正} \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて非負} \\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて負} \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値がすべて非正} \\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &A\text{の固有値の中に正と負が存在する}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\)の固有値の符号を観察することにより\(Q_{A}\)の符号を特定できます。さらに、以下の関係\begin{eqnarray*}Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &A\text{のすべての主座小行列式が正} \\
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow &A\text{のすべての主座小行列式が非負} \\
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の主座小行列式が負}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の主座小行列式が正}\end{array}\right. \\
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の主座小行列式が非正}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の主座小行列式が非負}\end{array}\right. \\
Q_{A}\text{は不定値} &\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{l}
A\text{の奇数次の主座小行列式の中に正と負が存在する}\vee \\
A\text{の偶数次の主座小行列式の中に負が存在する}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\)の主座小行列式の符号を観察することによっても\(Q_{A}\)の符号を特定できます。以降では、正定値または負定値をとる2次形式\(Q_{A}\)を対象にした場合には、\(A\)の狭義の主座小行列式の符号を観察することによっても\(Q_{A}\)の符号を特定できることを示します。

対称行列の対角化と狭義の主座小行列式

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。その表現行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は対称行列であることに注意してください。つまり、\begin{equation*}
A^{t}=A
\end{equation*}が成り立ちます。

行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の\(n-1\)次の狭義の主座小行列式は、\begin{equation*}A_{n-1}=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-11} & \cdots & a_{n-1n-1}\end{pmatrix}\in M_{n-1,n-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と定義されます。さらに、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{n-1n}\end{array}\right) \in M_{n-1,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表記するのであれば、\(A\)が対称行列であることから、\begin{equation*}\boldsymbol{a}^{t}=\left( a_{n1},\cdots ,a_{nn-1}\right) \in M_{1,n-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n-1} & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n-11} & \cdots & a_{n-1n-1} & a_{n-1n} \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} & a_{nn}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
A_{n-1} & \boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{a}^{t} & a_{nn}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
A_{n-1} & \boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{a}^{t} & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。なお、\(A\)の\(n\)次の狭義の主座小行列式は\(A\)自身と一致するため、\begin{equation*}A_{n}=A
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。

狭義の主座小行列式\(A_{n-1}\in M_{n-1,n-1}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則であるものとします。つまり、\begin{equation*}\left\vert A_{n-1}\right\vert \not=0
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(A_{n-1}\)の逆行列を\begin{equation*}A_{n-1}^{-1}\in M_{n-1,n-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記します。大きさ\(p\times q\)のゼロ行列を、\begin{equation*}O_{p,q}\in M_{p,q}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{eqnarray*}
&&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1} & 1\end{pmatrix}A_{n}\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1} & 1\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1} & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A_{n-1} & \boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{a}^{t} & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
A_{n-1} & \boldsymbol{a} \\
-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}A_{n-1}+\boldsymbol{a}^{t} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
A_{n-1} & \boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
A_{n-1} & -A_{n-1}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1} & 1\end{pmatrix}A_{n}\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{pmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ここで、\begin{equation*}
P=\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}とおきます。\(P\)は上三角行列ですが、上三角行列の行列式の値は対角成分の積と一致することから、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =1\not=0
\end{equation*}を得ます。したがって\(P\)は正則です。\(A\)は対称行列であるため\(A\)の狭義の主座小行列\(A_{n-1}\)もまた対称行列です。対称行列の逆行列は対称行列であるため、\begin{equation}\left( A_{n-1}^{-1}\right) ^{t}=A_{n-1}^{-1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことに注意してください。すると、\begin{eqnarray*}
P^{t} &=&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a} \\
O_{1,n-1} & 1\end{pmatrix}^{t} \\
&=&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
\left( -A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}\right) ^{t} & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
-\boldsymbol{a}^{t}\left( A_{n-1}^{-1}\right) ^{t} & 1\end{pmatrix}\quad \because \text{行列積の転置} \\
&=&\begin{pmatrix}
I_{n-1} & O_{n-1,1} \\
-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1} & 1\end{pmatrix}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation}P^{t}A_{n}P=\begin{pmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{pmatrix}
\quad \cdots (3)
\end{equation}と表現できます。ちなみに、\(P^{t}\)もまた上三角行列ですが、上三角行列の行列式の値は対角成分の積と一致することから、\begin{equation*}\left\vert P^{t}\right\vert =1\not=0
\end{equation*}を得ます。したがって\(P^{t}\)も正則です。

