教材一覧
教材一覧
教材検索

行列

行列のスカラー乗法(行列のスカラー倍)

目次

前のページ:

行列減法(行列の差)

次のページ:

行列乗法(行列の積)

Twitterで共有
メールで共有

行列のスカラー乗法

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)のそれぞれの成分を\(k\)倍することにより得られる新たな行列を、\begin{equation*}kA=\left( ka_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\
ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}で表記し、これを\(k\)による\(A\)のスカラー倍(scalar product)と呼びます。スカラー倍\(kA\)の\(k\)をスカラー(scalar)や係数(coefficient)などと呼び、スカラーがとり得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場(scalarfield)や係数体(coefficient
field)などと呼びます。

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍\(kA\)の任意の成分\(ka_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(kA\)が\(\mathbb{R} \)上の\(m\times n\)行列として定まること、すなわち、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。このような事情を踏まえると、スカラーと行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left( k,A\right) \in \mathbb{R} \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、行列であるスカラー倍\(kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算が定義可能です。このような演算をスカラー乗法(scalar multiplication)と呼びます。

例(行列のスカラー乗法)
以下の\(2\times 3\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}に対して、例えば、\begin{eqnarray*}
3A &=&3\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}\quad \because A\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
3\cdot 1 & 3\cdot \left( -2\right) & 3\cdot 3 \\
3\cdot 4 & 3\cdot 5 & 3\cdot \left( -6\right)
\end{pmatrix}\quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
3 & -6 & 9 \\
12 & 15 & -18\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
2B &=&2\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\quad \because B\text{の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
2\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 2 \\
2\cdot \left( -7\right) & 2\cdot 1 & 2\cdot 8\end{pmatrix}\quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
6 & 0 & 4 \\
-14 & 2 & 16\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
3A+2B &=&\begin{pmatrix}
3 & -6 & 9 \\
12 & 15 & -18\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
6 & 0 & 4 \\
-14 & 2 & 16\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
9 & -6 & 13 \\
-2 & 17 & -2\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義}
\end{eqnarray*}となります。

例(行列のスカラー乗法)
以下の\(1\times n\)行列\begin{equation*}A=\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}kA &=&k\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \quad \because A\text{の定義} \\
&=&\left( ka_{1},ka_{2},\cdots ,ka_{n}\right) \quad \because \text{行列のスカラー乗法の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これはベクトルのスカラー乗法に他なりません。つまり、\(1\times n\)行列、すなわち行ベクトルにおいて行列のスカラー乗法とベクトルのスカラー乗法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}3\left( 1,2,3\right) &=&\left( 3,6,9\right) \\
\left( -1\right) \left( 3,4\right) &=&\left( -3,-4\right) \\
0\left( 1,-1\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列のスカラー乗法)
以下の\(m\times 1\)行列\begin{equation*}A=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}kA &=&k\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) \quad \because A\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
ka_{1} \\
ka_{2} \\
\vdots \\
ka_{m}\end{array}\right) \quad \because \text{行列のスカラー乗法の定義}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
3\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
9\end{array}\right) \\
\left( -1\right) \left(
\begin{array}{c}
3 \\
4\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-3 \\
-4\end{array}\right) \\
0\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(行列のスカラー乗法)
以下の\(1\times 1\)行列\begin{equation*}A=\left( a\right)
\end{equation*}とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}kA &=&k\left( a\right) \quad \because A\text{の定義} \\
&=&\left( ka\right) \quad \because \text{行列のスカラー乗法の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは実数の乗法に他なりません。つまり、\(1\times 1\)行列において行列のスカラー乗法と実数の乗法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1\left( 2\right) &=&\left( 2\right) \\
0\left( -1\right) &=&\left( 0\right) \\
\frac{1}{2}\left( -2\right) &=&\left( -1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

スカラー乗法の互換性

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列が与えられたとき、そのスカラー倍のスカラー倍(左辺)は、スカラーどうしの積とのスカラー倍(右辺)と一致するということです。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性(compatibility)と呼びます。

命題(スカラー乗法の互換性)
スカラー乗法は、\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

イチ(スカラー乗法単位元)

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1A=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の行列\(A\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(A\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元(identity element of scalar multiplication)と呼ぶこともできます。

命題(スカラー乗法単位元)
スカラー乗法は、\begin{equation*}
\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

行列加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列和のスカラー倍はスカラー倍の行列和と一致します。これを行列加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to matrix addition)と呼びます。

命題(行列加法に関するスカラー乗法の分配律)
行列加法とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

行列加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラーどうしの和に関する行列のスカラー倍は行列のスカラー倍どうしの行列和と一致します。これを行列に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to matrix addition)と呼びます。

命題(行列加法に関するスカラー乗法の分配律)
行列加法とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

ベクトル空間としての行列空間(実行列空間)

これまで明らかになった行列加法およびスカラー乗法の性質を改めて成立すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{eqnarray*}となります。

行列加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left( V_{6}\right) \)を満たし、さらに行列加法とスカラー乗法の間に\(\left( V_{7}\right) \)と\(\left(V_{8}\right) \)が成り立つことは、行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間(vectorspace with a scalar field \(\mathbb{R} \))であることを意味します。特に、このようなベクト