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行列

行列の転置(転置行列)

目次

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転置行列

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}です。行列\(A\)の\(ij\)成分\(a_{ij}\)と\(ji\)成分\(a_{ji}\)を入れ替えることで得られる行列を、\begin{equation*}A^{t}=\left( a_{ji}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}で表記し、これを\(A\)の転置(transpose)や転置行列(transposed matrix)などと呼びます。

明らかに、\begin{equation*}
A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \Rightarrow A^{t}\in M_{n,m}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、大きさが\(m\times n\)の行列の転置をとると大きさが\(n\times m\)の行列が得られます。

例(転置行列)
以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{32}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(A\)は\(2\times 3\)行列である一方で\(A^{t}\)は\(3\times 2\)行列です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\end{pmatrix}^{t} &=&\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}^{t} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(転置行列)
以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。\(A\)と\(A^{t}\)はともに次数\(3\)の正方行列です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 \\
8 & 9 & 1\end{pmatrix}^{t} &=&\begin{pmatrix}
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
4 & 7 & 1\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{t} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(転置行列)
以下の行列\begin{equation*}
A=\left( a_{11},a_{12},a_{13}\right)
\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13}\end{pmatrix}\end{equation*}です。つまり、行ベクトルの転置行列は列ベクトルです。逆に、以下の行列\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} \\
a_{12} \\
a_{13}\end{pmatrix}\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\left( a_{11},a_{12},a_{13}\right)
\end{equation*}です。つまり、列ベクトルの転置行列は行ベクトルです。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) ^{t} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) ^{t} &=&\left( 1,2,3\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(転置行列)
以下の行列\begin{equation*}
A=\left( a\right)
\end{equation*}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\left( a\right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A=A^{t}
\end{equation*}が成立します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1\right) ^{t} &=&\left( 1\right) \\
\left( 0\right) ^{t} &=&\left( 0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

転置行列の転置行列

行列\(A\)が与えられたとき、その転置行列\(A^{t}\)をとることができますが、\(A^{t}\)もまた行列であるため、さらにその転置行列\(\left( A^{t}\right) ^{t}\)をとることができます。そしてこれはもとの行列\(A\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( A^{t}\right) ^{t}=A
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

命題(転置行列の転置行列)
行列の転置は、\begin{equation*}
\forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A^{t}\right) ^{t}=A
\end{equation*}が成り立つ。

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例(転置行列の転置行列)
以下の行列\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}の転置行列は、\begin{equation*}
A^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{32}\end{pmatrix}\end{equation*}であり、さらにその転置行列は、\begin{equation}
\left( A^{t}\right) ^{t}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}
\quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\left( A^{t}\right) ^{t}=A
\end{equation*}が成り立ちますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

行列の和の転置

同じ大きさの行列\(A,B\)が与えられたとき、それらの和\(A+B\)が定義可能ですが、これは行列であるため、その転置\(\left( A+B\right) ^{t}\)をとることができます。そしてこれは、もとの行列\(A,B\)の転置どうしの和\(A^{t}+B^{t}\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( A+B\right) ^{t}=A^{t}+B^{t}
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(行列と和の転置)

行列の転置は、\begin{equation*}
\forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) ^{t}=A^{t}+B^{t}
\end{equation*}を満たす。

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例(行列の和の転置)
以下の行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( A+B\right) ^{t} &=&\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{pmatrix}^{t}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{21}+b_{21} \\
a_{12}+b_{12} & a_{22}+b_{22} \\
a_{13}+b_{13} & a_{23}+b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{転置の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{23}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} \\
b_{12} & b_{22} \\
b_{13} & b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列加法の定義} \\
&=&A^{t}+B^{t}\quad \because \text{転置の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( A+B\right) ^{t}=A^{t}+B^{t}
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

行列のスカラー倍の転置

行列\(A\)とスカラー\(k\)が与えられたときスカラー倍\(kA\)をとることができますが、これは行列であるため、その転置\(\left( kA\right) ^{t}\)をとることができます。そしてこれは、もとの行列\(A\)の転置\(A^{t}\)のスカラー\(k\)倍と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( kA\right) ^{t}=kA^{t}
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(行列のスカラー倍の転置)
行列の転置は、\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( kA\right) ^{t}=kA^{t}
\end{equation*}を満たす。

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例(行列のスカラー倍の転置)
スカラー\(k\)と以下の行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( kA\right) ^{t} &=&\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\
ka_{21} & ka_{22} & ka_{23}\end{pmatrix}^{t}\quad \because \text{スカラー積の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
ka_{11} & ka_{21} \\
ka_{12} & ka_{22} \\
ka_{13} & ka_{32}\end{pmatrix}\quad \because \text{転置行列の定義} \\
&=&k\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
a_{13} & a_{32}\end{pmatrix}\quad \because \text{スカラー積の定義} \\
&=&kA^{t}\quad \because \text{転置行列の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left( kA\right) ^{t}=kA^{t}
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

行列の積の転置

行列\(A\)の列の個数が行列\(B\)の行の個数と一致する場合には積\(AB\)が定義可能ですが、これは行列であるため、その転置\(\left( AB\right) ^{t}\)をとることができます。一方このとき、転置\(B^{t}\)の列の個数と転置\(A^{t}\)の行の個数が一致するため積\(B^{t}A^{t}\)が定義可能ですが、これは先の\(\left( AB\right) ^{t}\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( AB\right) ^{t}=B^{t}A^{t}
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

命題(行列の積の転置)

行列の転置は、\begin{equation*}
\forall A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall B\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( AB\right) ^{t}=B^{t}A^{t}
\end{equation*}を満たす。

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例(行列の積の転置)
以下の2つの行列\begin{eqnarray*}
A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\left( AB\right) ^{t} &=&\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} &
a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} &
a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\end{pmatrix}^{t}\quad \because \text{行列の乗法の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} \\
a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \\
a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}\end{pmatrix}\quad \because \text{行列の転置の定義}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
B^{t}A^{t} &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} \\
b_{12} &