体の定義と具体例

加法の定義

集合\(K\)上に定義された二項演算
\begin{equation*}
+:K\times K\rightarrow K
\end{equation*}が後述する性質を満たすことを公理として認める場合、この演算\(+\)を加法（addition）と呼びます。また、加法\(+\)が順序対\(\left( a,b\right) \in K\times K\)に対して定める\(K\)の要素を、\begin{equation*}a+b
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)と\(b \)の和（sum）と呼びます。順序対\(\left( a,b\right) \)に加法\(+\)を作用させることを\(a\)と\(b\)を足す（add）と言います。

集合\(K\)上に加法\(+\)が定義されていることとは、\begin{equation*}\forall a,b\in K:a+b\in K
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(K\)の任意の2つの要素の和が\(K\)の要素になることが保証されているということです。このことを指して\(K\)は加法\(+\)について閉じている（closed under addition）と言います。

加法\(+\)が満たすべき1つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{1}\right) \ \forall a,b,c\in K:\left( a+b\right) +c=a+\left(
b+c\right)
\end{equation*}であり、これを加法に関する結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( a+b\right) +c\)は、はじめに\(a\)と\(b\)を足した上で、得られた結果\(a+b\)と\(c\)をさらに足して得られる結果です。右辺の\(a+\left( b+c\right) \)は、はじめに\(b\)と\(c\)を足した上で、\(a\)と先の結果を足して得られる結果です。結合律はこれらの結果が等しいことを保証します。つまり、3つの要素\(a,b,c\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

加法\(+\)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{2}\right) \ \exists 0\in K,\ \forall a\in K:a+0=a
\end{equation*}です。これは、\(K\)の任意の要素\(a\)に足してもその結果が\(a\)のままであるような\(K\)の要素\(0\)の存在を保証しています。この要素\(0\)を加法単位元（identity element of addition）と呼びます。

加法\(+\)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{3}\right) \ \forall a\in K,\ \exists -a\in K:a+\left( -a\right) =0
\end{equation*}です。これは、\(K\)のそれぞれの要素\(a\)に対して、それに足すと結果が加法単位元\(0\)になるような\(K\)の要素\(-a\)の存在を保証しています。この要素\(-a\)を\(a\)の加法逆元（inverse element of addition）と呼びます。

加法\(+\)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{4}\right) \ \forall a,b\in K:a+b=b+a
\end{equation*}であり、これを加法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、\(K\)の2つの要素\(a,b\)に関する順序対\(\left( a,b\right),\left( b,a\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( a,b\right) \)に\(+\)を適用して得られる\(a+b\)と\(\left( b,a\right) \)に\(+\)を適用して得られる\(b+a\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しいことを保証します。

乗法の定義

集合\(K\)上に定義された二項演算\begin{equation*}\cdot :K\times K\rightarrow K
\end{equation*}が後述する性質を満たすことを公理として認める場合、この演算\(+\)を乗法（multiplication）と呼びます。また、乗法\(\cdot \)が順序対\(\left(a,b\right) \in K\times K\)に対して定める\(K\)の要素を、\begin{equation*}a\cdot b
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)と\(b \)の積（product）と呼びます。多くの場合、積を表す演算子\(\cdot \)を省略します。つまり、\(a\)と\(b\)の積を、\begin{equation*}ab
\end{equation*}で表記するということです。順序対\(\left( a,b\right) \)に乗法\(\cdot \)を作用させることを\(a\)と\(b\)を掛ける（multiply）と言います。

集合\(K\)上に乗法\(\cdot \)が定義されていることとは、\begin{equation*}\forall a,b\in K:ab\in K
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(K\)の任意の2つの要素の積が\(K\)の要素になることが保証されているということです。このことを指して\(K\)は乗法\(\cdot \)について閉じている（closed under multiplication）と言います。

