直交行列

直交行列

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則行列である場合には逆行列\(A^{-1}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するとともに、以下の関係\begin{equation*}AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。以上の命題は以下の命題\begin{equation*}AA^{-1}=I_{n}
\end{equation*}と必要十分です。以上が正則行列および逆行列の定義ですが、正則行列の逆行列を特定する作業は容易ではありません。ただし、\(A\)が一定の性質を満たす正方行列である場合には、その逆行列を容易に特定できます。順番に解説します。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の逆行列を特定するためには、以下の条件\begin{equation}AX=I_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正方行列\(X\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を特定する必要があります。\(A\)を行ベクトルを明示する形で、\begin{equation*}A=\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}_{1} \\
\boldsymbol{a}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と表記し、\(X\)を列ベクトルを明示する形で、\begin{equation*}X=\left( \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right)
\end{equation*}と表記する場合、\(\left(1\right) \)は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}_{1} \\
\boldsymbol{a}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right) \left( \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right) =\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。行列積の定義を踏まえた上で左辺を変形すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{x}_{1} & \boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{x}_{2}
& \cdots & \boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{x}_{n} \\
\boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{x}_{1} & \boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{x}_{2}
& \cdots & \boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{x}_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{x}_{1} & \boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{x}_{2}
& \cdots & \boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{x}_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。したがって、正方行列\(A\)が与えられたとき、その逆行列\(X\)は以下の条件\begin{equation}\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\boldsymbol{a}_{i}\boldsymbol{x}_{j}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ i=j\right) \\
0 & \left( if\ i\not=j\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。つまり、\(i=j\)の場合に\(\boldsymbol{a}_{i}\boldsymbol{x}_{j}=1\)であるとともに、\(i\not=j\)の場合に\(\boldsymbol{a}_{i}\)と\(\boldsymbol{x}_{j}\)は直交するということです。では、正方行列\(A\)がどのような行列であれば、以上の性質を満たす行列\(X\)を容易に見つけられるのでしょうか。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を行ベクトルを明示する形で、\begin{equation*}A=\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}_{1} \\
\boldsymbol{a}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記する場合、その転置行列\(A^{t}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は、列ベクトルを明示する形で、\begin{equation*}A^{t}=\left( \boldsymbol{a}_{1}^{t},\boldsymbol{a}_{2}^{t},\cdots ,\boldsymbol{a}_{n}^{t}\right)
\end{equation*}と表記されます。\(A\)の行ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots ,\boldsymbol{a}_{n}\right\} \)が直交座標系であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \boldsymbol{a}_{i}\cdot \boldsymbol{a}_{j}=0\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left\Vert
\boldsymbol{a}_{i}\right\Vert =1
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。ただしこれは、\begin{equation*}
\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{a}_{i}\cdot
\boldsymbol{a}_{j}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ i=j\right) \\
0 & \left( if\ i\not=j\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。行列積と内積の関係より、これは、\begin{equation}
\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{a}_{i}\boldsymbol{a}_{j}^{t}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ i=j\right) \\
0 & \left( if\ i\not=j\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}と必要十分ですが、これは先に特定した\(A\)の逆行列\(X\)が満たすべき条件と一致します。実際、\begin{eqnarray*}AA^{t} &=&\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}_{1} \\
\boldsymbol{a}_{2} \\
\vdots \\
\boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right) \left( \boldsymbol{a}_{1}^{t},\boldsymbol{a}_{2}^{t},\cdots ,\boldsymbol{a}_{n}^{t}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
\boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{a}_{1}^{t} & \boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{a}_{2}^{t} & \cdots & \boldsymbol{a}_{1}\boldsymbol{a}_{n}^{t} \\
\boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{a}_{1}^{t} & \boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{a}_{2}^{t} & \cdots & \boldsymbol{a}_{2}\boldsymbol{a}_{n}^{t} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{a}_{1}^{t} & \boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{a}_{2}^{t} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n}\boldsymbol{a}_{n}^{t}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&I_{n}
\end{eqnarray*}となるため、\(A^{t}\)が\(A\)の逆行列であること、すなわち、\begin{equation*}A^{t}=A^{-1}
\end{equation*}が成り立つことが明らかに明らかになりました。

結論を整理します。正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots ,\boldsymbol{a}_{n}\right\} \)が直交座標系である場合には\(A\)は正則行列であるとともに、その逆行列と転置行列が一致すること、すなわち、\begin{equation*}A^{t}=A^{-1}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。後ほど示すように、その逆もまた成立します。つまり、正方行列\(A\)の逆行列と転置行列が一致する場合には、\(A\)の行ベクトル集合は直交座標系になるということです。

以上の議論を踏まえた上で、正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の逆行列と転置行列が一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}A^{t}=A^{-1}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を直交行列（orthogonal matrix）と呼びます。

直交行列の代替的な定義

直交行列を以下のように定義することもできます。様々な方法で証明可能ですが、ここでは後に学ぶ行列式に関する知識を利用します。必要な知識を学んだ後に読み返してください。

正規直交系と直交行列の関係

冒頭の議論において正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行ベクトル集合が正規直交系である場合には\(A\)は直交行列であることを示しましたが、その逆もまた成り立ちます。また、正方行列\(A\)の列ベクトル集合が正規直交系であることもまた\(A\)が直交行列であるための必要十分条件です。

演習問題