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実行列空間

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行列加法とスカラー乗法

行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に行列加法と呼ばれる演算を定義した上で、それが以下の性質を満たすことを示しました

命題(行列加法の性質)

行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された行列加法\(+\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A
\end{eqnarray*}を満たす。

また、スカラー場\(\mathbb{R} \)と行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上にスカラー乗法と呼ばれる演算を定義した上で、それが以下の性質を満たすことを示しました

命題(スカラー乗法の性質)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたスカラー乗法は、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A
\end{eqnarray*}を満たす。

では、行列加法とスカラー乗法の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。以下で考えます。

 

行列加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列和のスカラー積はスカラー積の行列和と一致します。これを行列加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to matrix addition)と呼びます。

命題(行列加法に関するスカラー乗法の分配律)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された行列加法とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}が成り立つ。

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行列加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラーの和と行列のスカラー倍は行列のスカラー倍どうしの行列和と一致します。これを行列に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to matrix addition)と呼びます。

命題(行列加法に関するスカラー乗法の分配律)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された行列加法とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}が成り立つ。

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実行列空間

行列加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left( V_{6}\right) \)を満たし、さらに行列加法とスカラー乗法の間に\(\left( V_{7}\right) \)と\(\left(V_{8}\right) \)が成り立つことは、行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間(vectorspace with a scalar field \(\mathbb{R} \))であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実行列空間(real matrixspace)と呼びます。

命題(ベクトル空間としての行列空間)
行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は実数空間\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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