乗法\(\cdot \)が満たすべき1つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{5}\right) \ \forall a,b,c\in K:\left( ab\right) c=a\left(
bc\right)
\end{equation*}であり、これを乗法に関する結合律（associative law）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は乗法\(\cdot \)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( ab\right) c\)は、はじめに\(a\)と\(b\)を掛けた上で、得られた結果\(ab\)と\(c\)をさらに掛けて得られる結果です。右辺の\(a\left( bc\right) \)は、はじめに\(b\)と\(c\)を掛けた上で、\(a\)と先の結果を掛けて得られる結果です。結合律はこれらの結果が等しいことを保証します。つまり、3つの要素\(a,b,c\)に対して乗法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に掛けても得られる結果は変わらないということです。

乗法\(\cdot \)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{6}\right) \ \exists 1\in K\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall
a\in K:a1=a
\end{equation*}です。これは、加法単位元\(0\)とは異なる\(K\)の任意の要素\(a\)に掛けてもその結果が\(a\)のままであるような\(K\)の要素\(1\)の存在を保証しています。この要素\(1\)を乗法単位元（identity element of multiplication）と呼びます。

乗法\(\cdot \)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{7}\right) \ \forall a\in K\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists
a^{-1}\in K:aa^{-1}=1
\end{equation*}です。これは、加法単位元\(0\)とは異なる\(K\)のそれぞれの要素\(a\)に対して、それに掛けると結果が乗法単位元\(1\)になるような\(K\)の要素\(a^{-1}\)の存在を保証しています。この要素\(a^{-1}\)を\(a\)の乗法逆元（inverse element of multiplication）と呼びます。

乗法\(\cdot \)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}\left( F_{8}\right) \ \forall a,b\in K:ab=ba
\end{equation*}であり、これを乗法に関する交換律（commutative law）と呼びます。本来、\(K\)の2つの要素\(a,b\)に関する順序対\(\left( a,b\right),\left( b,a\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( a,b\right) \)に\(\cdot \)を適用して得られる\(ab\)と\(\left( b,a\right) \)に\(\cdot \)を適用して得られる\(ba\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しいことを保証します。

加法と乗法の関係

加法\(+\)と乗法\(\cdot \)の間に以下の関係\begin{equation*}\left( F_{9}\right) \ \forall a,b,c\in K:\left( a+b\right) c=ac+bc
\end{equation*}が成り立つことを公理として認める場合、これを加法と乗法に関する分配律（distributive law）と呼びます。つまり、\(K\)の要素\(a,b,c\)を任意に選んだとき、\(a+b\)と\(c\)の積が\(ac\)と\(bc\)の和と一致するものと定めるということです。

体の定義

集合\(K\)上に加法と乗法\begin{eqnarray*}+ &:&K\times K\rightarrow K \\
\cdot &:&K\times K\rightarrow K
\end{eqnarray*}が定義されているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\forall a,b &\in &K:a+b\in K \\
\forall a,b &\in &K:ab\in K
\end{eqnarray*}が成り立つということです。加えて、これらの演算がこれまで提示した公理\begin{eqnarray*}
&&\left( F_{1}\right) \ \forall a,b,c\in K:\left( a+b\right) +c=a+\left(
b+c\right) \\
&&\left( F_{2}\right) \ \exists 0\in K,\ \forall a\in K:a+0=a \\
&&\left( F_{3}\right) \ \forall a\in K,\ \exists -a\in K:a+\left( -a\right)
=0 \\
&&\left( F_{4}\right) \ \forall a,b\in K:a+b=b+a \\
&&\left( F_{5}\right) \ \forall a,b,c\in K:\left( ab\right) c=a\left(
bc\right) \\
&&\left( F_{6}\right) \ \exists 1\in K\backslash \left\{ 0\right\} ,\
\forall a\in K:a1=a \\
&&\left( F_{7}\right) \ \forall a\in K\backslash \left\{ 0\right\} ,\
\exists a^{-1}\in K:aa^{-1}=1 \\
&&\left( F_{8}\right) \ \forall a,b\in K:ab=ba \\
&&\left( F_{9}\right) \ \forall a,b,c\in K:\left( a+b\right) c=ac+bc
\end{eqnarray*}を満たすことを認める場合、\(K\)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)に関して体（field）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\left( K,+,\cdot \right)
\end{equation*}で表記します。体について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}
K
\end{equation*}と表記できます。

