部分空間どうしの直和
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられているものとします。つまり、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算がベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in V:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in V,\ \exists -x\in V:x+\left( -x\right)
=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in V:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in V:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in V:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たすということです。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)の非空な部分集合\(X\)がもとのベクトル空間\(V\)の部分空間であることとは、ベクトルがとり得る範囲を\(V\)から\(X\)へと制限することで得られる、\begin{equation*}\left( K,X\right)
\end{equation*}がベクトル空間であることを意味します。ただし、\(X\)が\(V\)の部分空間であることと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは必要十分です。つまり、ベクトル空間\(V\)の部分空間はベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)について閉じている非空な\(V\)の部分集合です。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)の部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)の和は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ x_{1}+x_{2}\in V\ |\ x_{1}\in X_{1}\wedge x_{2}\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されます。部分空間の定義より\(X_{1},X_{2}\)はともにゼロベクトル\(0\)を要素として持つため、\begin{equation*}0\in X_{1}\cap X_{2}
\end{equation*}が成り立ちます。特に、ゼロベクトル\(0\)だけを共通の要素として持つ部分空間\(X_{1},X_{2}\)に関しては、すなわち、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つ場合には、それらの和を、\begin{equation*}
X_{1}+X_{2}
\end{equation*}と表記する代わりに、\begin{equation*}
X_{1}\oplus X_{2}
\end{equation*}と表記し、これを\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の直和（direct sum）と呼びます。
部分空間どうしの和は部分空間ですが、直和は特別な部分空間であるため、部分空間どうしの直和もまた部分空間です。
\end{equation*}を満たす部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶ。これらの直和\begin{equation*}X_{1}\oplus X_{2}
\end{equation*}もまた\(V\)の部分空間である。
X_{2} &=&\left\{ \left( 0,0,x_{3}\right) \ |\ x_{3}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(X_{1}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(x_{1}x_{2}\)平面であり、\(X_{2}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(x_{3}\)軸であるため、これらは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。これらの和は、\begin{eqnarray*}X_{1}+X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\
x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}ですが、全空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間であるため、それと一致する\(X_{1}+X_{2}\)もまた\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。さらに、\(x_{1}x_{2}\)平面である\(X_{1}\)と\(x_{3}\)軸である\(X_{2}\)の交点からなる集合は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{equation*}であるため、直和の定義より、\begin{eqnarray*}
X_{1}\oplus X_{2} &=&X_{1}+X_{2} \\
&=&\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}を得ます。
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるため、これらの和\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}もまた\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。さらに、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\right\}
\end{equation*}であるため、直和の定義より、\begin{eqnarray*}
X_{1}\oplus X_{2} &=&X_{1}+X_{2} \\
&=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}を得ます。
ベクトル空間どうしの和は直和であるとは限りません。以下の例より明らかです。
X_{2} &=&\left\{ \left( 0,x_{2},x_{3}\right) \ |\ x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(X_{1}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(x_{1}x_{2}\)平面であり、\(X_{2}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(x_{2}x_{3}\)平面であるため、これらは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。これらの和は、\begin{eqnarray*}X_{1}+X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\
x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}ですが、全空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間であるため、それと一致する\(X_{1}+X_{2}\)もまた\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。\(x_{1}x_{2}\)平面である\(X_{1}\)と\(x_{2}x_{3}\)平面である\(X_{2}\)の交点からなる集合は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \left( 0,x_{2},0\right) \ |\ x_{2}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(x_{2}\)軸です。したがって、例えば、\begin{equation*}\left( 0,1,0\right) \in X_{1}\cap X_{2}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(X_{1}+X_{2}\)は直和ではありません。
有限個の部分空間どうしの直和
直和は3個以上の部分空間に対しても定義されます。具体的には以下の通りです。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)の有限\(n\)個の部分空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)が与えられたとき、これらの和は、\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}=\left\{ x_{1}+\cdots +x_{n}\in V\ |\ x_{1}\in
X_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n}\in X_{n}\right\}
\end{equation*}と定義されます。部分空間の定義より\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)はいずれもゼロベクトル\(0\)を要素として持つため、すなわち、\begin{equation}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :0\in X_{i} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
