ベクトルの外積（クロス積）

外積

3次元空間における2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、これらの双方と垂直なベクトル\(\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{3}\)を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。

まずは2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)がともにゼロベクトルである場合について考えます。ゼロベクトルは任意のベクトルと垂直であるため、任意のベクトル\(\boldsymbol{z}\)が\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直です。

続いて2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の少なくとも一方が非ゼロベクトルである場合について考えます。\(\boldsymbol{x}\not=0 \)かつ\(x_{1}\not=0\)とみなしても一般性は失われません。以上の状況において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &\perp &\boldsymbol{z}=0 \\
\boldsymbol{y} &\perp &\boldsymbol{z}=0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z} &=&0 \\
\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{z} &=&0
\end{eqnarray*}をともに満たすベクトル\(\boldsymbol{z}\)を特定することが目標です。内積の定義より、以上の条件を、\begin{eqnarray}x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3} &=&0 \quad \cdots (1) \\
y_{1}z_{1}+y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3} &=&0 \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}と表現できます。\(\left(1\right) \)の両辺に\(y_{1}\)をかけて、\(\left( 2\right) \)の両辺に\(x_{1}\)をかけると、\begin{eqnarray*}x_{1}y_{1}z_{1}+x_{2}y_{1}z_{2}+x_{3}y_{1}z_{3} &=&0 \\
x_{1}y_{1}z_{1}+x_{1}y_{2}z_{2}+x_{1}y_{3}z_{3} &=&0
\end{eqnarray*}を得ます。これらの辺々を引いた上で整理すると、\begin{equation*}
\left( x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right) z_{2}+\left(
x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\right) z_{3}=0
\end{equation*}を得ますが、内積の定義より、これは、\begin{equation*}
\left( x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\right) \cdot \left(
z_{2},z_{3}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left( x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\right) \perp \left(
z_{2},z_{3}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を意味します。2次元ベクトル\(\left( z_{2},z_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\left( z_{2},z_{3}\right) \perp \left( -z_{3},z_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを踏まえると、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\left( z_{2},z_{3}\right) =\left( x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},-\left(
x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left( z_{2},z_{3}\right) =\left(
x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得ます。すると、\begin{eqnarray*}
z_{1} &=&-\frac{x_{2}z_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{3}z_{3}}{x_{1}}\quad \because
\left( 1\right) \text{および}x_{1}\not=0 \\
&=&-\frac{x_{2}\left( x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\right) }{x_{1}}-\frac{x_{3}\left( x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right) }{x_{1}}\quad \because \left(
4\right) \\
&=&-\frac{x_{2}x_{3}y_{1}}{x_{1}}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\frac{x_{3}x_{2}y_{1}}{x_{1}} \\
&=&x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) =\left(
x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

以上の命題を踏まえた上で、3次元空間における2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}=\left(
x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)
\end{equation*}と定義されるベクトル\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)の外積（outer product）やクロス積（crossproduct）などと呼びます。先の議論より、外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直です。つまり、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y} &\perp &\boldsymbol{x} \\
\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y} &\perp &\boldsymbol{y}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直であるようなベクトルは無数に存在します。実際、外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)をスカラー倍することで得られるベクトルは\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直です。外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直であるような唯一のベクトルではありません。

3次元空間のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i},y_{i}\ \left( i=1,2,3\right) \)は実数ですが、実数空間\(\mathbb{R} \)は乗法と減法について閉じているため、外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)のそれぞれの成分が1つの実数として定まることが保証されるため、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}:\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\in \mathbb{R} ^{3}\times \mathbb{R} ^{3}\)に対して、それらの外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)を定める多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\times :\mathbb{R} ^{3}\times \mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。このような関数を外積関数（outer product function）と呼びます。

外積は3次元空間上の2つのベクトルに対してのみ適用されます。それ以外のベクトルに対して外積は定義されません。

行列式を用いた外積の表現

3次元空間における2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)の外積を、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}=\left(
x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)
\end{equation*}と定義しましたが、これを覚えるのは容易ではありません。行列式の概念を用いれば外積を比較的容易に導出できます。

実数を正方形に配列したもの\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\end{equation*}を\(2\)次の正方行列と呼びます。さらに、\(2\)次の正方行列の行列式を、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{equation*}っと定義します。つまり、右辺の展開式は、左辺の行列式の左上と右下の成分の積\(a_{11}a_{22}\)、すなわち\(\searrow \)方向の積から、右上と左下の積\(a_{12}a_{21}\)、すなわち\(\swarrow \)方向の積を引いたものになっています。つまり、\begin{equation*}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=\left( \searrow \text{方向の積}a_{11}a_{22}\right)
-\left( \swarrow \text{方向の積}a_{12}a_{21}\right)
\end{equation*}というルールのもとで行列式の値を導出できます。

