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ベクトル空間

部分ベクトル空間どうしの共通部分と和集合

目次

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部分ベクトル空間どうしの共通部分

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの共通部分は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分空間であることが保証されます。

命題(部分ベクトル空間どうしの共通部分)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶ。これらの共通部分\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間である。
証明

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例(部分ベクトル空間どうしの共通部分)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下のような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です(演習問題)。共通部分は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\wedge x_{2}=0\right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。
例(部分ベクトル空間どうしの共通部分)
体として実数体\(\mathbb{R} \)を採用した上で、\(\mathbb{R} \)の要素を成分として持つ次数\(2\)の正方行列からなる集合\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を定義します。ベクトル加法として行列加法を、スカラー乗法として行列のスカラー乗法を採用すれば\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間になります。以下のような\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です(演習問題)。共通部分は、\begin{equation*}X_{1}\cap X_{2}=\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。

任意個の部分ベクトル空間についても同様の命題が成り立ちます。つまり、任意個の部分ベクトル空間の共通部分もまた部分ベクトル空間になるということです。

命題(部分ベクトル空間の共通部分)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、\(V\)の部分ベクトル空間を要素として持つ集合族\(\left\{ X_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選ぶ。このとき、共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間である。
証明

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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている部分ベクトル空間の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。有限個の部分ベクトル空間の共通部分、可算個の部分ベクトル空間の共通部分、非可算個の部分ベクトル空間の共通部分はいずれも部分ベクトル空間であることが保証されるということです。

 

部分ベクトル空間どうしの空間の和集合

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和集合は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(V\)の部分空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(部分ベクトル空間どうしの和集合が部分ベクトル空間にならない場合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下のような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはいずれも\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。これらの和集合は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\vee x_{2}=0\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間ではありません。実際、以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\left( 1,0,0\right) &\in &X_{1} \\
\left( 0,1,0\right) &\in &X_{2}
\end{eqnarray*}に注目したとき、これらのベクトル和は、\begin{eqnarray*}
\left( 1,0,0\right) +\left( 0,1,0\right) &=&\left( 1,1,0\right) \\
&\not\in &X_{1}\cup X_{2}\quad \because X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}を満たすからです。

では、部分ベクトル空間どうしの和集合が部分ベクトル空間になるための条件を特定できるのでしょうか。実は、2つの部分ベクトル空間の少なくとも一方が他方の部分集合である場合、そしてその場合にのみ、それらの和集合もまた部分ベクトル空間になります。

命題(包含関係が成立する部分ベクトル空間どうしの和集合)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶ。このとき、\(X_{1}\subset X_{2}\)または\(X_{2}\subset X_{1}\)の少なくとも一方が成り立つことは、これらの和集合\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}
\end{equation*}が\(V\)の部分ベクトル空間であるための必要十分条件である。
証明

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上の命題は2つの部分ベクトル空間どうしの和集合が部分ベクトル空間になるための必要十分条件を与えているため、2つの部分ベクトル空間どうしの和集合が部分ベクトル空間ではないことの判定にも利用できます。つまり、体\(K\)上のベクトル空間\(V\)の部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)について、\(X_{1}\subset X_{2}\)と\(X_{2}\subset X_{1}\)がともに成り立たないことと、和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)が\(V\)の部分ベクトル空間ではないことは必要十分条件です。

例(部分ベクトル空間どうしの和集合)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下のような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\} \\
X_{3} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはいずれも\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の間に包含関係は成立しないため、先の命題より、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\vee x_{2}=0\right\}
\end{equation*}は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間ではありません。これは先に例を通じて確認しました。一方、\(X_{3}\)は\(X_{1}\)や\(X_{2}\)の部分集合であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}X_{1}\cup X_{3} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=0\right\} \\
X_{2}\cup X_{3} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}はともに\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。実際、これらは\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間である\(X_{3}\)と一致します。
例(部分ベクトル空間どうしの和集合)
体として実数体\(\mathbb{R} \)を採用した上で、\(\mathbb{R} \)の要素を成分として持つ次数\(2\)の正方行列からなる集合\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を定義します。ベクトル加法として行列加法を、スカラー乗法として行列のスカラー乗法を採用すれば\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間になります。以下のような\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b,c\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。加えて、\(X_{1}\)は\(X_{2}\)の部分集合であるため、先の命題より、これらの和集合\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}もまた\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。実際、\(X_{1}\cup X_{2}\)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間である\(X_{1}\)と一致します。

 

演習問題

問題(部分ベクトル空間どうしの集合演算)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下のような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=0\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、以下の集合\begin{eqnarray*}
&&X_{1}\cap X_{2} \\
&&X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}はそれぞれ\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間でしょうか。議論してください。
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問題(部分ベクトル空間どうしの集合演算)
体として実数体\(\mathbb{R} \)を採用した上で、\(\mathbb{R} \)の要素を成分として持つ次数\(2\)の正方行列からなる集合\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を定義します。ベクトル加法として行列加法を、スカラー乗法として行列のスカラー乗法を採用すれば\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間になります。以下のような\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。このとき、以下の集合\begin{eqnarray*}
&&X_{1}\cap X_{2} \\
&&X_{1}\cup X_{2}
\end{eqnarray*}はそれぞれ\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間でしょうか。議論してください。
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問題(ベクトル空間どうしの差集合)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの差集合は、\begin{equation*}X_{1}\backslash X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\not\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(V\)の部分空間になり得ないことを示してください。
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