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MATRIX

行列の乗法(行列の積)

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行列の乗法

行列\(A,B\)を任意に選びます。ただし、\(A\)の列の個数は\(B\)の行の個数と一致するものとします。つまり、\begin{eqnarray*}A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) \in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}です。行列\(A\)の第\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)行は、\begin{equation}\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{ip}\right) \in M_{1,p}\left( \mathbb{R} \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、行列\(B\)の第\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)列は、\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
b_{1j} \\
b_{2j} \\
\vdots \\
b_{pj}\end{array}\right) \in M_{p,1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)から実数\(c_{ij}\)を、\begin{equation*}c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots
+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}
\end{equation*}と定義します。この\(c_{ij}\)を\(ij\)成分とする行列を、\begin{equation*}AB=\left( c_{ij}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)と\(B\)の(product)と呼びます。\(i\in \left\{ 1,2,\cdots ,m\right\} \)かつ\(j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \)であるため、\begin{equation*}AB\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。

行列である\(A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) \)と\(B\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の列の個数と\(B\)の行の個数が\(p\)で一致することと、実数空間\(\mathbb{R} \)が加法と乗法について閉じていることから、行列積\(AB\)のそれぞれの成分\(c_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(AB\)が\(\mathbb{R} \)上の\(m\times n\)行列として定まること、すなわち\(AB\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が成り立つことが保証されます。したがって、\(M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素と\(M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素を成分とするそれぞれの順序対\(\left( A,B\right) \)に対して、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である行列積\(AB\)を定める二項演算が定義可能です。これを行列の乗法(matrix multiplication)と呼びます。

例(行列乗法)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)の列の個数\(2\)と\(B\)の行の個数\(2\)が一致するため積\(AB\)が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}AB &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列乗法の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(B\)の列の個数\(2\)と\(A\)の列の個数\(2\)が一致するため積\(BA\)もまた定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}BA &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22} \\
b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列乗法の定義}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}について、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1\cdot 1+2\cdot 0 & 1\cdot 1+2\cdot 2 \\
3\cdot 1+4\cdot 0 & 3\cdot 1+4\cdot 2\end{pmatrix}\quad \because \text{行列乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
3 & 11\end{pmatrix}\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
BA &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1\cdot 1+1\cdot 3 & 1\cdot 2+1\cdot 4 \\
0\cdot 1+2\cdot 3 & 0\cdot 2+2\cdot 4\end{pmatrix}\quad \because \text{行列乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
4 & 6 \\
6 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}です。この例では、\begin{equation*}
AB\not=BA
\end{equation*}という関係が成立しています。つまり、行列乗法は交換律を満たすとは限りません。

例(行列乗法)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)の列の個数\(2\)と\(B\)の行の個数\(2\)が一致するため積\(AB\)が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}AB &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} &
a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} &
a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列乗法の定義}
\end{eqnarray*}となります。一方、\(B\)の列の個数\(3\)と\(A\)の行の個数\(2\)は一致しないため積\(BA\)は定義不可能です。具体例を挙げると、以下の2つの行列\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}について、\begin{eqnarray*}
AB &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 3\end{pmatrix}\quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1\cdot 1+2\cdot 0 & 1\cdot 1+2\cdot 2 & 1\cdot 1+2\cdot 3 \\
3\cdot 1+4\cdot 0 & 3\cdot 1+4\cdot 2 & 3\cdot 1+4\cdot 3\end{pmatrix}\quad \because \text{行列乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 5 & 7 \\
3 & 11 & 15\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。

