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行列のスカラー乗法(行列のスカラー倍)

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行列のスカラー乗法

実数と行列\begin{eqnarray*}
k &\in &\mathbb{R} \\
A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)のそれぞれの成分を\(k\)倍することにより得られる新たな行列を、\begin{equation*}kA=\left( ka_{ij}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)のスカラー\(k\)(scalar product)と呼びます。スカラー倍\(kA\)の\(k\)をスカラー(scalar)や係数(coefficient)などと呼び、スカラーがとり得る値の集合である実数集合\(\mathbb{R} \)をスカラー場(scalar field)や係数体(coefficient field)などと呼びます。

例(行列のスカラー倍)
\(2\times 2\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍は、\begin{equation*}kA=\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
ka_{21} & ka_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義される\(2\times 2\)行列です。
例(行列のスカラー倍)
\(3\times 2\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}\end{equation*}のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍は、\begin{equation*}kA=\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} \\
ka_{21} & ka_{22} \\
ka_{31} & ka_{32}\end{pmatrix}\end{equation*}と定義される\(3\times 2\)行列です。
例(行ベクトルのスカラー倍)
行ベクトル\begin{equation*}
A=\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)
\end{equation*}のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍は、\begin{equation*}kA=\left( ka_{1},ka_{2},\cdots ,ka_{n}\right)
\end{equation*}と定義される行ベクトルです。つまり、行ベクトルのスカラー倍はベクトルのスカラー倍と一致します。

例(列ベクトルのスカラー倍)
列ベクトル\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍は、\begin{equation*}kA=\left(
\begin{array}{c}
ka_{1} \\
ka_{2} \\
\vdots \\
ka_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義される列ベクトルです。つまり、列ベクトルのスカラー倍はベクトルのスカラー倍と一致します。

例(実数のスカラー倍)
実数\begin{equation*}
A=\left( a\right)
\end{equation*}のスカラー\(k\in \mathbb{R} \)倍は、\begin{equation*}kA=\left( ka\right)
\end{equation*}と定義される実数です。つまり、実数のスカラー倍は実数の積と一致します。

例(家計データ)
3つの家計\(1,2,3\)による食費、交際費、医療費への月間支出額(税抜き)を調査しました。家計\(i\ \left( =1,2,3\right) \)による食費\(f_{i}\)で、交際費を\(e_{i}\)で、医療費を\(m_{i}\)でそれぞれ表記するのであれば、得られたデータを以下のような\(3\times 3\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
f_{1} & e_{1} & m_{1} \\
f_{2} & e_{2} & m_{2} \\
f_{3} & e_{3} & m_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}として表現できます。すべての支出には一律で\(10\)パーセントの消費税がかかる場合、税込みでの支出額は行列\(A\)のスカラー倍\begin{equation*}1.1A=\begin{pmatrix}
1.1f_{1} & 1.1e_{1} & 1.1m_{1} \\
1.1f_{2} & 1.1e_{2} & 1.1m_{2} \\
1.1f_{3} & 1.1e_{3} & 1.1m_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}として表現されます。

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍\(kA\)のそれぞれの成分\(ka_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(kA\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の1つの行列として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、スカラーと行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left( k,A\right) \in \mathbb{R} \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、スカラー倍\(kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をスカラー乗法(scalar multiplication)と呼びます。スカラー乗法\(\cdot \)の記号は省略されるのが慣例です。

 

スカラー乗法の互換性

2つのスカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これを乗法とスカラー乗法の間の互換性(compatibility)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を指定しています。つまり、左辺\(k_{1}\left( k_{2}A\right) \)は、はじめに行列\(A\)のスカラー\(k_{2}\)倍をとった上で、得られた行列をさらにスカラー\(k_{1}\)倍することで得られる行列です。右辺\(\left( k_{1}k_{2}\right) A\)は、はじめにスカラーどうしの積\(k_{1}k_{2}\)をとった上で、行列\(A\)のスカラー\(k_{1}k_{2}\)倍することで得られる行列です。互換性はこれらの行列が等しいことを保証します。つまり、行列が与えられたとき、そのスカラー倍のスカラー倍(左辺)は、スカラーどうしの積とのスカラー倍(右辺)と一致するということです。

命題(スカラー乗法の互換性)
実数の乗法と行列のスカラー乗法の間には、\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A
\end{equation*}が成り立つ。

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イチ(スカラー乗法単位元)

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1A=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の行列\(A\)のスカラー\(1 \)倍をとってもその結果は\(A\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元(identity element ofscalar multiplication)と呼ぶこともできます。

命題(スカラー乗法単位元)
スカラー乗法は、\begin{equation*}
\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A
\end{equation*}を満たす。

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行列加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列和のスカラー倍はスカラー倍の行列和と一致します。これを行列加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to matrix addition)と呼びます。

命題(行列加法に関するスカラー乗法の分配律)
行列加法とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}が成り立つ。

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加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラーどうしの和に関する行列のスカラー倍は行列のスカラー倍どうしの行列和と一致します。これを加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to addition)と呼びます。

命題(加法に関するスカラー乗法の分配律)
加法とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}が成り立つ。

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ゼロ行列のスカラー倍

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これとゼロ行列\(0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)のスカラー倍は、\begin{equation*}k0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロ行列のスカラー倍はゼロ行列になります。

命題(ゼロ行列のスカラー倍)
スカラー\(k\in \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、これとゼロ行列\(0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の間には、\begin{equation*}k0=0
\end{equation*}が成り立つ。

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行列のスカラーゼロ倍

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0A=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロであり、右辺の\(0\)はゼロ行列です。つまり、任意の行列のスカラー\(0\)倍はゼロ行列になります。

命題(行列のスカラーゼロ倍)
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}0A=0
\end{equation*}が成り立つ。

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スカラー倍がゼロ行列になるための必要条件

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}kA=0\Rightarrow \left( k=0\vee A=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列のスカラー倍がゼロ行列と一致する場合、スカラーがゼロであるか、行列がゼロ行列であるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( k\not=0\wedge A\not=0\right) \Rightarrow kA\not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロであるようなスカラーと非ゼロ行列のスカラー倍は非ゼロ行列になります。

命題(スカラー倍がゼロ行列になるための必要条件)
スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}kA=0\Rightarrow \left( k=0\vee A=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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行列加法に関する逆元の生成

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -k\right) A=k\left( -A\right) =-\left( kA\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列の負のスカラー倍、行列の行列加法に関する逆元のスカラー倍、行列のスカラー倍の行列加法に関する逆元はいずれも一致するということです。特に、\(k=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) A=1\left( -A\right) =-\left( 1A\right)
\end{equation*}となります。

命題(行列加法に関する逆元の生成)
スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -k\right) A=k\left( -A\right) =-\left( kA\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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演習問題

問題(行列のスカラー倍)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{equation*}
3A+2B
\end{equation*}を計算してください。

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問題(行列のスカラー乗法)
実数\(x,y,z,w\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}3\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x & 6 \\
-1 & 2w\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
4 & x+y \\
z+w & 3\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立つものとします。\(x,y,z,w\)を求めてください。
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問題(行列のスカラー乗法)
行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が任意に与えられたとき、それらの差を、\begin{equation*}A-B=A+\left( -B\right)
\end{equation*}と定義します。以上を踏まえた上で、以下の行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 5 & -6\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
-7 & 1 & 8\end{pmatrix}\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
2A-3B
\end{equation*}を求めてください。

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