0 &=&0+\cdots +0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義} \\
&\in &X_{1}+\cdots +X_{n}\quad \because \left( 1\right) \text{および}X_{1}+\cdots +X_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトル\(0\)は部分空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の要素であるベクトル\(0,\cdots ,0\)のベクトル和として表現できます。
逆に、ゼロベクトル\(0\in V\)を部分空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の要素であるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)のベクトル和として表現した場合に、個々のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)がいずれもゼロベクトルであることが確定する場合には、すなわち、任意の\(x_{1}\in X_{1},\cdots ,x_{n}\in X_{n}\)について、\begin{equation*}0=x_{1}+\cdots +x_{n}\Rightarrow x_{1}=\cdots =x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、部分空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の和を、\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}
\end{equation*}と表記する代わりに、\begin{equation*}
X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}
\end{equation*}と表記し、これを\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)の直和（direct sum）と呼びます。
有限個の部分空間どうしの和は部分空間ですが、直和は特別な部分空間であるため、有限個の部分空間どうしの直和もまた部分空間です。
\end{equation*}を満たす有限\(n\)個の部分空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)を任意に選ぶ。これらの直和\begin{equation*}X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}
\end{equation*}もまた\(V\)の部分空間である。
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、任意の\(x_{1}\in X_{1}\)および\(x_{2}\in X_{2}\)について、\begin{equation*}0=x_{1}+x_{2}\Rightarrow x_{1}=x_{2}=0
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であるため（演習問題）、有限\(n\)個の部分空間の直和の定義は、2個の部分空間の直和の定義の一般化です。
和が直和であるための必要十分条件
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)の部分空間\(X_{1},X_{2}\)を任意に選びます。これらの和\(X_{1}+X_{2}\)が与えられたとき、これが直和であること、すなわち、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であることを何らかの形で判定できるのでしょうか。以下の命題がこの問いに対する答えを与えます。
\end{equation*}を満たすベクトルの組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X_{1}\times X_{2}\)がそれぞれ一意的に定まることと、\begin{equation*}X_{1}\oplus X_{2}=X_{1}+X_{2}
\end{equation*}が成り立つことは必要十分条件である。
X_{2} &=&\left\{ \left( 0,0,x_{3}\right) \ |\ x_{3}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に示したように、\begin{equation*}
X_{1}+X_{2}=\mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるとともに、これは直和でもあります。したがって、\begin{equation*}
X_{1}\oplus X_{2}=\mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}です。同じことを先の命題から示します。ベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in X_{1}+X_{2}\)すなわち\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( x_{1},x_{2},0\right) +\left(
0,0,x_{3}\right)
\end{equation*}を満たす\(\left( x_{1},x_{2},0\right) \in X_{1}\)と\(\left( 0,0,x_{3}\right) \in X_{2}\)からなる組がそれぞれ一意的に定まるため、先の命題より\(X_{1}+X_{2}\)は直和です。
先の命題は部分空間どうしの和が直和であるための必要十分条件を与えているため、和が直和ではないことを判定する上でも有用です。つまり、部分空間どうしの和の要素である少なくとも1つのベクトル\(x\in X_{1}+X_{2}\)に対して、\(x\)が\(X_{1}\)の要素と\(X_{2}\)の要素のベクトル和として一意的に表されない場合、\(X_{1}+X_{2}\)は直和ではありません。
X_{2} &=&\left\{ \left( 0,x_{2},x_{3}\right) \ |\ x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に示したように、\begin{equation*}
X_{1}+X_{2}=\mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるとともに、これは直和ではありません。同じことを先の命題から示します。以下のベクトル\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \in X_{1}+X_{2}
\end{equation*}に注目した場合、\begin{eqnarray*}
\exists \left( 0,1,0\right) &\in &X_{1},\ \exists \left( 0,-1,0\right) \in
X_{2}:\left( 0,0,0\right) =\left( 0,1,0\right) +\left( 0,-1,0\right) \\
\exists \left( 0,0,0\right) &\in &X_{1},\ \exists \left( 0,0,0\right) \in
X_{2}:\left( 0,0,0\right) =\left( 0,0,0\right) +\left( 0,0,0\right)
\end{eqnarray*}がともに成立するため、先の命題より\(X_{1}+X_{2}\)は直和ではありません。
先の命題の主張は有限個の部分空間の直和についても成り立ちます。
\end{equation*}を満たすベクトルの組\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X_{1}\times \cdots \times X_{n}\)がそれぞれ一意的に定まることと、\begin{equation*}X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}
\end{equation*}が成り立つことは必要十分条件である。
部分空間どうしの直和としてのベクトル空間
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)について、\begin{equation*}V=X_{1}\oplus X_{2}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、すなわち、もとのベクトル空間\(V\)を部分空間\(X_{1},X_{2}\)の直和として表すことができる場合には、\(V\)は\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の直和（direct sum of \(X_{1}\) and \(X_{2}\)）であると言います。直和の定義より、これは以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ V=X_{1}+X_{2} \\
&&\left( b\right) \ X_{1}\cap X_{2}=\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。つまり、ベクトル空間\(V\)が部分空間\(X_{1},X_{2}\)の直和であることとは、ゼロベクトル以外に共通のベクトルを持たない\(X_{1},X_{2}\)の和として表現できることを意味します。
直和に関する先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}を満たす部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶ。ベクトル\(x\in V\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x=x_{1}+x_{2}