例(行列乗法)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \\
B &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)の列の個数\(n\)は\(B\)の行の個数\(n\)と一致するため積\(AB\)が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}AB &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}\end{array}\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\right) \quad \because
\text{行列乗法の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(B\)の列の個数\(1\)は\(A\)の行の個数\(1\)と一致するため積\(BA\)もまた定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}BA &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}\end{array}\right) \left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+\cdots +b_{n}a_{n}\right) \quad \because
\text{行列乗法の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
AB=BA=\left( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\right)
\end{equation*}となりますが、これは内積に他なりません。つまり、行ベクトルと列ベクトルをともにベクトルとみなした場合、行列乗法と内積は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) \left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
4\end{array}\right) \left( 1,2,3\right) =\left( 1,2,3\right) \cdot \left( 2,3,4\right)
=20 \\
\left( 1,-1\right) \left(
\begin{array}{c}
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3 \\
4\end{array}\right) \left( 1,-1\right) =\left( 1,-1\right) \cdot \left( 3,4\right) =-1 \\
\left( 0,1\right) \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) \left( 0,1\right) =\left( 0,1\right) \cdot \left( 1,-1\right) =-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列乗法)
以下の\(1\times 1\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\left( a\right) \\
B &=&\left( b\right)
\end{eqnarray*}に対して、\begin{eqnarray*}
AB &=&\left( a\right) \left( b\right) \quad \because A,B\text{の定義} \\
&=&\left( ab\right) \quad \because \text{行列乗法}
\end{eqnarray*}となりますが、これは実数の乗法に他なりません。つまり、\(1\times 1\)行列において行列乗法と実数の乗法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1\right) \left( 2\right) &=&1\cdot 2=2 \\
\left( 0\right) \left( -1\right) &=&0\cdot \left( -1\right) =0 \\
\left( \frac{1}{2}\right) \left( -2\right) &=&\frac{1}{2}\cdot \left(
-2\right) =-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

行列乗法は列の個数と行の個数が一致する2つの行列に対してのみ定義されます。列の個数と行の個数が異なる行列どうしに行列乗法を適用することはできません。

例(行列乗法)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 3\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に注目します。\(A\)は\(2\times 3\)行列であり、\(B\)は\(2\times 2\)行列であるため、\(A\)の列の個数\(3\)と\(B\)の行の個数\(2\)は異なるため、行列乗法\(AB\)は定義されません。

 

行列乗法の結合律

\(\mathbb{R} \)上の乗法と同様、行列乗法もまた結合律(associative law)を満たします。

命題(行列乗法の結合律)
行列乗法は、\begin{equation*}
\forall A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall B\in M_{p,q}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall C\in M_{q,n}\left( R\right) :\left( AB\right) C=A\left(
BC\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

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行列加法と行列乗法に関する分配律

行列加法と行列乗法の間には以下の関係が成り立ちます。\(\left(a\right) \)を左分配律(leftdistributive law)と呼び、\(\left( b\right) \)を右分配律(right distributivelaw)と呼びます。

命題(左分配律)
行列加法と行列乗法の間には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall B,C\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) :A\left( B+C\right) =AB+BC \\
&&\left( b\right) \ \forall A,B\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall C\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) C=AC+BC
\end{eqnarray*}という関係が成り立つ。

証明

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ゼロ行列との積

行列とゼロ行列の積が定義可能である場合、それはゼロ行列になることが保証されます。

命題(ゼロ行列との積)

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これとゼロ行列\(0\in M_{p,m}\left( \mathbb{R} \right) \)の間には、\begin{equation*}0A=0
\end{equation*}が成り立ち、これとゼロ行列\(0\in M_{n,p}\left( \mathbb{R} \right) \)の間には、\begin{equation*}A0=0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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スカラー乗法と行列乗法の関係

スカラー乗法と行列乗法の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(スカラー乗法と行列乗法の関係)
スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) \)および\(B\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( AB\right) =\left( kA\right) B=A\left( kB\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(行列の乗法)
行列\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & -1\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
2 & 0 & -4 \\
3 & -2 & 6\end{pmatrix}\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ AB \\
&&\left( b\right) \ BA
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(行列の乗法)
行列\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & 1\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 \\
4 & 5 & -3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ AB \\
&&\left( b\right) \ BA
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(行列の乗法)
行列\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0 \\
-3 & 4\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & -5 \\
3 & 4 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ AB \\
&&\left( b\right) \ BA
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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