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SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

1次方程式

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1次方程式

有限\(n+1\)個の実数\(a_{1},\cdots,a_{n},b\in \mathbb{R} \)と、実数を値としてとる\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b
\end{equation*}として定義される式を実数空間\(\mathbb{R} \)上の1次方程式(linear equation)と呼びます。1次方程式を構成する\(a_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)を変数\(x_{i}\)の係数(coefficient)と呼びます。\(b\)も係数とみなされますが、これを特に定数項(constant term)と呼びます。1次方程式に含まれる変数の個数が\(n\)個であることを明示したい場合、それを\(n\)元1次方程式(linear equation with \(n\) variables)と呼びます。

例(1次方程式)
\(x_{1}\)は実数を値としてとり得る変数であるとき、\begin{equation*}3x_{1}=1
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の1次方程式です。
例(1次方程式)
\(x_{1},x_{2},x_{3}\)はいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=4
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の1次方程式です。
例(1次方程式)
\(x_{1},x_{2}\)がいずれも実数を値としてとり得る変数であるとき、\begin{equation*}0x_{1}+0x_{2}=1
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の1次方程式です。定義上、1次方程式の係数は\(0\)でも問題ありません。
例(1次方程式)
\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\)はいずれも実数を値として取り得る変数であるとき、\begin{equation*}-2x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}+\pi x_{3}-x_{4}=0
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の1次方程式です。定義上、1次方程式の定数項は\(0\)でも問題ありません。

 

1次方程式の解

\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられたとき、その変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に対して以下のような具体的な実数\begin{equation}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =\left( k_{1},\cdots ,k_{n}\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}をそれぞれ代入すると以下の命題\begin{equation*}
a_{1}k_{1}+\cdots +a_{n}k_{n}=b
\end{equation*}が得られますが、この命題が真である場合、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の(solution)であるとか、\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)を満たす(satisfy)などと言います。

例(1次方程式)
変数\(x_{1}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation}3x_{1}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}の変数に以下の値\begin{equation}
x_{1}=\frac{1}{3} \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると、\begin{equation*}
3\cdot \frac{1}{3}=1
\end{equation*}が得られますが、これは真です。したがって\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解です。一方、以下の値\begin{equation}x_{1}=1 \quad \cdots (3)
\end{equation}を代入すると、\begin{equation*}
3\cdot 1=1
\end{equation*}が得られますが、これは偽です。したがって\(\left( 3\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。
例(1次方程式の解)
変数\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation}x_{1}+2x_{2}-4x_{3}+x_{4}=3 \quad \cdots (1)
\end{equation}の変数に以下の値の組\begin{equation}
\left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) =\left( 3,2,1,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を代入すると、\begin{equation*}
3+2\cdot 2-4\cdot 1+0=3
\end{equation*}が得られますが、これは真です。したがって\(\left( 2\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解です。一方、以下の値の組\begin{equation}\left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) =\left( 1,2,3,4\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を代入すると、\begin{equation*}
1+2\cdot 2-4\cdot 3+4=3
\end{equation*}が得られますが、これは偽です。したがって\(\left( 3\right) \)は\(\left( 1\right) \)の解ではありません。

1次方程式は解を持つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(1次方程式の解)
変数\(x_{1},x_{2}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}0x_{1}+0x_{2}=1
\end{equation*}について考えます。変数\(x_{1},x_{2}\)にどのような実数を代入しても左辺は\(0\)になり、これは右辺\(1\)と一致しません。したがってこの1次方程式は解を持ちません。

1次方程式が解を持つ場合、それは1つだけであるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(1次方程式の解)
変数\(x_{1},x_{2}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}x_{1}-2x_{2}=0
\end{equation*}について考えます。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left( 1,\frac{1}{2}\right) \\
\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}はともにこの1次方程式の解です。

 

1次方程式の解集合・一般解・特殊解

1次方程式には解が存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、与えられた1次方程式の解からなる集合を解集合(solution set)と呼びます。

例(1次方程式の解集合)
変数\(x_{1}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}3x_{1}=1
\end{equation*}の解は\(x_{1}=\frac{1}{3}\)だけであるため、その解集合は、\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{3}\right\}
\end{equation*}です。

