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行列

行列の転置(転置行列)

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転置行列

行列\begin{equation*}
A=\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\(A\)の\(ij\)成分と\(ji\)成分を入れ替えることにより得られる行列を、\begin{equation*}A^{t}=\left( a_{ji}\right) \in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)の転置(transpose)や転置行列(transposed matrix)などと呼びます。

例(転置行列)
行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、その転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。\(A\)と\(B\)はともに\(2\times 2\)行列です。
例(転置行列)
行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\in M_{2,3}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{32}\end{pmatrix}\in M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。\(A\)は\(2\times 3\)行列である一方で\(A^{t}\)は\(3\times 2\)行列です。
例(行ベクトルの転置)
行ベクトル\begin{equation*}
A=\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。\(A\)は\(n\)次元の行ベクトルである一方で\(A^{t}\)は\(n\)次元の列ベクトルです。
例(列ベクトルの転置)
列ベクトル\begin{equation*}
A=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。\(A\)は\(n\)次元の列ベクトルである一方で\(A^{t}\)は\(n\)次元の行ベクトルです。
例(実数の転置)
実数\begin{equation*}
A=\left( a\right) \in M_{1,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\left( a\right) \in M_{1,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。\(A\)と\(A^{t}\)はともに実数です。

\(m\times n\)行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、その\(ij\)成分と\(ji\)成分を入れ替えれば\(n\times m\)行列である転置行列\(A^{t}\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \)が必ず得られます。つまり、\begin{equation*}A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \Rightarrow A^{t}\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、その転置行列\(A^{t}\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \)を定める演算\begin{equation*}t:M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。このような演算を転置(transpose)と呼びます。

 

転置行列の転置行列

行列\(A\)が与えられたとき、その転置行列\(A^{t}\)をとることができますが、\(A^{t}\)もまた行列であるため、さらにその転置行列\(\left( A^{t}\right) ^{t}\)をとることができます。これはもとの行列\(A\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( A^{t}\right) ^{t}=A
\end{equation*}が成り立つということです。転置行列の転置行列はもとの行列と一致します。

命題(転置行列の転置行列)
行列の転置は、\begin{equation*}
\forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A^{t}\right) ^{t}=A
\end{equation*}を満たす。

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例(転置行列の転置行列)
以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\end{equation*}の転置は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{32}\end{pmatrix}\end{equation*}ですが、さらにその転置は、\begin{equation*}
\left( A^{t}\right) ^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( A^{t}\right) ^{t}=A
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

行列の和の転置

同じ大きさの行列\(A,B\)が与えられたとき、それらの\(A+B\)が定義可能ですが、これは行列であるため、その転置\(\left( A+B\right) ^{t}\)をとることができます。これは、もとの行列\(A,B\)の転置どうしの和\(A^{t}+B^{t}\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( A+B\right) ^{t}=A^{t}+B^{t}
\end{equation*}が成り立つということです。行列の和の転置は行列の転置の和と一致します。

命題(行列と和の転置)

行列の転置は、\begin{equation*}
\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) ^{t}=A^{t}+B^{t}
\end{equation*}を満たす。

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例(行列の和の転置)
以下の行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( A+B\right) ^{t} &=&\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{pmatrix}^{t}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{21}+b_{21} \\
a_{12}+b_{12} & a_{22}+b_{22} \\
a_{13}+b_{13} & a_{23}+b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{転置の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{23}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} \\
b_{12} & b_{22} \\
b_{13} & b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&A^{t}+B^{t}\quad \because \text{転置の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A+B\right) ^{t}=A^{t}+B^{t}
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

行列のスカラー倍の転置

行列\(A\)とスカラー\(k\)が与えられたときスカラー倍\(kA\)をとることができますが、これは行列であるため、その転置\(\left( kA\right) ^{t}\)をとることができます。これは、もとの行列\(A\)の転置\(A^{t}\)のスカラー\(k\)倍と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( kA\right) ^{t}=kA^{t}
\end{equation*}が成り立つということです。行列のスカラー倍の転置は行列の転置のスカラー倍と一致します。

命題(行列のスカラー倍の転置)
行列の転置は、\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( kA\right) ^{t}=kA^{t}
\end{equation*}を満たす。

