確認テスト II（実ベクトル空間上の線形写像）

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)は線形写像であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
5 \\
1 \\
2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
8 \\
2 \\
6\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
3 \\
-2\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を具体的に特定してください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は線形写像であるものとします。ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\} \subset \mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の基底であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{v}_{1}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{v}_{2}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。さらに、標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right\}\subset \mathbb{R} ^{2}\)との間に以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{1} &=&\boldsymbol{v}_{1}+2\boldsymbol{v}_{2} \\
\boldsymbol{e}_{2} &=&2\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。\(\boldsymbol{f}\)の標準行列\(M\left( \boldsymbol{f}\right) \)を求めてください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は線形写像であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-3 \\
5\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
7 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を\(x,y\)を用いて表現してください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{5}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の核は、\begin{equation*}\ker \left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4} \\
x_{5}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{5}\ |\ x_{1}=3x_{2}\wedge x_{3}=x_{4}=x_{5}\right\}
\end{equation*}であるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が線形写像ではないことを証明してください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が以下の条件\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(\boldsymbol{f}\)の核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元を求めてください。

写像\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は線形写像であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
4 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3 \\
2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(\boldsymbol{f}\)の階数と、\(\boldsymbol{f}\)の核\(\ker \left( \boldsymbol{f}\right) \)の次元を求めてください（各10点）。