ベクトルの線型結合
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)上にはベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}が定義されており、これらの演算について閉じています。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in V:x+y\in V \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in V:ax\in V
\end{eqnarray*}が成り立つということです。では、\(V\)上のベクトルに対してこれらの演算を組み合せる形で適用するとどうなるでしょうか。
有限\(m\in \mathbb{N} \)個ずつのスカラーとベクトル\begin{eqnarray}a_{1},\cdots ,a_{m} &\in &K \quad \cdots (1) \\
x_{1},\cdots ,x_{m} &\in &V \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}をそれぞれ任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\begin{gather*}a_{1}x_{1}\in V \\
\vdots \\
a_{m}x_{m}\in V
\end{gather*}がすべて成り立つため、これらと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。つまり、有限個のスカラーとベクトル\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、そこから1つのベクトル\(\left( 3\right) \)が常に定義可能であるということです。そこで、\(\left( 3\right) \)として定義されるベクトルをベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合（linear combination）や一次結合などと呼びます。
ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)の線型結合\(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)の選び方に依存します。同じベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)を対象としていても、その線型結合は一意的ではないということです。
ベクトルを線型結合する際には、結合するベクトルの個数\(m\)は有限である限りにおいて任意です。例えば、1個のベクトル\(x_{1}\in V\)の線型結合は何らかのスカラー\(a_{1}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}\in V
\end{equation*}と表され、2個のベクトル\(x_{1},x_{2}\in V\)の線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},a_{2}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}\in V
\end{equation*}と表され、3個のベクトル\(x_{1},x_{2},x_{3}\in V\)の線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},a_{2},a_{3}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}\in V
\end{equation*}と表されます。4個以上のベクトルについても同様です。
ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)を任意に選んだとき、スカラー\(0,\cdots ,0\in K\)のもとでの線型結合は、\begin{equation*}0x_{1}+\cdots +0x_{m}=0
\end{equation*}となり、その結果はゼロベクトルになります。つまり、ゼロベクトルは任意のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合として表現可能です。
\end{equation*}の線型結合は、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表現されるベクトルです。以上の事実は、ベクトル\(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\)がベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。したがって、この直線\(L\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in L\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、原点を通過する直線上に存在するそれぞれの点の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、その直線の方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\)の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。したがって、この平面\(P\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in P\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、原点を通過する平面上に存在するそれぞれの点の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、その平面の方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。
\end{equation*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表現される行列です。以上の事実は、行列\(k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\)が行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(i\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)番目の行は\(n\)次元の行ベクトル\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}であり、これは行ベクトル空間\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素であるため、行どうしの線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)の行どうしの線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left( A,m\right)
\end{equation*}と表現される\(n\)次元の行ベクトルです。
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)番目の列は\(m\)次元の列ベクトル\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、これは列ベクトル空間\(M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素であるため、列どうしの線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)の列どうしの線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right)
\end{equation*}と表現される\(m\)次元の列ベクトルです。
\end{equation*}上に存在する有限\(m\)個の点列\begin{equation*}\left\{ x_{n}^{\left( 1\right) }\right\} _{n\in \mathbb{N} },\cdots ,\left\{ x_{n}^{\left( m\right) }\right\} _{n\in \mathbb{N} }\in K^{\infty }
\end{equation*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}\left\{ k_{1}x_{n}^{\left( 1\right) }+\cdots +k_{m}x_{n}^{\left( m\right)
}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\in K^{\infty }
\end{equation*}と表現される点列です。以上の事実は、点列\(\left\{ k_{1}x_{n}^{\left( 1\right) }+\cdots+k_{m}x_{n}^{\left( m\right) }\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が点列\(\left\{ x_{n}^{\left( 1\right) }\right\} _{n\in \mathbb{N} },\cdots ,\left\{ x_{n}^{\left( m\right) }\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。
\end{equation*}上に存在する有限\(m\)個の写像\begin{equation*}f_{1},\cdots ,f_{m}\in K^{X}
\end{equation*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}k_{1}f_{1}+\cdots +k_{m}f_{m}\in K^{X}
\end{equation*}と表現される点列です。以上の事実は、写像\(k_{1}f_{1}+\cdots +k_{m}f_{m}\)が写像\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の要素であるベクトル\(x\in V\)と有限個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)が与えられたとき、\(x\)は\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合として表せるとは限りません。つまり、以下の関係\begin{equation*}x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)は存在するとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
17 \\
-4 \\
5\end{array}\right)
\end{equation*}を、以下の2つのベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-3\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
4\end{array}\right)
\end{equation*}の線型結合として表すことはできません。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+a_{2}\boldsymbol{x}_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
17 \\
-4 \\
5\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-3\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
4\end{array}\right)
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)は存在しません。実際、以上の条件を満たすスカラー\(a_{1},a_{2}\)が存在するものと仮定すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
2a_{1}+a_{2}=17 \\
a_{1}-2a_{2}=-4 \\
