確認テスト I（行列）

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つの点\(P,Q\)の座標が、\begin{eqnarray*}P &=&\left(
\begin{array}{c}
a \\
b\end{array}\right) =\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & -1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
Q &=&\left(
\begin{array}{c}
c \\
d\end{array}\right) =\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & -1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
q+1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。ただし、\(q\in \mathbb{R} \)です。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(P,Q\)の座標を特定してください。
2. \(P,Q\)を通る直線の方程式を求めてください。

以下の行列\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\cos \left( \alpha \right) & -\sin \left( \alpha \right) \\
\sin \left( \alpha \right) & \cos \left( \alpha \right)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos \left( \beta \right) & -\sin \left( \beta \right) \\
\sin \left( \beta \right) & \cos \left( \beta \right)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\cos \left( \gamma \right) & -\sin \left( \gamma \right) \\
\sin \left( \gamma \right) & \cos \left( \gamma \right)
\end{pmatrix}\end{equation*}を計算して\(2\times 2\)行列にしてください。

以下の条件\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
3 & 5\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}を満たす\(2\times 2\)行列\(A\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を特定してください。

任意の複素数\(z\in \mathbb{C} \)は実数\(a,b\in \mathbb{R} \)と虚数単位\(i\in \mathbb{C} \)を用いて、\begin{equation*}z=a+bi
\end{equation*}と表すことができます。以上を踏まえた上で、それぞれの複素数\(z=a+bi\in \mathbb{C} \)に対して、以下の行列\begin{equation*}f\left( z\right) =\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a\end{pmatrix}\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
f:\mathbb{C} \rightarrow M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義します。\(f\)は複素数の和を行列の和に、複素数の積を行列の積に移すこと、すなわち、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall z,w &\in &\mathbb{C} :f\left( z+w\right) =f\left( z\right) +f\left( w\right) \\
\left( b\right) \ \forall z,w &\in &\mathbb{C} :f\left( zw\right) =f\left( z\right) f\left( w\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを示してください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a & b \\
b & a\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。\(a,b\in \mathbb{R} \)です。この行列\(A\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A^{n}=\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n} \\
c_{n} & d_{n}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義します。以下の問いに答えてください（各15点）。

1. 任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(a_{n}=d_{n}\)かつ\(b_{n}=c_{n}\)が成り立つことを証明してください。
2. \(a_{n}+b_{n}\)を\(a,b\)を用いて表してください。