体を規定する\(\left( F_{1}\right) \)から\(\left( F_{9}\right) \)までの公理を体の公理系（field axioms）と呼びます。公理によって体という概念を定義した以上、体に関する主張はすべて体の公理系から導く必要があります。

体の具体例：実数体

公理主義の立場から実数について議論する際には、多くの場合、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)は体であるものと仮定して議論を行います。つまり、集合\(\mathbb{R} \)上に加法と乗法\begin{eqnarray*}+ &:&\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
\cdot &:&\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が定義されており、つまり、\begin{eqnarray*}
\forall x,y &\in &\mathbb{R} :x+y\in \mathbb{R} \\
\forall x,y &\in &\mathbb{R} :xy\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つとともに、これらが体の公理系\begin{eqnarray*}
&&\left( F_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( F_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( F_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( F_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( F_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( xy\right) z=x\left( yz\right) \\
&&\left( F_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in K:x1=x \\
&&\left( F_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in K:xx^{-1}=1 \\
&&\left( F_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :xy=xy \\
&&\left( F_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) z=xz+yz
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として認めた上で議論を行うということです。このような体\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,+,\cdot \right)
\end{equation*}を特に実数体（real number field）と呼びます。実数体について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} \end{equation*}と表記できます。

実数体\(\mathbb{R} \)において、加法単位元\(0\)をゼロと呼び、実数\(x\)の乗法単位元\(-x\)を\(x\)の負数と呼び、乗法単位元\(1\)をイチと呼び、非ゼロの実数\(x\)の乗法逆元\(x^{-1}\)を\(x\)の逆数と呼びます。

体の具体例：有理数体

すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)上に通常の加法\(+\)と乗法\(\cdot \)を定義したとき、\begin{eqnarray*}\forall x,y &\in &\mathbb{Q} :x+y\in \mathbb{Q} \\
\forall x,y &\in &\mathbb{Q} : xy \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{Q} \)は加法\(+\)と乗法\(\cdot \)について閉じています。加えて、\begin{eqnarray*}&&\left( F_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( F_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{Q} ,\ \forall x\in \mathbb{Q} :x+0=x \\
&&\left( F_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} ,\ \exists -x\in \mathbb{Q} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( F_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :x+y=y+x \\
&&\left( F_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( xy\right) z=x\left( yz\right) \\
&&\left( F_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in K:x1=x \\
&&\left( F_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in K:xx^{-1}=1 \\
&&\left( F_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{Q} :xy=xy \\
&&\left( F_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{Q} :\left( x+y\right) z=xz+yz
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、加法単位元\(0\)はゼロであり、乗法単位元\(-x\)は有理数\(x\)の負数に相当する実数であり、乗法単位元\(1\)はイチであり、乗法逆元\(x^{-1}\)は有理数\(x\)の逆数に相当する実数です。したがって、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ,+,\cdot \right)
\end{equation*}は体です。このような体を特に有理数体（rational number field）と呼びます。有理数体について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{Q} \end{equation*}と表記できます。

体の具体例：複素数体

すべての複素数からなる集合\(\mathbb{C} \)について考えます。複素数\(x\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、これらは何らかの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=a+bi
\end{equation*}と表すことができます。ただし、\(i\)は虚数単位です。\(a\)を\(x\)の実部（real part）と呼び、\(b\)を\(x\)の虚部（imaginary part）と呼びます。以上を踏まえると、複素数を実部と虚部に相当する2つの実数を成分とする順序対\begin{equation*}x=\left( a,b\right)
\end{equation*}と同一視できます。複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)を任意に選んだとき、これらは何らかの実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}x &=&\left( a,b\right) \\
y &=&\left( c,d\right)
\end{eqnarray*}と表すことができます。このとき、\(\mathbb{C} \)上の加法\(+\)と乗法\(\cdot \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x+y &=&\left( a+b,c+d\right) \\
xy &=&\left( ac-bd,ad+bc\right)
\end{eqnarray*}と定義します。ただし、右辺中の\(+,-,\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の加法と減法と乗法です。このとき、\begin{equation*}\left( \mathbb{C} ,+,\cdot \right)
\end{equation*}は体となります。このような体を特に複素数体（complex number field）と呼びます。複素数体について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{C} \end{equation*}と表記できます。

演習問題