確認テスト I（連立1次方程式）

変数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)に関する同次連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x+2y+z=0 \\
-x-y+z=0 \\
3x+4y+kz=0\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。\(k\in \mathbb{R} \)です。この同次連立1次方程式が自明解とは異なる解を持つために\(k\)が満たすべき条件を特定してください。

行列の知識を用いて以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線\(L_{1},L_{2}\)の方程式が、\begin{eqnarray*}L_{1} &:&x+y=2 \\L_{2} &:&x+y=3
   \end{eqnarray*}として与えられている場合の両者の位置関係。
2. 平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線\(L_{1},L_{2}\)の方程式が、\begin{eqnarray*}L_{1} &:&x-y=1 \\L_{2} &:&2x+y=4
   \end{eqnarray*}として与えられている場合の両者の位置関係。
3. 平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線\(L_{1},L_{2}\)の方程式が、\begin{eqnarray*}L_{1} &:&x+2y=3 \\L_{2} &:&2x+4y=6
   \end{eqnarray*}として与えられている場合の両者の位置関係。

行列の知識を用いて以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面\(P_{1},P_{2}\)の方程式が、\begin{eqnarray*}P_{1} &:&x+y+z=1 \\P_{2} &:&2x+2y+2z=2
   \end{eqnarray*}として与えられている場合の両者の位置関係。
2. 空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面\(P_{1},P_{2}\)の方程式が、\begin{eqnarray*}P_{1} &:&x+y+z=1 \\P_{2} &:&x+y+z=2
   \end{eqnarray*}として与えられている場合の両者の位置関係。
3. 空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2つの平面\(P_{1},P_{2}\)の方程式が、\begin{eqnarray*}P_{1} &:&x+y=1 \\P_{2} &:&z=2
   \end{eqnarray*}として与えられている場合の両者の位置関係。

変数\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb{R} \)に関する以下の連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10 \\
2x_{1}-x_{2}+x_{3}+2x_{4}=5 \\
3x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=17 \\
x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=4\end{array}\right.
\end{equation*}の解の個数を求めた上で、解が存在する場合には具体的に特定してください。

変数\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\in \mathbb{R} \)に関する以下の連立1次方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}-x_{5}=1 \\
x_{2}+2x_{3}+x_{4}+3x_{5}=1 \\
x_{1}-x_{3}+x_{4}+x_{5}=0\end{array}\right.
\end{equation*}の解の個数を求めた上で、解が存在する場合には具体的に特定してください。