WIIS

連立1次方程式

連立1次方程式と同値な行列方程式

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

連立1次方程式

連立1次方程式およびその解について簡単に復習します。

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{j}\in \mathbb{R} \)は変数です。変数の個数\(n\)と方程式の個数\(m\)はともに自然数であり、それぞれ任意に選ぶことができます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数に具体的な実数\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
\vdots \\
k_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}をそれぞれ代入すると\(m\)個の命題\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+\cdots +a_{1n}k_{n}=b_{1} \\
a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+\cdots +a_{2n}k_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+\cdots +a_{mn}k_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)中のすべての命題が真である場合、\(\left(2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)の中に偽であるような命題が存在する場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

連立1次方程式の解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、連立1次方程式の解をすべて集めてできる集合を解集合と呼びます。

すべての定数項が\(0\)であるような連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を同次連立1次方程式と呼びます。また、同次連立1次方程式ではない連立1次方程式、すなわち少なくとも1つの定数項が非ゼロであるような連立1次方程式を非同次連立1次方程式と呼びます。

連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、すべての定数項を\(0\)に置き換えれば同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これを\(\left( 1\right) \)に付随する同次連立1次方程式と呼びます。

同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の変数に以下の値\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると\(m\)個の命題\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}0+a_{12}0+\cdots +a_{1n}0=0 \\
a_{21}0+a_{22}0+\cdots +a_{2n}0=0 \\
\vdots \\
a_{m1}0+a_{m2}0+\cdots +a_{mn}0=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=0 \\
0=0 \\
\vdots \\
0=0\end{array}\right.
\end{equation*}が得られますが、これらは明らかに真であるため\(\left( 2\right) \)は同次連立1次方程式の解です。ゼロベクトルは任意の同次連立1次方程式の解であるということです。このような解を自明解と呼びます。また、自明解とは異なる解、すなわちゼロベクトルとは異なる解を自明ではない解と呼びます。

連立1次方程式の解集合と、それに随伴する同次連立1次方程式の解集合の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(連立1次方程式と随伴する同次連立1次方程式の解の関係)
連立1次方程式\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}に随伴する同次連立1次方程式は、\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義される。\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(\left(2\right) \)の解集合が\(W\subset \mathbb{R} ^{n}\)であるとき、\(\left( 1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+W=\left\{ u+w\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ w\in W\right\}
\end{equation*}となる。

 

連立1次方程式の行列表示

行列の知識を利用することにより連立1次方程式の解の構造を分析したり、解を体系的に求めることができるようになります。準備として、連立1次方程式を行列方程式として表現します。

変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数を並べることにより以下のような\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列(coefficient matrix)と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}x=\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の変数ベクトル(variable vector)と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数項を並べることにより以下のような\(n\)次の列ベクトル\begin{equation*}b=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られます。これを連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル(constant vector)と呼びます。

連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の列の個数と変数ベクトル\(x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の行の個数はともに\(n\)で等しいため、行列積\begin{equation*}Ax\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能であり、具体的には、\begin{eqnarray*}
Ax &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\quad \because A,x\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\mathrm{row}\left( A,1\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\mathrm{row}\left( A,2\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right) \\
\vdots \\
\mathrm{row}\left( A,m\right) \cdot \mathrm{col}\left( B,1\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{行列積の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}という\(m\)次元の列ベクトルになります。連立1次方程式\(\left( 1\right) \)の定数ベクトル\(b\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)もまた\(m\)次元の列ベクトルであるため、行列方程式\begin{equation*}Ax=b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\end{equation*}が定義可能です。これを連立1次方程式\(\left(1\right) \)の行列表示(matrix representation)と呼びます。

特に、連立1次方程式\(\left( 1\right) \)に随伴する同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の行列表示は、\begin{equation*}
Ax=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{pmatrix}\end{equation*}となります。

 

連立1次方程式とその行列表示は同値

連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right.
\end{equation*}の行列表示\begin{equation}
Ax=b \quad \cdots (1)
\end{equation}の変数ベクトルに具体的なベクトル\begin{equation}
x=u \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると命題\begin{equation}
Au=b \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られますが、\(\left(3\right) \)が真である場合、\(\left( 2\right) \)を\(\left( 1\right) \)の解と呼びます。逆に、\(\left( 3\right) \)が偽である場合、\(\left(2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

行列方程式には解は存在するとは限りませんし、解が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、行列方程式\begin{equation*}
Ax=b
\end{equation*}の解をすべて集めてできる集合\begin{equation*}
\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=b\right\}
\end{equation*}を解集合と呼びます。

連立1次方程式の解集合と、その行列表示の解集合は一致します。つまり、ある列ベクトルが連立1次方程式の解であることと、その列ベクトルが連立1次方程式の行列表示の解であることは必要十分です。このような事情を踏まえた上で、連立1次方程式とその行列表示は同値(equivalent)であると言います。

命題(連立1次方程式とその行列表示は同値)
変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとする。ただし、\(a_{ij}\in \mathbb{R} \)は係数、\(b_{i}\in \mathbb{R} \)は定数項、\(x_{i}\in \mathbb{R} \)は変数である。\(\left( 1\right) \)の係数行列\(A\)と変数ベクトル\(x\)および定数ベクトル\(b\)を、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
x &=&\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{pmatrix}\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) \\
b &=&\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{m}\end{pmatrix}\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と定めた上で、行列方程式\begin{equation}
Ax=b \quad \cdots (2)
\end{equation}を定義する。このとき、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の解集合は一致する。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