\(\left( 3\right) \)の両辺の行列式をとると、\begin{equation*}\left\vert P^{t}A_{n}P\right\vert =\begin{vmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{vmatrix}\end{equation*}を得ますが、行列積の行列式は行列式の積と一致することを踏まえて左辺を変形すると、\begin{equation}
\left\vert P^{t}\right\vert \left\vert A_{n}\right\vert \left\vert
P\right\vert =\begin{vmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{vmatrix}
\quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。先に明らかになったように、\begin{equation*}
\left\vert P^{t}\right\vert =\left\vert P\right\vert =1
\end{equation*}です。また、余因子展開より、\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\end{vmatrix}
&=&\left( -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\right) \left(
-1\right) ^{n+n}\left\vert A_{n-1}\right\vert \\
&=&\left( -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\right)
\left\vert A_{n-1}\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つため、これらと\(\left( 4\right) \)より、\begin{equation*}\left\vert A_{n}\right\vert =\left( -\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn}\right) \left\vert A_{n-1}\right\vert
\end{equation*}を得ます。\(\left\vert A_{n-1}\right\vert \not=0\)であるため、さらにこのとき、\begin{equation}\frac{\left\vert A_{n}\right\vert }{\left\vert A_{n-1}\right\vert }=-\boldsymbol{a}^{t}A_{n-1}^{-1}\boldsymbol{a}+a_{nn} \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。これと\(\left(3\right) \)より、\begin{equation*}P^{t}A_{n}P=\begin{pmatrix}
A_{n-1} & O_{n-1,1} \\
O_{1,n-1} & \frac{\left\vert A_{n}\right\vert }{\left\vert
A_{n-1}\right\vert }\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。結果を命題としてまとめます。

以上の命題を踏まえた上で以下を示します。

正定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が正定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}>0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以下の関係\begin{eqnarray*}
Q_{A}\text{は正定値} &\Leftrightarrow &A\text{のすべての固有値が正} \\
&\Leftrightarrow &A\text{のすべての主座小行列式が正}
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

以下の命題もまた成り立ちます。

負定値である2次形式と主座小行列式の符号の関係

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が負定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}<0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以下の関係\begin{eqnarray*}
Q_{A}\text{は負定値} &\Leftrightarrow &A\text{のすべての固有値が負} \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の主座小行列式が負}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の主座小行列式が正}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

以下の命題もまた成り立ちます。

正定値や不定値とは異なる場合

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半正定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\geq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以下の関係\begin{eqnarray*}
Q_{A}\text{は半正定値} &\Leftrightarrow &A\text{のすべての固有値が非負} \\
&\Leftrightarrow &A\text{のすべての主座小行列式が非負}
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
Q_{A}\text{は正定値}\Leftrightarrow A\text{のすべての狭義の主座小行列式が非負}
\end{equation*}は成り立ちません。以下の例より明らかです。

2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が半負定値であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\boldsymbol{x}^{t}A\boldsymbol{x}\leq 0
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以下の関係\begin{eqnarray*}
Q_{A}\text{は半負定値} &\Leftrightarrow &A\text{のすべての固有値が非正} \\
&\Leftrightarrow &\left\{
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の主座小行列式が非正}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の主座小行列式が非負}\end{array}\right.
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
Q_{A}\text{は半負定値}\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
A\text{のすべての奇数次の狭義の主座小行列式が非正}\wedge \\
A\text{のすべての偶数次の狭義の主座小行列式が非負}\end{array}\right.
\end{equation*}は成り立ちません。以下の例より明らかです。

演習問題