-3a_{1}+4a_{2}=5\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちますが、この連立方程式には解\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)が存在しません。したがって背理法より、\(\boldsymbol{x}\)は\(\boldsymbol{x}_{1}\)と\(\boldsymbol{x}_{2}\)の線型結合として表現できないことが明らかになりました。
ベクトルの線型スパン
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられた状況において、その要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}x_{1},\cdots ,x_{m}\in V
\end{equation*}を選んだとき、これらのベクトルの線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V
\end{equation*}と表すことができます。この線型結合がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)の選び方に依存します。そこで、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( x_{1},\cdots ,x_{m}\right) =\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}\in V\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\}
\end{equation*}で表記し、これをベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型スパン（linear span）や線型包（linear hull）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( x_{1},\cdots ,x_{m}\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合\(Y\)が与えられたとき、それを何らかのベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)の線型スパンとして表現できる場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists x_{1},\cdots ,x_{m}\in V:Y=\mathrm{span}\left( x_{1},\cdots
,x_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)は集合\(Y\)を張る（span）とか生成する（generate）などと言います。また、集合\(Y\)を張るベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\}
\end{equation*}のことを、集合\(Y\)を張る集合（spanning set for \(Y\)）や生成する集合（generating set）などと呼びます。
集合\(Y\subset V\)がベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)によって張られる場合には、すなわち、\begin{equation*}Y=\mathrm{span}\left( x_{1},\cdots ,x_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、線型スパンの定義より、\(Y\)の要素であるベクトルはいずれもベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の何らかの線型結合として表現できます。つまり、\begin{equation*}\forall y\in Y,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:y=a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)もまた自身の部分集合であるため、\(V\)を張るベクトルを考えることもできます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\exists x_{1},\cdots ,x_{m}\in V:V=\mathrm{span}\left( x_{1},\cdots
,x_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つとき、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)は\(V\)を張る（span）と言います。これは、\(V\)上に存在するベクトルはいずれもベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の何らかの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in V,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:x=a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right)
=\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。特に、第\(i\)成分が\(1\)であり他のすべての成分が\(0\)であるようなベクトルを\(\boldsymbol{e}_{i}\)で表記する場合、以下の\(n\)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\ \boldsymbol{e}_{n}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
\mathrm{span}\left( \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right)
&=&\left\{ a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{e}_{n}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +a_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}となります。つまり、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)によって張られるということです。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルに相当します。したがって、点\(\boldsymbol{x}\in L\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、\begin{equation*}
L=\mathrm{span}\left( \boldsymbol{v}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、原点を通過する直線\(L\)は、その直線の方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\)によって張られるということです。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルに相当します。したがって、点\(\boldsymbol{x}\in P\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、\begin{equation*}
P=\mathrm{span}\left( \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、原点を通過する平面\(P\)は、その平面の方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)によって張られるということです。
\end{equation*}の線型スパンは、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right) =\left\{ k_{1}A_{1}+\cdots
+k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と定義される\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合です。特に、\(ij\)成分が\(1\)であり他のすべての成分が\(0\)であるような行列を\(E_{ij}\)で表記する場合、以下の\(m\times n\)個の行列\begin{equation*}E_{11}=\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\ E_{mn}=\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}の線型スパンは、\begin{eqnarray*}
&&\mathrm{span}\left( E_{11},\cdots ,E_{mn}\right) \\
&=&\left\{ a_{11}E_{11}+\cdots +a_{mn}E_{mn}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a_{11},\cdots ,a_{mn}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ a_{11}\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}+\cdots +a_{mn}\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a_{11},\cdots ,a_{mn}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a_{11},\cdots ,a_{mn}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は行列\(E_{11},\cdots ,E_{mn}\)によって張られるということです。
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(i\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)番目の行は\(n\)次元の行ベクトル\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}ですが、すべての行の線型スパンを、\begin{eqnarray*}
\mathrm{row}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \mathrm{row}\left(
A,1\right) ,,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left(
A,m\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k_{1}\left( a_{11},\cdots ,a_{1n}\right) +\cdots +k_{m}\left(
a_{m1},\cdots ,a_{mn}\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( k_{1}a_{11}+\cdots +k_{m}a_{m1},\cdots ,k_{1}a_{1n}+\cdots
+k_{m}a_{mn}\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを行列\(A\)の行空間（row space）と呼びます。行列\(A\)の行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は行列\(A\)の行ベクトル\(\mathrm{row}\left(A,1\right) ,,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \)によって張られるということです。
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(j\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)番目の列は\(m\)次元の列ベクトル\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、すべての列の線型スパンを、\begin{eqnarray*}
\mathrm{col}\left( A\right) &=&\mathrm{span}\left( \mathrm{col}\left(
