確認テスト I（実ベクトル空間上の線形写像）

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x-4y+3z+b \\
6x+cxyz\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(b,c\in \mathbb{R} \)です。以下の条件\begin{equation*}b=c=0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であるための必要十分条件であることを証明してください（十分性の証明が10点、必要性の証明が10点）。

本文中で明らかにしたように線形写像どうしの合成写像は線形写像です。では、少なくとも一方が線形写像ではないような2つの線形写像どうしの合成写像が線形写像になる事態は起こり得るでしょうか。以下の問いを通じて確認します（各5点）。

1. 写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \begin{array}{c}
   2x_{1}+x_{2} \\
   0\end{array}\right)
   \end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを示してください。
2. 写像\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \begin{array}{c}
   x_{1}+x_{2} \\
   x_{1}x_{2}\end{array}\right)
   \end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{g}\)が線形写像ではないことを示してください。
3. 合成写像\(\boldsymbol{g}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が線形写像であることを示してください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が線形写像であることとは、加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) +\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{f}\left( k\boldsymbol{x}\right) =k\boldsymbol{f}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たすこととして定義されます。では、加法性と斉次性のうちの一方だけを満たす写像は存在するのでしょうか。写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ xy\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ xy<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は斉次性\(\left(L_{2}\right) \)を満たす一方で加法性\(\left( L_{1}\right) \)を満たさないことを証明してください（各10点）。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{4}\rightarrow \mathbb{R} ^{4}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{3} \\
x_{4} \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを証明してください（5点）。
2. \(\boldsymbol{f}\)の値域と核が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) =\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください（10点）。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{5}\rightarrow \mathbb{R} ^{5}\)はそれぞれの\(\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right) \in \mathbb{R} ^{5}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4} \\
x_{5}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
x_{4} \\
x_{5}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(\boldsymbol{f}\)が線形写像であることを証明してください。
2. \(\boldsymbol{f}\)の値域\(\mathrm{Im}\left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元を求めてください。
3. \(\boldsymbol{f}\)の核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元を求めてください。

線形写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{4}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の核が、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ x_{1}=5x_{2}\wedge x_{3}=7x_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が全射であることを証明してください。