部分空間の補集合は部分ベクトル空間ではない
体\(K\)上のベクトル空間\(V \)が与えられているものとします。つまり、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算がベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in V:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in V,\ \exists -x\in V:x+\left( -x\right)
=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in V:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in V:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in V:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たすということです。
体\(K\)上のベクトル空間\(V \)の非空な部分集合\(X\)がもとのベクトル空間\(V\)の部分空間であることとは、ベクトルがとり得る範囲を\(V\)から\(X \)へと制限することで得られる、\begin{equation*}\left( K,X\right)
\end{equation*}がベクトル空間であることを意味します。ただし、\(X\)が\(V\)の部分空間であることと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは必要十分です。つまり、ベクトル空間\(V\)の部分空間はベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)について閉じている非空な\(V\)の部分集合です。
体\(K\)上のベクトル空間\(V \)が与えられたとき、その部分空間\(X\subset V\)を任意に選びます。その補集合は、\begin{equation*}X^{c}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(V\)の部分空間ではありません。実際、部分空間の定義より、\begin{equation*}0\in X
\end{equation*}である一方で、補集合の定義より、\begin{equation*}
0\not\in X^{c}
\end{equation*}ですが、部分空間はゼロベクトルを要素として持つため、ゼロベクトルを要素として持たない\(X^{c}\)は\(V\)の部分ベクトル空間ではないことが明らかになりました。
部分空間どうしの共通部分は部分空間
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、その2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの共通部分は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分空間になることが保証されます。
\end{equation*}もまた\(V\)の部分空間である。
\end{equation*}であるため、\(\left\{ 0\right\} \)と一致する\(\left\{ 0\right\} \cap V\)もまた\(V\)の部分空間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
L_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}_{2}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選びます。ただし、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)です。\(L_{1}\)と\(L_{2}\)はともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。共通部分\(L_{1}\cap L_{2}\)は2つの直線\(L_{1},L_{2}\)の交点からなる集合であるため、これは直線\(L_{1},L_{2}\)そのものであるか、ゼロ空間\(\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)であるかのどちらか一方です。いずれの場合にも\(L_{1}\cap L_{2}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
P_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}_{2}+t\boldsymbol{w}_{2}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選びます。ただし、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)であるとともに、\(\boldsymbol{v}_{1}\)と\(\boldsymbol{w}_{1}\)は線型独立であり、\(\boldsymbol{v}_{2}\)と\(\boldsymbol{w}_{2}\)は線型独立です。共通部分\(L_{1}\cap L_{2}\)は原点を通過する直線であるため、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
X_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(X_{1}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(yz\)平面であり、\(X_{2}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(xz\)平面であるため、これらは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。共通部分は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=0\right\}
\end{equation*}ですが、これは空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(z\)軸であるため\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です（演習問題）。共通部分は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。
先の命題の主張は任意個の部分空間についても成立します。つまり、任意個の部分空間の共通部分もまた部分ベクトル空間になるということです。
\end{equation*}もまた\(V\)の部分空間である。
上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている部分空間の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。有限個の部分空間の共通部分、可算個の部分空間の共通部分、非可算個の部分空間の共通部分はいずれも部分空間になることが保証されるということです。
部分空間どうしの空間の和集合は部分空間であるとは限らない
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和集合は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(V\)の部分空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。
X_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(X_{1}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(yz\)平面であり、\(X_{2}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(xz\)平面であるため、これらは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。これらの和集合は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\vee x_{2}=0\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間ではありません。実際、以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) &\in &X_{1}\cup X_{2} \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) &\in &X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}に注目したとき、これらのベクトル和について、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
&\not\in &X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(X_{1}\cup X_{2}\)はベクトル和について閉じておらず、したがって\(X_{1}\cup X_{2}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間ではありません。
部分空間どうしの和集合が部分空間であるための条件を特定できるのでしょうか。ベクトル空間\(V\)の2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\)の少なくとも一方が他方の部分集合である場合、和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)は\(X_{1}\)または\(X_{2}\)と一致するため部分空間になります。逆の主張も成り立つため以下を得ます。
\end{equation*}が\(V\)の部分空間であることは必要十分条件である。
X_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(X_{1}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(yz\)平面であり、\(X_{2}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(z\)軸であるため、これらはともに\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。さらに、\begin{equation*}X_{2}\subset X_{1}
\end{equation*}が成立するため、先の命題より、和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。実際、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=X_{1}
\end{equation*}ですが、\(X_{1}\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間であるため、それと一致する\(X_{1}\cup X_{2}\)もまた\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。
先の命題は2つの部分空間どうしの和集合が部分ベクトル空間になるための必要十分条件を与えているため、2つの部分空間どうしの和集合が部分空間ではないことを判定する上でも有用です。つまり、ベクトル空間\(V\)の部分空間\(X_{1},X_{2}\)について、\(X_{1}\subset X_{2}\)と\(X_{2}\subset X_{1}\)がともに成り立たない場合には、和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)は\(V\)の部分空間ではありません。
X_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(X_{1}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(yz\)平面であり、\(X_{2}\)は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する\(xz\)平面であるため、これらは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。\(X_{1}\subset X_{2}\)と\(X_{2}\subset X_{1}\)はともに成立しないため、先の命題より、和集合\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\vee x_{2}=0\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間ではありません。
部分空間どうしの差集合は部分集合ではない
体\(K\)上のベクトル空間\(V \)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの差集合は、\begin{equation*}X_{1}\backslash X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\not\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(V\)の部分空間ではありません。実際、部分空間の定義より、\begin{equation*}0\in X_{1}\wedge 0\in X_{2}
\end{equation*}が成り立ちますが、すると差集合の定義より、\begin{equation*}
0\not\in X_{1}\backslash X_{2}
\end{equation*}を得ます。部分空間はゼロベクトルを要素として持つため、ゼロベクトルを要素として持たない\(X_{1}\backslash X_{2}\)は\(V\)の部分ベクトル空間ではないことが明らかになりました。
演習問題
X_{2} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}がともに\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分空間であることを確認してください。その上で、以下の集合\begin{eqnarray*}&&X_{1}\cap X_{2} \\
&&X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}がそれぞれ\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分空間であるか判定してください。
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}がともに\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であることを確認してください。その上で、以下の集合\begin{eqnarray*}&&X_{1}\cap X_{2} \\
&&X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}がそれぞれ\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるか判定してください。
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