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例(行列のスカラー倍の転置)
スカラー\(k\)と以下の行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( kA\right) ^{t} &=&\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\
ka_{21} & ka_{22} & ka_{23}\end{pmatrix}^{t}\quad \because \text{スカラー積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{21} \\
ka_{12} & ka_{22} \\
ka_{13} & ka_{32}\end{pmatrix}\quad \because \text{転置行列の定義} \\
&=&k\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{32}\end{pmatrix}\quad \because \text{スカラー積の定義} \\
&=&kA^{t}\quad \because \text{転置行列の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( kA\right) ^{t}=kA^{t}
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

行列の積の転置

行列\(A\)の列の個数が行列\(B\)の行の個数と一致する場合には\(AB\)が定義可能ですが、これは行列であるため、その転置\(\left( AB\right) ^{t}\)をとることができます。同時に、転置\(B^{t}\)の列の個数と転置\(A^{t}\)の行の個数が一致するため積\(B^{t}A^{t}\)が定義可能ですが、これは先の\(\left(AB\right) ^{t}\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( AB\right) ^{t}=B^{t}A^{t}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。行列積の転置は行列の転置の積と一致します。

命題(行列の積の転置)

行列の転置は、\begin{equation*}
\forall A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall B\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( AB\right) ^{t}=B^{t}A^{t}
\end{equation*}を満たす。

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例(行列の積の転置)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( AB\right) ^{t} &=&\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} &
a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} &
a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\end{pmatrix}^{t}\quad \because \text{行列の乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} \\
a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \\
a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列の転置の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B^{t}A^{t} &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} \\
b_{12} & b_{22} \\
b_{13} & b_{23}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列の転置の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
b_{11}a_{11}+b_{21}a_{12} & b_{11}a_{21}+b_{21}a_{22} \\
b_{12}a_{11}+b_{22}a_{12} & b_{12}a_{21}+b_{22}a_{22} \\
b_{13}a_{11}+b_{23}a_{12} & b_{13}a_{21}+b_{23}a_{22}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列の乗法の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( AB\right) ^{t}=B^{t}A^{t}
\end{equation*}が成り立ちます。これは先の命題の主張と整合的です。

 

ベクトルの内積と行列積の関係

2つの行ベクトル\begin{eqnarray*}
a &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \\
b &=&\left( b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right)
\end{eqnarray*}の内積は、\begin{equation*}
a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}
\end{equation*}と定義されます。その一方で、行ベクトル\(b\)の転置は列ベクトル\begin{equation*}b^{t}=\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}であるとともに、行列積の定義より、\begin{eqnarray*}
ab^{t} &=&\left( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{n}\end{array}\right) \\
&=&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
a\cdot b=ab^{t}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、行ベクトルどうしの内積\(a\cdot b\)と行列積\(ab^{t}\)を同一視できるということです。

ちなみに、行ベクトル\(a\)の転置は、\begin{equation*}a^{t}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、\begin{eqnarray*}
a^{t}b &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \left( b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\
a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\
a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & \cdots & a_{n}b_{n}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
a\cdot b\not=a^{t}b
\end{equation*}となります。つまり、行ベクトルどうしの内積\(a\cdot b\)と行列積\(a^{t}b\)を同一視することはできません。

 

内積を用いた転置行列の定義

行列\begin{equation*}
A=\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、その\(ij\)成分と\(ji\)成分を入れ替えることにより得られる行列\begin{equation*}A^{t}=\left( a_{ji}\right) \in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}として転置行列を定義しましたが、内積の概念を用いて転置行列を以下のように定義することもできます。

命題(内積を用いた転置行列の定義)
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in M_{n,1}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall y\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) :y\cdot \left( Ax\right) =\left( By\right) \cdot x
\end{equation*}を満たす行列\(B\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right) \)が常に1つだけ存在する。しかもそれは、\begin{equation*}B=A^{t}
\end{equation*}として定まる。

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演習問題

問題(行列の転置)
行列\(A\)が、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 4 & 4 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}と与えられているとき、転置\(A^{t}\)を求めてください。
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問題(行列の転置)
行列\(A\)が、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
3 & -1 & 4\end{pmatrix}\end{equation*}と与えられているとき、\(AA^{t}\)と\(A^{t}A\)をそれぞれ求めてください。
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問題(転置との和が定義可能であるための条件)
行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)について\(A+A^{t}\)が定義可能であるためには\(m=n\)でなければならないことを示してください。
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問題(対角行列の転置)
行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m=n \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j:\left( i\not=j\Rightarrow a_{ij}=0\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、これを対角行列(diagonal matrix)と呼びます。対角行列に関しては、\begin{equation*}
A=A^{t}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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