連立1次方程式が与えられたとき、その解を分析する代わりに、連立1次方程式の行列表現に相当する行列方程式の解を分析してもかまいません。なぜなら、上の命題から明らかであるように、両者の解集合は一致するからです。連立1次方程式を行列方程式に読み替えることにより、行列に関する知識を利用しながら連立1次方程式を分析できるようになります。

例(連立1次方程式の行列表示)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
x+y=7 \\
2x+4y=18\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の行列表示は、\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}です。この行列方程式の変数ベクトルに、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を代入すると以下の命題\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1\cdot 5+1\cdot 2 \\
2\cdot 5+4\cdot 2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
18\end{array}\right)
\end{equation*}を得ますが、これは真であるため\(\left( 3\right) \)は\(\left( 2\right) \)の解です。他に解は存在しないため、\(\left( 2\right) \)の解集合は、\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
5 \\
2\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}です。先の命題より、これは\(\left( 1\right) \)の解集合でもあります。
例(連立1次方程式の行列表示)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
2x+3y=7 \\
4x+6y=10\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の行列表示は、\begin{equation}
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、この行列方程式に解は存在しません。実際、何らかの解\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
k_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}が存在するものと仮定すると以下の命題\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
k_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
2k_{1}+3k_{2} \\
4k_{1}+6k_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
7 \\
10\end{array}\right)
\end{equation*}が真となりますが、このとき、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
2k_{1}+3k_{2}=7 \\
4k_{1}+6k_{2}=10\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
4k_{1}+6k_{2}=14 \\
4k_{1}+6k_{2}=10\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
14=16
\end{equation*}を得ますが、これは矛盾だからです。したがって、\(\left( 2\right) \)の解集合は、\begin{equation*}\phi
\end{equation*}です。先の命題より、これは\(\left( 1\right) \)の解集合でもあります。
例(連立1次方程式の行列表示)
変数\(x,y\)に関する連立1次方程式\begin{equation}\left\{
\begin{array}{r}
x-y=1 \\
-2x+2y=-2\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}の行列表示は、\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、この行列方程式は無数の解を持ちます。実際、実数\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の変数ベクトル\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を\(\left( 1\right) \)に代入すると以下の命題\begin{equation*}\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-2 & 2\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
t-\left( t-1\right) \\
-2t+2\left( t-1\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}を得ますが、これは真であるため\(\left( 3\right) \)は\(\left( 2\right) \)の解です。任意の\(t\)について同様であるため、\(\left( 2\right) \)の解集合は、\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
t-1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。先の命題より、これは\(\left( 1\right) \)の解集合でもあります。

 

連立1次方程式の行列表示の解集合

連立1次方程式と同値な行列方程式の解集合について以下が成り立ちます。

命題(連立1次方程式の行列表示の解集合)
変数ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に関する行列方程式\begin{equation*}Ax=b \quad \cdots (1)
\end{equation*}が与えられているものとする。ただし、\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は係数行列であり、\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)は定数ベクトルである。\(\left( 1\right) \)に随伴する同次行列方程式は、\begin{equation}Ax=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義される。\(\left( 1\right) \)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(\left(2\right) \)の解集合を、\begin{equation*}W=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=0\right\}
\end{equation*}で表記するとき、\(\left(1\right) \)の解集合は、\begin{equation*}u+W=\left\{ u+x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ Ax=0\right\}
\end{equation*}となる。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

行列方程式\(Ax=b\)の解\(u\in \mathbb{R} ^{n}\)と行列方程式\(Ax=0\)の解集合\(W\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、上の命題より、\(Ax=b\)の解集合は、\begin{equation*}u+W
\end{equation*}になることが保証されます。後ほど示すように\(W\)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため、以上の事実は、\(Ax=b\)の解集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)のアフィン部分空間であることを意味します。以上の事実は解集合の構造について考察する際に重要な役割を果たします。詳細は場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(2本の直線の交点)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線のベクトル方程式は、その直線上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)および媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されます。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線は、\begin{equation*}L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と表現されます。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線の交点は行列方程式の解として表現されますが、それはどのような行列方程式でしょうか。定式化してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(2本の直線の交点)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、それを直線の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することができます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)に存在する直線は、\begin{equation*}L\left( a_{1},a_{2},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現されます。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つの直線の交点は行列方程式の解として表現されますが、それはどのような行列方程式でしょうか。定式化してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(2つの平面の交点)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面のベクトル方程式は、平面上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)および媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されます。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面は、\begin{equation*}P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と表現されます。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの平面の交点は行列方程式の解として表現されますが、それはどのような行列方程式でしょうか。定式化してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(2つの平面の交点)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、それを平面の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することができます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面を、\begin{equation*}P\left( a_{1},a_{2},,a_{3},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面の交点は行列方程式の解として表現されますが、それはどのような行列方程式でしょうか。定式化してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(連立1次方程式の行列表示)
変数\(x,y,z\)に関する連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
2x+y-2z=10 \\
3x+2y+2z=1 \\
5x+4y+3z=4\end{array}\right.
\end{equation*}の行列表示を明らかにするとともに、その解集合を明らかにしてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録