確認テスト III（行列）

以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & a \\
b & c\end{pmatrix}
\\
I_{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\(a,b,c\in \mathbb{R} \)です。\(A\)と\(I_{2}\)が行同値であるために\(a,b,c\)が満たすべき条件を特定してください。

以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 階数が\(1\)であるような\(3\times 3\)行列をすべて列挙してください。
2. 階数が\(2\)であるような\(3\times 3\)行列をすべて列挙してください。
3. 階数が\(3\)であるような\(3\times 3\)行列をすべて列挙してください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
-1 & -1 & 0 & 1 \\
1 & 3 & -2 & 7 \\
-1 & 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の階数を求めてください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a & b & b \\
b & a & b \\
b & b & a\end{pmatrix}\end{equation*}の階数を求めてください。ただし、\(a,b\in \mathbb{R} \)です。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対称行列であるとともに行標準形である場合には、\(A\)は対角行列であることを証明してください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
8 & 9 & 4 \\
7 & 6 & 5\end{pmatrix}\end{equation*}の逆行列を求めてください。

以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & k \\
1 & 4 & k^{2}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(k\in \mathbb{R} \)です。\(A\)が正則であるために\(k\)が満たすべき条件を特定してください。