\end{equation*}を満たすベクトルの組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in X_{1}\times X_{2}\)がそれぞれ一意的に定まることと、\begin{equation*}V=X_{1}\oplus X_{2}
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},0\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分空間であるとともに、\begin{eqnarray*}X_{1}+X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}です。ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( 0,x_{2}\right) +\left( x_{1},0\right)
\end{equation*}を満たす\(\left( 0,x_{2}\right) \in X_{1}\)と\(\left( x_{1},0\right) \in X_{2}\)の組がそれぞれ一意的に定まるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}X_{1}\oplus X_{2} &=&X_{1}+X_{2} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(x_{2}\)軸\(X_{1}\)と\(x_{1}\)軸\(X_{2}\)の直和として表すことができます。
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},0\right) \ |\ x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間であるとともに、\begin{eqnarray*}X_{1}+X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\
x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}です。ベクトル\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 0,0,x_{3}\right) +\left(
x_{1},x_{2},0\right)
\end{equation*}を満たす\(\left( 0,0,x_{3}\right) \in X_{1}\)と\(\left( x_{1},x_{2},0\right) \in X_{2}\)の組がそれぞれ一意的に定まるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}X_{1}\oplus X_{2} &=&X_{1}+X_{2} \\
&=&\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は\(x_{3}\)軸\(X_{1}\)と\(x_{1}x_{2}\)平面\(X_{2}\)の直和として表すことができます。
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},0,x_{3}\right) \ |\ x_{1},x_{3}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間であるとともに、\begin{eqnarray*}X_{1}+X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\
x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}です。以下のベクトル\begin{equation*}
\left( 3,7,5\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\exists \left( 0,7,4\right) &\in &X_{1},\ \exists \left( 3,0,1\right) \in
X_{2}:\left( 3,7,5\right) =\left( 0,7,4\right) +\left( 3,0,1\right) \\
\exists \left( 0,7,9\right) &\in &X_{1},\ \exists \left( 3,0,-4\right) \in
X_{2}:\left( 3,7,5\right) =\left( 0,7,9\right) +\left( 3,0,-4\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\(\mathbb{R} ^{3}\)は\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の直和ではありません。つまり、3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)は\(x_{2}x_{3}\)平面\(X_{1}\)と\(x_{1}x_{3}\)平面\(X_{2}\)の直和として表すことはできません。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことと、任意の\(x_{1}\in X_{1}\)および\(x_{2}\in X_{2}\)について、\begin{equation*}0=x_{1}+x_{2}\Rightarrow x_{1}=x_{2}=0
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることを示してください。
X_{2} &=&\left\{ \left( 0,0,z\right) \ |\ z\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{3} &=&\left\{ \left( 0,y,y\right) \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはいずれも\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間であることを前提とした上で、これらの和\begin{equation*}X_{1}+X_{2}+X_{3}
\end{equation*}を求めてください。その上で、これが直和ではないことを示してください。
X_{2} &=&\left\{ \left( 0,x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2},x_{3}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=X_{1}\oplus X_{2}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}-x_{2}-x_{3}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=X_{1}\oplus X_{2}
\end{equation*}が成り立たないことを示してください。
\end{equation*}の部分集合\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,x,y,y\right) \in K^{4}\ |\ x,y\in K\right\}
\end{equation*}は\(K^{4}\)の部分空間であることを踏まえた上で、以下の関係\begin{equation*}K^{4}=X \oplus Y
\end{equation*}を満たす\(K^{4}\)の部分空間\(Y\)を特定してください。
\end{equation*}の部分集合\begin{equation*}
X=\left\{ \left( a,b,a+b,a-b,2a\right) \in K^{5}\ |\ a,b\in K\right\}
\end{equation*}は\(K^{5}\)の部分空間であることを踏まえた上で、以下の関係\begin{equation*}K^{5}=X\oplus Y
\end{equation*}を満たす\(K^{5}\)の部分空間\(Y\)を特定してください。
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。議論してください。
\end{equation*}はベクトル空間です。関数\(f\in \mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\)が偶関数であることは、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味し、関数\(f\in \mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\)が奇関数であることは、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。偶関数からなる集合を、\begin{equation*}
E=\left\{ f\in \mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\ |\ f\text{は偶関数}\right\}
\end{equation*}で表記し、奇関数からなる集合を、\begin{equation*}
O=\left\{ f\in \mathbb{R} ^{\mathbb{R} }\ |\ f\text{は奇関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{\mathbb{R} }=E\oplus O
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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