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ベクトル

ベクトルの内積(ドット積)

目次

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内積

ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\cdot y &=&x_{1}\cdot y_{1}+\cdots +x_{n}\cdot y_{n} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot y_{i}\right)
\end{eqnarray*}と定義される実数\(x\cdot y\)を\(x\)と\(y\)の内積(inner product)やドット積(dot product)などと呼びます。左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。もしくは、ベクトル\(x,y\)の内積を、\begin{equation*}\left\langle x,y\right\rangle
\end{equation*}と表記する流儀もあります。このような表記を用いれば内積と乗法を混同する恐れがありません。

ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i},y_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数ですが、実数空間\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じているため、\(\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot y_{i}\right) \)すなわち内積\(x\cdot y\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot y\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、それらの内積\(x\cdot y\in \mathbb{R} \)を定める関数\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数を内積関数(inner product function)と呼びます。

例(内積)
\(1\)次元空間のベクトル\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}x\cdot y=x\cdot y
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は実数どうしの乗法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において内積と上方は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1\cdot 4 &=&1\cdot 4=4 \\
\left( -1\right) \cdot 8 &=&\left( -1\right) \cdot 8=-8 \\
\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{10} &=&\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{10}=\frac{2}{25}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(内積)
\(2\)次元空間のベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、それらの内積は、\begin{equation*}x\cdot y=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は実数どうしの乗法を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,2\right) \cdot \left( 3,1\right) &=&1\cdot 3+2\cdot 1=5 \\
\left( -1,7\right) \cdot \left( 3,2\right) &=&\left( -1\right) \cdot
3+7\cdot 2=11 \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) \cdot \left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\frac{2}{3}\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) +\left( -1\right) \cdot \left(
-2\right) =\frac{5}{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(内積)
\(3\)次元空間のベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、それらの内積は、\begin{equation*}x\cdot y=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+x_{3}\cdot y_{3}
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は実数どうしの乗法を表す記号です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\left( 1,2,3\right) \cdot \left( 3,4,5\right) &=&1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot
5=26 \\
\left( -1,4,2\right) \cdot \left( 0,1,-7\right) &=&-1\cdot 0+4\cdot
1+2\cdot \left( -7\right) =-10 \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) \cdot \left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot \left( -2\right) +\frac{1}{4}\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) =-\frac{19}{24}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

内積は同一の空間に属する2つのベクトルに対してのみ定義されます。異なる空間に属するベクトルどうしに内積を適用することはできません。

例(内積)
2次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)と3次元空間のベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選んだとき、これらは異なる空間に属するベクトルであるため、これらの内積\(x\cdot y\)は定義されません。

 

内積とノルムの関係

内積とノルムの間には以下の関係が成立します。

命題(内積とノルムの関係)
ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{x\cdot x}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(内積とノルムの関係)
2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、上の命題より、\begin{eqnarray*}\left\Vert x+y\right\Vert &=&\sqrt{\left( x+y\right) \cdot \left(
x+y\right) } \\
\left\Vert x-y\right\Vert &=&\sqrt{\left( x-y\right) \cdot \left(
x-y\right) }
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

内積の解釈

ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、ベクトルの大きさは有向線分の「長さ」として、ベクトルの方向は有向線分の「方向」としてそれぞれ表現されます。では、ベクトルの内積とは何を表す指標なのでしょうか。順番に考えます。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある原点とは異なる2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、以下の2つの有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標が\(y\)です。\(X\)と\(Y\)は原点とは異なるため\(x\)と\(y\)は非ゼロベクトルです。ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の大きさは原点\(O\)と点\(X\)の間の距離\(\left\Vert x\right\Vert \)と一致し、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の大きさは原点\(O\)と点\(Y\)の間の距離\(\left\Vert y\right\Vert \)と一致します。また、点\(X\)と点\(Y\)の間の距離は\(\left\Vert x-y\right\Vert \)です。

まずは3つの点\(O,X,Y\)が同一直線上に並んでいない場合、すなわち、\begin{equation*}x=ay
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\in \mathbb{R} \)が存在しない場合について考えます。この場合、3つの点\(O,X,Y\)を頂点とする三角形をとることができます(下図)。辺\(OX\)の長さは\(\left\Vert x\right\Vert \)であり、辺\(OY\)の長さは\(\left\Vert y\right\Vert \)であり、辺\(XY\)の長さは\(\left\Vert x-y\right\Vert \)です。その上で、辺\(OX\)と辺\(OY\)が作る角\(\theta \)をベクトル\(\overrightarrow{OX}\)\(\overrightarrow{OY}\)がなす角(angle between \(\overrightarrow{OX}\) and \(\overrightarrow{OY}\))やベクトル\(x\)\(y\)がなす角(angle between \(x\) and \(y\))などと呼びます。点\(X,Y\)は原点とは異なり、なおかつ点\(O,X,Y\)は同一直線上に並んでいない状況を想定しているため、この場合のなす角\(\theta \)は、\begin{equation*}0<\theta <\pi
\end{equation*}を満たします。以下の図はなす角\(\theta \)が鋭角の場合(\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\))です。

図:2つのベクトルがなす角(鋭角の場合)
図:2つのベクトルがなす角(鋭角の場合)

以下の図はなす角\(\theta \)が直角の場合(\(\theta =\frac{\pi }{2}\))です。

図:2つのベクトルがなす角(直角の場合)
図:2つのベクトルがなす角(直角の場合)

以下の図はなす角\(\theta \)が鈍角の場合(\(\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \))です。

図:2つのベクトルがなす角(鈍角の場合)
図:2つのベクトルがなす角(鈍角の場合)

続いて3つの点\(O,X,Y\)が同一直線上に並んでいる場合、すなわち、\begin{equation*}x=ay
\end{equation*}を満たす非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が存在する場合について考えます。\(a>0\)の場合、2つのベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は同一方向にあるため、これらのベクトルがなす角\(\theta \)を、\begin{equation*}\theta =0
\end{equation*}と定義します(下図)。

図:2つのベクトルがなす角(同一方向の場合)
図:2つのベクトルがなす角(同一方向の場合)

\(a<0\)の場合、2つのベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は反対方向にあるため、これらがなす角\(\theta \)を、\begin{equation*}\theta =\pi
\end{equation*}と定義します(下図)。

図:2つのベクトルがなす角(反対方向の場合)
図:2つのベクトルがなす角(反対方向の場合)

2つの非ゼロベクトル\(x,y\)の内積\(x\cdot y\)とそれらのベクトルがなす角\(\theta \)の間にはどのような関係が成り立つのでしょうか。まず、\(x,y\)がともに単位ベクトルである場合には以下が成り立ちます。

命題(ベクトルの内積となす角の関係)
非ゼロベクトルであるような2つの単位ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選ぶ。\(x\)と\(y\)がなす角が\(\theta \)である場合には、\begin{equation*}x\cdot y=\cos \left( \theta \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題を用いると、単位ベクトルであるとは限らない2つの非ゼロベクトルについても同様の関係が成り立つことが示されます。

命題(ベクトルの内積となす角の関係)
2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選ぶ。\(x\)と\(y\)がなす角が\(\theta \)である場合には、\begin{equation*}x\cdot y=\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \cos \left( \theta
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(ベクトルの内積となす角の関係)
2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x\)と\(y\)がなす角が\(\theta \)である場合には、\begin{equation*}x\cdot y=\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Ver