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行列

行列加法(行列の和)

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行列の定義

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行列減法(行列の差)

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行列加法

同じ大きさを持つ2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、これらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たな行列を、\begin{equation*}
A+B=\left( a_{ij}+b_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}で表記し、これを\(A\)と\(B\)の(sum)や成分ごとの和(entrywise sum)などと呼びます。左辺の\(+\)は行列の加法を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数の加法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。

行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が加法\(+\)について閉じていることから和\(A+B\)のそれぞれの成分\(a_{ij}+b_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(A+B\)が\(\mathbb{R} \)上の\(m\times n\)行列として定まること、すなわち\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が成り立つことが保証されます。したがって、\begin{equation*}\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行列加法\(+\)について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left( A,B\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、やはり行列である行列和\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}+:M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を行列加法(matrix addition)と呼びます。順序対\(\left( A,B\right) \)に対して行列加法\(+\)を適用することを、\(A\)と\(B\)を足す(add)と言います。

例(行列加法)
以下の\(2\times 3\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
A+B &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1+3 & -2+0 & 3+2 \\
4-7 & 5+1 & -6+8\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
4 & -2 & 5 \\
-3 & 6 & 2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
B+A &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
3+1 & 0-2 & 2+3 \\
-7+4 & 1+5 & 8-6\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
4 & -2 & 5 \\
-3 & 6 & 2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。したがってここでは、\begin{equation*}
A+B=B+A
\end{equation*}という関係が成立しています。

例(行列加法)
以下の\(1\times n\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \\
B &=&\left( b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
A+B &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) +\left( b_{1},b_{2},\cdots
,b_{n}\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n}\right) \quad \because
\text{行列加法の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これはベクトル加法に他なりません。つまり、\(1\times n\)行列、すなわち行ベクトルにおいて行列加法とベクトル加法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,2,3\right) +\left( 2,3,4\right) &=&\left( 3,5,7\right) \\
\left( 1,-1\right) +\left( 3,4\right) &=&\left( 4,3\right) \\
\left( 0,1\right) +\left( 1,-1\right) &=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列加法)
以下の\(m\times 1\)行列\begin{equation*}A=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) ,\quad B=\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}に対して、\begin{eqnarray*}
A+B &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1}+b_{2} \\
a_{2}+b_{2} \\
\vdots \\
a_{m}+b_{m}\end{array}\right) \quad \because \text{行列加法の定義}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
7\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
4 \\
3\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列加法)
以下の\(1\times 1\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\left( a\right) \\
B &=&\left( b\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
A+B &=&\left( a\right) +\left( b\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( a+b\right) \quad \because \text{行列加法の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは実数の加法に他なりません。つまり、\(1\times 1\)行列において行列加法と実数の加法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1\right) +\left( 2\right) &=&\left( 3\right) \\
\left( 0\right) +\left( -1\right) &=&\left( -1\right) \\
\left( \frac{1}{2}\right) +\left( -2\right) &=&\left( -\frac{3}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

行列加法は同じ大きさの2つの行列に対してのみ定義されます。大きさの異なる行列どうしに行列加法を適用することはできません。

例(行列加法)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は\(2\times3 \)行列であり、\(B\)は\(3\times 2\)行列であるため、両者の大きさは異なります。したがって、これらの和\(A+B\)は定義されません。

 

行列加法に関する結合律

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を行列加法に関する結合律(associative law)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は行列加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( A+B\right) +C\)は、はじめに\(A\)と\(B\)を足した上で、得られた結果と\(C\)をさらに足して得られる行列です。右辺\(A+\left(B+C\right) \)は、はじめに\(B\)と\(C\)を足した上で、\(A\)と先の結果\(B+C\)を足して得られる行列です。結合律はこれらの行列が等しいことを保証します。つまり、3つの行列\(A,B,C\)に対して行列加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

命題(行列加法の結合律)
行列加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}を満たす。

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ゼロ行列(行列加法単位元)

行列は実数の並びとして定義されるため、大きさ\(m\times n\)を任意に選んだとき、すべての成分が\(0\)であるような\(\mathbb{R} \)上の\(m\times n\)行列\begin{equation*}0=\left( 0\right) =\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が存在します。これをゼロ行列(zero matrix)と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ行列を表す記号であり、右辺中の\(0\)はゼロです。多くの場合、大きさ\(m\times n\)のゼロ行列を、\begin{equation*}0_{m,n}
\end{equation*}と表記します。ただ、以降ではシンプルに\(0\)で表記します。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロ行列\(0\)が存在しますが、それと同じ大きさの行列\(A\)に対してゼロ行列\(0\)を足してもその結果は\(A\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロ行列を行列加法単位元(identity element of matrix addition)と呼ぶ場合もあります。

命題(行列加法単位元の存在)
行列加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A
\end{equation*}を満たす。

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\(\mathbb{R} \)の加法単位元であるゼロは一意的であるため、ゼロを成分として持つ行列として定義されるゼロ行列もまた一意的です。

命題(ゼロ行列の一意性)
行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に属するゼロ行列\(0\)は一意的である。

 

行列加法に関する逆元

行列\begin{equation*}
A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}のそれぞれの成分\(a_{ij}\)は実数ですが、任意の実数\(a_{ij}\)は加法逆元\(-a_{ij}\)を持つため、以下のような行列\begin{equation*}-A=\left( -a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\
-a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-a_{m1} & -a_{m2} & \cdots & -a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。これを\(A\)の行列加法に関する逆元(inverse element in relation to matrix addition)と呼びます。ただし、左辺の\(-A\)は行列\(A\)の逆元を表す記号であるのに対し、右辺の\(-a_{ij}\)は実数\(a_{ij}\)の加法逆元を表す記号です。両者を同じ記号を用いて表記するため注意してください。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0
\end{equation*}を満たします。