実行列空間の定義

行列の定義

実数を長方形に配列したもの\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}を\(\mathbb{R} \)上の行列（matric over \(\mathbb{R} \)）と呼びます。

行列を構成する個々の実数\begin{equation*}
a_{ij}\quad \left( i=1,\cdots ,m;\ j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}を行列の\(ij\)成分（\(ij\)component）と呼びます。これは行列の第\(i\)行、第\(j\)列に現れる実数です。

行列そのものを、\begin{equation*}
\left( a_{ij}\right) \quad \left( i=1,\cdots ,m;\ j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}と表記することもできます。または、\(i\)や\(j\)がとり得る値の範囲が自明である場合には、行列そのものを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right)
\end{equation*}とシンプルに表記できます。

行列\(A\)の上から\(i\ \left( =1,2,\cdots,m\right) \)番目の行を\(i\)番目の行（\(i\) th row）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}で表記します。

行列\(A\)の左から\(j\ \left( =1,2,\cdots,n\right) \)番目の列を\(j\)番目の列（\(j\) th column）と呼び、これを、\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。

行列\(\left( a_{ij}\right) \)が\(m\)個の行と\(n\)個の列を持つ場合、それを\(m\times n\)行列（\(m\times n\) matrix）と呼びます。また、行列の行と列の数を特定する数の組\(\left( m,n\right) \)を行列の大きさ（size）や形（shape）などと呼びます。実数を成分として持つすべての\(m\times n\)行列からなる集合を\begin{equation*}M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ \left( a_{ij}\right) \ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} ,\ \forall j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{ij}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記します。\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)です。

行列加法の定義とその性質

同じ大きさを持つ2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
B &=&\left( b_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、これらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たな行列を、\begin{equation*}
A+B=\left( a_{ij}+b_{ij}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)と\(B\)の和（sum）や成分ごとの和（entrywise sum）などと呼びます。左辺の\(+\)は行列の和を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数の和を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。

行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が加法\(+\)について閉じていることから和\(A+B\)のそれぞれの成分\(a_{ij}+b_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(A+B\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の1つの行列として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列加法\(+\)について閉じているということです。このような事情を踏まえると、行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left(A,B\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、それらの行列和\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}+:M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を行列加法（matrix addition）と呼びます。順序対\(\left( A,B\right) \)に対して行列加法\(+\)を適用することを、\(A\)と\(B\)を足す（add）と言います。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}を満たします。これを結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は行列加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( A+B\right) +C\)は、はじめに\(A\)と\(B\)を足した上で、得られた結果と\(C\)をさらに足して得られる行列です。右辺\(A+\left( B+C\right) \)は、はじめに\(B\)と\(C\)を足した上で、\(A\)と先の結果\(B+C\)を足して得られる行列です。結合律はこれらの行列が等しいことを保証します。つまり、3つの行列\(A,B,C\)に対して行列加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

行列は実数の並びとして定義されるため、大きさ\(m\times n\)を任意に選んだとき、すべての成分が\(0\)であるような\(m\times n\)行列\begin{equation*}0=\left( 0\right)
\end{equation*}が定義可能です。これをゼロ行列（zero matrix）と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ行列を表す記号であり、右辺中の\(0\)はゼロです。多くの場合、大きさ\(m\times n\)のゼロ行列を、\begin{equation*}0_{m,n}
\end{equation*}と表記します。ただ、以降ではシンプルに\(0\)で表記します。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロ行列\(0\)が存在しますが、それと同じ大きさの行列\(A\)に対してゼロ行列\(0\)を足してもその結果は\(A\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロ行列を行列加法単位元（identity element of matrix addition）と呼ぶ場合もあります。

行列\begin{equation*}
A=\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}のそれぞれの成分\(a_{ij}\)は実数ですが、任意の実数\(a_{ij}\)は加法逆元\(-a_{ij}\)を持つため、以下の行列\begin{equation*}-A=\left( -a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。これを\(A\)の行列加法に関する逆元（inverse element in relationto matrix addition）と呼びます。ただし、左辺の\(-A\)は行列\(A\)の逆元を表す記号であるのに対し、右辺の\(-a_{ij}\)は実数\(a_{ij}\)の加法逆元を表す記号です。両者を同じ記号を用いて表記するため注意してください。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0
\end{equation*}を満たします。つまり、行列\(A\)を任意に選んだとき、先の理由によりその加法逆元\(-A\)が存在することが保証されますが、\(A\)と\(-A\)の和はゼロ行列と一致することが保証されるということです。

行列加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A
\end{equation*}を満たします。以上の性質を行列加法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、2つの行列\(A,B\)を成分とする順序対\(\left( A,B\right) ,\left(B,A\right) \)は異なるものとして区別するため、\(\left(A,B\right) \)に行列加法を適用して得られる行列\(A+B\)と、\(\left( B,A\right) \)に行列加法を適用して得られる行列\(B+A\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しい行列であることを保証します。

行列のスカラー乗法の定義とその性質

実数と行列\begin{eqnarray*}
k &\in &\mathbb{R} \\
A &=&\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)のそれぞれの成分を\(k\)倍することにより得られる新たな行列を、\begin{equation*}kA=\left( ka_{ij}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)のスカラー\(k\)倍（scalar product）と呼びます。スカラー倍\(kA\)の\(k\)をスカラー（scalar）や係数（coefficient）などと呼び、スカラーがとり得る値の集合である実数集合\(\mathbb{R} \)をスカラー場（scalar field）や係数体（coefficient field）などと呼びます。

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍\(kA\)のそれぞれの成分\(ka_{ij}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(kA\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の1つの行列として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、スカラーと行列を成分とするそれぞれの順序対\(\left( k,A\right) \in \mathbb{R} \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、スカラー倍\(kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をスカラー乗法（scalar multiplication）と呼びます。スカラー乗法\(\cdot \)の記号は省略されるのが慣例です。

2つのスカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これを乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を指定しています。つまり、左辺\(k_{1}\left( k_{2}A\right) \)は、はじめに行列\(A\)のスカラー\(k_{2}\)倍をとった上で、得られた行列をさらにスカラー\(k_{1}\)倍することで得られる行列です。右辺\(\left( k_{1}k_{2}\right) A\)は、はじめにスカラーどうしの積\(k_{1}k_{2}\)をとった上で、行列\(A\)のスカラー\(k_{1}k_{2}\)倍することで得られる行列です。互換性はこれらの行列が等しいことを保証します。つまり、行列が与えられたとき、そのスカラー倍のスカラー倍（左辺）は、スカラーどうしの積とのスカラー倍（右辺）と一致するということです。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1A=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の行列\(A\)のスカラー\(1 \)倍をとってもその結果は\(A\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

行列加法とスカラー乗法の関係

スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}k\left( A+B\right) =kA+kB
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行列和のスカラー倍はスカラー倍の行列和と一致します。これを行列加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to matrix addition）と呼びます。

スカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、スカラーどうしの和に関する行列のスカラー倍は行列のスカラー倍どうしの行列和と一致します。これを加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。

実行列空間の定義

これまで明らかになった行列加法およびスカラー乗法の性質を改めて成立すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{eqnarray*}となります。

行列加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left( V_{6}\right) \)を満たし、さらに行列加法とスカラー乗法の間に\(\left( V_{7}\right) \)と\(\left(V_{8}\right) \)が成り立つことは、行列集合\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間（vector space with a scalar field \(\mathbb{R} \)）であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実行列空間（real matrixspace）と呼びます。通常、実行列空間を、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,+,\cdot \right)
\end{equation*}と表記しますが、実行列空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表記できます。