確認テスト II（行列）

以下の行列および列ベクトル\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0\end{pmatrix}
\\
C &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 6\end{pmatrix}
\\
\boldsymbol{v} &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}から定義される以下の行列\begin{equation*}
\boldsymbol{v}^{t}\left[ A^{t}-\left( A-B\right) ^{t}\right] C
\end{equation*}を具体的に計算してください。

以下の行列および列ベクトル\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
0 & -1\end{pmatrix}
\\
\boldsymbol{v} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。

1. 行列\(A^{2025}\boldsymbol{v}\)を具体的に特定してください（10点）。
2. 任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(A^{n}\boldsymbol{v}\)を特定するような公式を特定した上で、それを証明してください（15点）。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(AB=BA\)を満たす正方行列\(B\in M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)をすべて特定してください。
2. \(AC\not=CA\)を満たす正方行列\(C\in M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)の具体例を提示してください。

任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix}
\cos \left( n\theta \right) & -\sin \left( n\theta \right) \\
\sin \left( n\theta \right) & \cos \left( n\theta \right)
\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\(\theta \in \mathbb{R} \)です。

2つの正方行列\(A,B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)がともに対称行列であるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(AB\)が対称行列であることと\(AB=BA\)が成り立つことは必要十分であることを証明してください（10点）。
2. \(AB\)が対角行列である場合には\(AB=BA\)が成り立つことを証明してください（5点）。

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)は対角行列であるとともに、そのすべての対角成分が異なるものとします。正方行列\(B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が以下の条件\begin{equation*}AB=BA
\end{equation*}を満たす場合には、\(B\)もまた対角行列であることを証明してください。