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ベクトル空間

ベクトルの線型結合と線型スパン(線型包)

目次

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ベクトルの線型結合

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)上にはベクトル加法とスカラー乗法が定義されており、それらの演算について閉じています。したがって、\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)とスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}もまたベクトルになること、すなわち\(V\)の要素になることが保証されます。そこで、上のように定義されるベクトルを\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合(linear combination)と呼びます。

例(実ベクトル空間におけるベクトルの線型結合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。2つのベクトル\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by &=&a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +b\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right)
\\
&=&\left( ax_{1},ax_{2},ax_{3}\right) +\left( by_{1},by_{2},by_{3}\right) \\
&=&\left( ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2},ax_{3}+by_{3}\right)
\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。また、3つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
z &=&\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by+cz &=&a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +b\left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) +c\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) \\
&=&\left( ax_{1},ax_{2},ax_{3}\right) +\left( by_{1},by_{2},by_{3}\right)
+\left( cz_{1},cz_{2},cz_{3}\right) \\
&=&\left(
ax_{1}+by_{1}+cz_{1},ax_{2}+by_{2}+cz_{2},ax_{3}+by_{3}+cz_{3}\right)
\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。ベクトル\begin{equation*}
x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\left( x_{1},0,0\right) +\left( 0,x_{2},0\right) +\left( 0,0,x_{3}\right)
\\
&=&x_{1}\left( 1,0,0\right) +x_{2}\left( 0,1,0\right) +x_{3}\left(
0,0,1\right)
\end{eqnarray*}と変形できます。つまり、任意のベクトル\(x\)は以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{2} &=&\left( 0,1,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{3} &=&\left( 0,0,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}の線型結合として常に表せるということです。この3つのベクトル\(e_{1},e_{2},e_{3}\)を\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の基本単位ベクトル(fundamental unit vector)と呼びます。
例(行列空間におけるベクトルの線型結合)
実数体\(\mathbb{R} \)の要素を成分として持つ次数\(2\)の正方行列からなる集合\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を定義します。ベクトル加法として行列加法を、スカラー乗法として行列のスカラー乗法を採用すれば\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間になります。2つのベクトル\begin{eqnarray*}x &=&\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
y &=&\begin{pmatrix}
y_{11} & y_{12} \\
y_{21} & y_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by &=&a\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}
y_{11} & y_{12} \\
y_{21} & y_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
ax_{11} & ax_{12} \\
ax_{21} & ax_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
by_{11} & by_{12} \\
by_{21} & by_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
ax_{11}+by_{11} & ax_{12}+by_{12} \\
ax_{21}+by_{21} & ax_{22}+by_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。3つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
y &=&\begin{pmatrix}
y_{11} & y_{12} \\
y_{21} & y_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
z &=&\begin{pmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}の線型結合とは、何らかのスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}ax+by+cz &=&a\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}
y_{11} & y_{12} \\
y_{21} & y_{22}\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
ax_{11} & ax_{12} \\
ax_{21} & ax_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
by_{11} & by_{12} \\
by_{21} & by_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
cz_{11} & cz_{12} \\
cz_{21} & cz_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
ax_{11}+by_{11}+cz_{11} & ax_{12}+by_{12}+cz_{12} \\
ax_{21}+by_{21}+cz_{21} & ax_{22}+by_{22}+cz_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表されるベクトルです。ベクトル\begin{equation*}
x=\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
x &=&\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
x_{11} & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & x_{12} \\
0 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
x_{21} & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & x_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&x_{11}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+x_{12}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}+x_{21}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix}+x_{22}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と変形できます。つまり、任意のベクトル\(x\)は以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
e_{2} &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
e_{3} &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \\
e_{4} &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}の線型結合として常に表せるということです。以上の4つのベクトル\(e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\)が\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)における基本単位ベクトルです。

 

ベクトル空間の部分集合の線型スパン

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、その非空の部分集合\(X\subset V\)を任意に選びます。仮定より\(X\)は非空であるためベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)を選ぶことができますが、これらの線型結合は何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V
\end{equation*}と表されます。集合\(X\)に属するベクトルの線型結合をすべて網羅するためにはどのように考えればよいでしょうか。まずは、集合\(X\)から選んでくるベクトルの個数\(m\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。ベクトルの個数\(m\)が決まったら、次は\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。ベクトルの個数\(m\)とベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が決まったら、最後に\(m\)個のスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。このように考えると、ベクトル空間\(V\)の非空な部分集合\(X\)のベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( X\right) &=&\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in
V\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\} \\
&=&\left\{ \sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}\in V\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left( x_{i}\in X\wedge
a_{i}\in K\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。これを\(X\)の線型スパン(linear span)や線型包(linear hull)などと呼びます。明らかに\(\mathrm{span}\left( X\right)\subset V\)です。

例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
2次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{2}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。ゼロベクトルとは異なるベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}を任意に選んだ上で、これだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}
\left\{ x\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) &=&\left\{ ax\ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1},ax_{2}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x\)は非ゼロベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)は平面において2つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{eqnarray*}を通過する直線上のすべての点からなる集合です。

例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。ゼロベクトルとは異なるベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{equation*}を任意に選んだ上で、これだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}
\left\{ x\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) &=&\left\{ ax\ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1},ax_{2},ax_{3}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x\)は非ゼロベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right) \)は3次元空間において2つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)
\end{eqnarray*}を通過する直線上のすべての点からなる集合です。続いて、ゼロベクトルとは異なり、なおかつ方向の異なる2つのベクトル\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}を任意に選んだ上で、これらを要素として持つ集合\begin{equation*}
\left\{ x,y\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の非空な部分集合であるため、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) \)をとることができます。具体的には、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) &=&\left\{ ax+by\ |\
a,b\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{線型スパンの定義} \\
&=&\left\{ a\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +b\left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) \ |\ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2},ax_{3}+by_{3}\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}となります。\(x,y\)は非ゼロかつ方向の異なるベクトルであるため、\(\mathrm{span}\left( \left\{ x,y\right\} \right) \)は3次元空間において3つの点\begin{eqnarray*}0 &=&\left( 0,0,0\right) \\
x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面上のすべての点からなる集合です。

逆に、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)の要素であるベクトル\(x\in \mathrm{span}\left( X\right) \)を任意に選んだとき、線型スパンの定義より、これは\(X\)のベクトルの何らかの線型結合として表現できることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathrm{span}\left( X\right) ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists x_{1},\cdots ,x_{m}\in X,\ \exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in
K:x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(実ベクトル空間の部分集合の線型スパン)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{2} &=&\left( 0,1,0\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
e_{3} &=&\left( 0,0,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}に注目します。ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\left( x_{1},0,0\right) +\left( 0,x_{2},0\right) +\left( 0,0,x_{3}\right)
\\
&=&x_{1}\left( 1,0,0\right) +x_{2}\left( 0,1,0\right) +x_{3}\left(
0,0,1\right) \\
&=&x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\ma