例(1次方程式の解集合)
変数\(x_{1},x_{2}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}0x_{1}+0x_{2}=1
\end{equation*}は解を持たないため、その解集合は、\begin{equation*}
\phi
\end{equation*}です。

例(1次方程式の解集合)
変数\(x_{1},x_{2}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}2x_{1}+x_{2}=1
\end{equation*}について考えます。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left( 1,-1\right) \\
\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2},0\right) \\
\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\left( 2,-3\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などはいずれも解です。実際、この1次方程式は無数の解を持ちますが、それらを総体的に表現するためにはどうすればよいでしょうか。変数\(x_{1}\)に代入する値\(k_{1}\)を任意に選んだ上で、変数\(y_{2}\)に代入する値を\(1-2k_{1}\)と定めます。つまり、先の1次方程式の変数に以下の値の組\begin{equation}\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( k_{1},1-2k_{1}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を代入するということです。ただし\(k_{1}\)は任意の実数です。すると、\begin{equation*}2k_{1}+\left( 1-2k_{1}\right) =1
\end{equation*}が得られますが、これは真です。したがって先の1次方程式の解集合は、\begin{equation}
\left\{ \left( k_{1},1-2k_{1}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ k_{1}\in \mathbb{R} \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。

上の議論において\(k_{1}\)は任意の実数であるため、\(\left( 1\right) \)は与えられた1次方程式の解を一般的な形で表現しています。つまり、\(\left( 1\right) \)の中の\(k_{1}\)に具体的な実数を代入して得られる実数の組は必ず与えられた1次方程式の解になります。そこで、\(\left( 1\right) \)を具体的な解とは区別して一般解(general solution)と呼びます。一般解\(\left( 1\right) \)が判明すれば解集合\(\left( 2\right) \)が明らかになるため、一般に、1次方程式の一般解と解集合は実質的に等しい概念です。一般解との対比で、一般解の\(k_{1}\)に具体的な実数を代入することで得られる解を特殊解(particular solution)と呼びます。特殊解は解集合の要素です。1次方程式が一意的な解を持つ場合、一般解と特殊解を同一視します。

例(1次方程式の解集合)
変数\(x_{1},x_{2},x_{3}\)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式\begin{equation*}3x_{1}-3x_{2}+x_{3}=6
\end{equation*}について考えます。変数\(x_{1},x_{2}\)に代入する値\(k_{1},k_{2}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、変数\(x_{3}\)に代入する値を\(6-3k_{1}+3k_{2}\)と定めます。つまり、上の1次方程式の変数に以下の値の組\begin{equation}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( k_{1},k_{2},6-3k_{1}+3k_{2}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を代入するということです。ただし\(k_{1},k_{2}\)はいずれも任意の実数です。すると、\begin{equation*}3k_{1}-3k_{2}+\left( 6-3k_{1}+3k_{2}\right) =6
\end{equation*}が得られますが、これは真です。したがって\(\left( 1\right) \)は先の1次方程式一般解であり、その解集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( k_{1},k_{2},6-3k_{1}+3k_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ k_{1}\in \mathbb{R} ,\ k_{2}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。\(k_{1}\)と\(k_{2}\)は任意の実数であるため、例えば、\begin{eqnarray*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) &=&\left( 1,1,6\right) \\
\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) &=&\left( 1,2,-3\right)
\end{eqnarray*}などはいずれも先の1次方程式の特殊解です。

 

演習問題

問題(1次方程式)
変数\(x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式が、\begin{equation*}2x_{1}-4x_{2}+x_{3}=8
\end{equation*}として与えられているものとします。解集合を求めてください。

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問題(1次方程式)
変数\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式が、\begin{equation*}x_{1}-0x_{2}=0
\end{equation*}として与えられているものとします。解集合を求めてください。

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問題(1次方程式)
変数\(x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \)に関する\(\mathbb{R} \)上の1次方程式が、\begin{equation*}0x_{1}-0x_{2}+0x_{3}=1
\end{equation*}として与えられているものとします。解集合を求めてください。

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次回は1次方程式の解法について解説します。

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命題論理