行列加法（行列の和）

行列加法

同じ大きさを持つ2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、これらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たな行列を、\begin{equation*}
A+B=\left( a_{ij}+b_{ij}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)と\(B\)の和（sum）や成分ごとの和（entrywise sum）などと呼びます。左辺の\(+\)は行列の和を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数の和を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。

行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が加法\(+\)について閉じていることから和\(A+B\)のそれぞれの成分\(a_{ij}+b_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(A+B\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の1つの行列として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列加法\(+\)について閉じているということです。このような事情を踏まえると、行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left(A,B\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、それらの行列和\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}+:M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を行列加法（matrix addition）と呼びます。順序対\(\left( A,B\right) \)に対して行列加法\(+\)を適用することを、\(A\)と\(B\)を足す（add）と言います。

行列加法は同じ大きさの行列に対してのみ定義されます。大きさが異なる行列に対して行列加法を適用することはできません。

行列加法に関する結合律

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}を満たします。これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は行列加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( A+B\right) +C\)は、はじめに\(A\)と\(B\)を足した上で、得られた結果と\(C\)をさらに足して得られる行列です。右辺\(A+\left( B+C\right) \)は、はじめに\(B\)と\(C\)を足した上で、\(A\)と先の結果\(B+C\)を足して得られる行列です。結合律はこれらの行列が等しいことを保証します。つまり、3つの行列\(A,B,C\)に対して行列加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

ゼロ行列（行列加法単位元）

行列は実数の並びとして定義されるため、大きさ\(m\times n\)を任意に選んだとき、すべての成分が\(0\)であるような\(m\times n\)行列\begin{equation*}0=\left( 0\right)
\end{equation*}が定義可能です。これをゼロ行列（zero matrix）と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ行列を表す記号であり、右辺中の\(0\)はゼロです。多くの場合、大きさ\(m\times n\)のゼロ行列を、\begin{equation*}0_{m,n}
\end{equation*}と表記します。ただ、以降ではシンプルに\(0\)で表記します。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロ行列\(0\)が存在しますが、それと同じ大きさの行列\(A\)に対してゼロ行列\(0\)を足してもその結果は\(A\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロ行列を行列加法単位元（identity element of matrix addition）と呼ぶ場合もあります。

\(\mathbb{R} \)の加法単位元であるゼロは一意的であるため、ゼロを成分として持つ行列として定義されるゼロ行列もまた一意的です。

行列加法に関する逆元

行列\begin{equation*}
A=\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}のそれぞれの成分\(a_{ij}\)は実数ですが、任意の実数\(a_{ij}\)は加法逆元\(-a_{ij}\)を持つため、以下の行列\begin{equation*}-A=\left( -a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを\(A\)の行列加法に関する逆元（inverse element in relation to matrix addition）と呼びます。ただし、左辺の\(-A\)は行列\(A\)の逆元を表す記号であるのに対し、右辺の\(-a_{ij}\)は実数\(a_{ij}\)の加法逆元を表す記号です。両者を同じ記号を用いて表記するため注意してください。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0
\end{equation*}を満たします。つまり、行列\(A\)を任意に選んだとき、先の理由によりその加法逆元\(-A\)が存在することが保証されますが、\(A\)と\(-A\)の和はゼロ行列と一致することが保証されるということです。

それぞれの実数\(a_{ij}\)に対してその加法逆元\(-a_{ij}\)は一意的に定まるため、それぞれの行列\(\left( a_{ij}\right) \)に対して行列加法逆元\(\left( -a_{ij}\right) \)は一意的に定まります。

行列加法に関する交換律

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A
\end{equation*}を満たします。以上の性質を行列加法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つの行列\(A,B\)を成分とする順序対\(\left( A,B\right) ,\left(B,A\right) \)は異なるものとして区別するため、\(\left(A,B\right) \)に行列加法を適用して得られる行列\(A+B\)と、\(\left( B,A\right) \)に行列加法を適用して得られる行列\(B+A\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい行列であることを保証します。

行列加法に関する可換群としての行列空間

これまで明らかになった行列加法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A
\end{eqnarray*}となります。

行列加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) \)を満たすことは、行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(+\)に関して半群（semigroup）であることを意味します。また、行列加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) \)と\(\left( V_{2}\right) \)を満たすことは、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(+\)に関してモノイド（monoid）であることを意味します。また、行列加法\(+\)が\(\left(V_{1}\right) ,\left( V_{2}\right) \)に加えて\(\left(V_{3}\right) \)を満たすことは、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(+\)に関して群（group）であることを意味します。さらに、行列加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) ,\left( V_{2}\right),\left( V_{3}\right) \)に加えて\(\left( V_{4}\right) \)を満たすことは、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(+\)に関して可換群（commutative group）またはアーベル群（abelian group）であることを意味します。

行列加法に関する逆元の逆元

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、その行列加法逆元\(-A\)もまた\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素であるため、さらにその行列加法逆元\(-\left( -A\right) \)が存在し、これもまた\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素です。しかも、\begin{equation*}-\left( -A\right) =A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列加法に関して、行列の逆元の逆元はもとの行列と一致します。

ゼロ行列の行列加法逆元

ゼロ行列\(0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列であるため、その行列加法逆元\(-0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)もまた行列です。しかも、\begin{equation*}-0=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロ行列の行列加法逆元はゼロ行列です。

演習問題