外積に話を戻します。2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、それらの成分を並べると以下の行列\begin{equation}\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3} \\
y_{1} & y_{2} & y_{3}\end{pmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が得られます。\(\left( 1\right) \)から第\(1\)列の成分を消去すると以下の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られますが、その行列式は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}
\end{equation*}であり、これは外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)の第\(1\)成分と一致します。また、\(\left( 1\right) \)から第\(2\)列の成分を消去すると以下の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られますが、その行列式は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix}=x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}
\end{equation*}であり、これに\(-1\)を掛けたものは外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)の第\(2\)成分と一致します。\(\left( 1\right) \)から第\(3\)列の成分を消去すると以下の正方行列\begin{equation*}\begin{pmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}が得られますが、その行列式は、\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}
\end{equation*}であり、これは外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)の第\(3\)成分と一致します。以上より、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}=\left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。

外積の方向（右手の法則）

先の議論から明らかになったように、外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直なベクトルですが、外積と反対方向にあるベクトル\(-\left( \boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\right) \)もまた\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直です。つまり、\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直なベクトルの方向としては2種類存在します。では、外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)とベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の位置関係をどのように特定すればよいのでしょうか。

下図のように、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の方向を右手の人差し指が指す向きとして、ベクトル\(\boldsymbol{y}\)の方向を右手の中指が刺す向きとしてそれぞれ表現したとき、外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)の方向は親指が指す向きと一致します。これを右手の法則（right-hand rule）と呼びます。

与えられたベクトルと垂直なベクトルを外積を用いて導出する

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)と垂直なベクトルを特定しようとしている状況を想定します。\(\boldsymbol{x}\)と互いに平行ではないベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)を具体的に選んだ上で、それらの外積\begin{equation*}\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}
\end{equation*}をとれば、外積の定義より、これはベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の双方と垂直です。したがってこれは\(\boldsymbol{x}\)と垂直なベクトルです。

外積の大きさ（外積のノルム）

外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)はベクトルであるため、その大きさをノルムとして表現できますが、外積のノルムは以下のように定まります。

先の命題を踏まえると以下を得ます。

上の命題では、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の少なくとも一方がゼロベクトルである場合や、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のなす角\(\theta \)が\(0\)または\(\pi \)である場合などを対象外としています。ただ、先に例を通じて確認したように、これらの場合には外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)がゼロベクトルになります。

以下の命題もまた成り立ちます。

外積の反交換律

先に例を通じて確認したように、外積は反交換律を満たしません。つまり、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\times \boldsymbol{x}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。その一方で、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}=-\boldsymbol{y}\times \boldsymbol{x}
\end{equation*}は必ず成り立ちます。これを反交換律（anticommutative law）と呼びます。

スカラー倍との外積

2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)とスカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( a\boldsymbol{x}\right) \times \boldsymbol{y}=a\left( \boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\right) =\boldsymbol{x}\times \left( a\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

分配律

3つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}\times \left( \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\times
\boldsymbol{z} \\
&&\left( b\right) \ \left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \times
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\times
\boldsymbol{z}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

外積との内積

2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、これらの外積\(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\)もまた3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)におけるベクトルであるため、\(\boldsymbol{x}\)との内積や\(\boldsymbol{y}\)との内積をとることができますが、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}\cdot \left( \boldsymbol{x}\times
\boldsymbol{y}\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{y}\cdot \left( \boldsymbol{x}\times
\boldsymbol{y}\right) =0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

外積との外積

3つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{y}\)と\(\boldsymbol{z}\)の外積\(\boldsymbol{y}\times \boldsymbol{z}\)もまた3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)におけるベクトルであるため、これと残されたベクトル\(\boldsymbol{x}\)の外積\(\boldsymbol{x}\times \left( \boldsymbol{y}\times \boldsymbol{z}\right) \)をとることができますが、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\times \left( \boldsymbol{y}\times \boldsymbol{z}\right)
=\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}\right) \boldsymbol{y}-\left(
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right) \boldsymbol{z}
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

外積と内積の関係（ラグランジュの恒等式）

3次元空間におけるベクトルに対しては外積が定義されますが、外積と内積の間には以下の関係が成り立ちます。これをラグランジュの恒等式（Lagrange’s identity）と呼びます。

演習問題