A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left(
A,n\right) \in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ k_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +\cdots +k_{m}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right) \in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k_{1}a_{11}+\cdots +k_{m}a_{1n} \\
\vdots \\
k_{1}a_{m1}+\cdots +k_{m}a_{mn}\end{array}\right) \in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを行列\(A\)の列空間（row space）と呼びます。行列\(A\)の列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は行列\(A\)の列ベクトル\(\mathrm{col}\left(A,1\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \)によって張られるということです。
集合の線型スパン
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられた状況において、非空の部分集合\begin{equation*}X\subset V
\end{equation*}を任意に選びます。\(X\)は非空であるため、その要素であるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)を選ぶことができますが、その線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V
\end{equation*}と表すことができます。
非空な部分集合\(X\subset V\)の要素であるベクトルの線型結合をすべて網羅するためにはどのように考えればよいでしょうか。まずは、集合\(X\)の中から取り出すベクトルの個数\(m\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。結合するベクトルの個数\(m\)が決まったら、次は\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。結合するベクトルの個数\(m\)とベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が決まったら、最後に\(m\)個のスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。このように考えると、集合\(X\)の要素であるベクトルの線型結合をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( X\right) &=&\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V\
|\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\} \\
&=&\left\{ \sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}\in V\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left( x_{i}\in X\wedge
a_{i}\in K\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。これを\(X\)の線型スパン（linear span）や線型包（linear hull）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合\(Y\)が与えられたとき、それを何らかの集合\(X\subset V\)の線型スパンとして表現できる場合には、すなわち、\begin{equation}\exists X\subset V:Y=\mathrm{span}\left( X\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、集合\(X\)のことを集合\(Y \)を張る集合（spanning set for \(Y \)）や生成する集合（generating set）などと呼びます。線型スパンの定義より、このとき、\(Y\)の要素であるベクトルはいずれも\(X\)の要素であるベクトルの何らかの線型結合として表現できます。つまり、\begin{equation*}\forall y\in Y,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{m}\in X,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in
K:y=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。\(\left( 1\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\forall x\in \mathrm{span}\left( X\right) ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{m}\in X,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in
K:x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}もまた成り立ちます。
繰り返しになりますが、有限\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)の線型スパンは、\begin{equation}\mathrm{span}\left( x_{1},\cdots ,x_{m}\right) =\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}\in V\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。これらのベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)を要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\}
\end{equation*}を構成すれば、その線型スパン\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}をとることができますが、これは\(\left( 1\right) \)と一致することが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、ベクトル空間\(V\)の要素であるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型スパンはいずれも\(V\)の部分集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の線型スパンとして表現可能であることが明らかになりました。つまり、\(V\)の部分集合の線型スパンはベクトルの線型スパンよりも一般的な概念であるということです。そこで、以降では\(V\)の部分集合の線型スパンを用います。
線型スパンは部分空間
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\subset V\)の線型スパンとは、\(X\)の要素であるベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合であり、具体的には、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V\
|\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(V\)の部分空間になることが保証されます。
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\ \boldsymbol{e}_{n}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に関して、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りです。したがって、先の命題より\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルに相当します。先に示したように、\begin{equation*}L=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、原点を通過する直線\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルに相当します。先に示したように、\begin{equation*}P=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、原点を通過する平面\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\ E_{mn}=\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}に関して、\begin{equation*}
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) =\mathrm{span}\left( \left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りです。したがって、先の命題より\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}の行空間は、\begin{equation*}
\mathrm{row}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \mathrm{row}\left( A,1\right)
,,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right)
\end{equation*}と定義されるため、先の命題より、行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は行ベクトル空間\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。行列\(A\)の個々の行\(\mathrm{row}\left(A,i\right) \)は行ベクトル空間\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素であって行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素ではないため、行空間\(\mathrm{row}\left( A\right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間ではなく\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であることに注意してください。また、\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を\(\mathbb{R} ^{n}\)と同一視するのであれば、\(\mathrm{row}\left( A\right) \)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間とみなすこともできます。
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}の列空間は、\begin{equation*}
\mathrm{col}\left( A\right) =\mathrm{span}\left( \mathrm{col}\left( A,1\right)
,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right)
\end{equation*}と定義されるため、先の命題より、列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は列ベクトル集合\(M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。行列\(A\)の個々の列\(\mathrm{col}\left(A,j\right) \)は列ベクトル空間\(M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素であって行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素ではないため、列空間\(\mathrm{col}\left( A\right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間ではなく\(M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であることに注意してください。また、\(M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)を\(\mathbb{R} ^{m}\)と同一視するのであれば、\(\mathrm{col}\left( A\right) \)を\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分空間とみなすこともできます。
線型スパンの代替的な定義
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、その線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は\(V\)の部分空間であることが明らかになりました。では、これはどのような性質を満たす部分空間でしょうか。順番に考えます。
線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は、自身を生成するもととなった集合\(X\)を部分集合として持ちます。
\end{equation*}を満たす。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、\(X\)を部分集合として持つ\(V\)の部分空間を集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、この集合族は以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :Y_{\lambda }\text{は}V\text{の部分空間} \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :X\subset Y_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されるということです。
ベクトル空間\(V\)自身は\(V \)の部分空間であるとともに\(X\subset V\)であるため、\(V\)はこの集合族の要素の1つです。先の命題より、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)もまたこの集合族の要素の1つですが、実は、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)はこの集合族の要素の中でも最小の集合です。つまり、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathrm{span}\left( X\right) \subset
Y_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は、ベクトル空間\(V\)の部分集合\(X\)の線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は、\(X\)を部分集合として持つ\(V\)の部分空間の中でも最小の部分空間であることを意味します。
このとき、集合族の共通部分の定義より、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( X\right) \subset \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}を得ます。さらに、これとは逆に、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\subset \mathrm{span}\left( X\right)
\end{equation*}もまた成り立つことが示されるため、結局、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}を得ます。
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :X\subset Y_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義する。このとき、線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は集合族\(\left\{ Y_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\subset V\)が与えられたとき、\(X\)を部分集合として持つ\(V\)の部分空間を集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。上の命題を踏まえると、この集合族の要素であり、なおかつこの集合族の共通部分であるような\(V\)の部分集合として\(X\)の線型スパンという概念を定義することができます。つまり、\(X\)を部分集合として持つ\(V\)の部分空間からなる集合族が明らかであれば、ベクトルの線型結合などの概念を経由することなく、\(X\)の線型スパンという概念を定義できるということです。
部分空間の和集合の線型スパンとしての和
体\(K\)上のベクトル空間\(V \)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)の和は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されます。部分空間の定義より\(X_{1},X_{2}\)はともに非空であるため、それらの和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)もまた非空であり、したがって、その線型スパン\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}\in V\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X_{1}\cup X_{2}\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in
X_{1}\cup X_{2}\right\}
\end{equation*}をとることができますが、実は、これは\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の和と一致します。つまり、以下の関係\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成立する。
以上の命題は、ベクトル空間\(V\)の部分空間どうしの和\(X_{1}+X_{2}\)の要素であるそれぞれのベクトルは、和集合\(X\cup Y\)の要素であるベクトルの何らかの線型結合として表現できることを意味します。線型スパンの定義より、以上の事実は、和\(X_{1}+X_{2}\)は和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)を部分集合として持つ最小の部分空間であることも意味します。
3個以上の部分空間の和についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成立する。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
5\end{array}\right)
\end{equation*}を、同じく\(\mathbb{R} ^{3}\)の要素である以下の3つのベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}の線型結合として表現してください。
3 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}を、同じく\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である以下の3つの行列\begin{equation*}A_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}の線型結合として表現してください。
a & b \\
-b & c\end{pmatrix}\end{equation*}を、同じく\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である以下の3つの行列\begin{equation*}A_{1}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & -1\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 0\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}の線型結合として表されるものとします。このとき、\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が満たすべき条件を特定してください。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
2\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}からなるベクトル集合の線型スパン、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\}
\right)
\end{equation*}を特定してください。その上で、以下のベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{3} &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
3\end{array}\right) \\
\boldsymbol{x}_{4} &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
3 \\
6\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がそれぞれ\(\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\} \right) \)の要素であるか検討してください。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
1 \\
5\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
-4 \\
7\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\}
\right) =\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
P=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は多項式}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P\right) \)はベクトル空間です。以下の4つの多項式関数\begin{eqnarray*}x^{3} &\in &P \\
x^{2}+2x &\in &P \\
x^{2}+2 &\in &P \\
-x+1 &\in &P
\end{eqnarray*}によって張られる線型スパンを、\begin{equation*}
S=\mathrm{span}\left( \left\{ x^{3},x^{2}+2x,x^{2}+2,-x+1\right\} \right)
\end{equation*}で表記します。以下の多項式関数\begin{eqnarray*}
3x^{2}+x+5 &\in &P \\
x^{3}+3x^{2}+3x+7 &\in &P
\end{eqnarray*}はそれぞれ\(S\)の要素でしょうか。検証してください。
\end{equation*}によって張られているものとします。このとき、以下の4つのベクトル\begin{eqnarray*}
x_{1}-x_{2} &\in &V \\
x_{2}-x_{3} &\in &V \\
x_{3}-x_{4} &\in &V \\
x_{4} &\in &V
\end{eqnarray*}もまた\(V\)を張ることを示してください。
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