ベクトルの内積（ドット積）

内積

ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\cdot y &=&x_{1}\cdot y_{1}+\cdots +x_{n}\cdot y_{n} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot y_{i}\right)
\end{eqnarray*}と定義される実数\(x\cdot y\)を\(x\)と\(y\)の内積（inner product）やドット積（dot product）などと呼びます。左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。もしくは、ベクトル\(x,y\)の内積を、\begin{equation*}\left\langle x,y\right\rangle
\end{equation*}と表記する流儀もあります。このような表記を用いれば内積と乗法を混同する恐れがありません。

ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i},y_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数ですが、実数空間\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じているため、\(\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot y_{i}\right) \)すなわち内積\(x\cdot y\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot y\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、それらの内積\(x\cdot y\in \mathbb{R} \)を定める関数\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数を内積関数（inner product function）と呼びます。

内積は同一の空間に属する2つのベクトルに対してのみ定義されます。異なる空間に属するベクトルどうしに内積を適用することはできません。

内積とノルムの関係

内積とノルムの間には以下の関係が成立します。

内積の解釈

ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、ベクトルの大きさは有向線分の「長さ」として、ベクトルの方向は有向線分の「方向」としてそれぞれ表現されます。では、ベクトルの内積とは何を表す指標なのでしょうか。順番に考えます。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある原点とは異なる2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、以下の2つの有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標が\(y\)です。\(X\)と\(Y\)は原点とは異なるため\(x\)と\(y\)は非ゼロベクトルです。ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の大きさは原点\(O\)と点\(X\)の間の距離\(\left\Vert x\right\Vert \)と一致し、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の大きさは原点\(O\)と点\(Y\)の間の距離\(\left\Vert y\right\Vert \)と一致します。また、点\(X\)と点\(Y\)の間の距離は\(\left\Vert x-y\right\Vert \)です。

まずは3つの点\(O,X,Y\)が同一直線上に並んでいない場合、すなわち、\begin{equation*}x=ay
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\in \mathbb{R} \)が存在しない場合について考えます。この場合、3つの点\(O,X,Y\)を頂点とする三角形をとることができます（下図）。辺\(OX\)の長さは\(\left\Vert x\right\Vert \)であり、辺\(OY\)の長さは\(\left\Vert y\right\Vert \)であり、辺\(XY\)の長さは\(\left\Vert x-y\right\Vert \)です。その上で、辺\(OX\)と辺\(OY\)が作る角\(\theta \)をベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)がなす角（angle between \(\overrightarrow{OX}\) and \(\overrightarrow{OY}\)）やベクトル\(x\)と\(y\)がなす角（angle between \(x\) and \(y\)）などと呼びます。点\(X,Y\)は原点とは異なり、なおかつ点\(O,X,Y\)は同一直線上に並んでいない状況を想定しているため、この場合のなす角\(\theta \)は、\begin{equation*}0<\theta <\pi
\end{equation*}を満たします。以下の図はなす角\(\theta \)が鋭角の場合（\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\)）です。

以下の図はなす角\(\theta \)が直角の場合（\(\theta =\frac{\pi }{2}\)）です。

以下の図はなす角\(\theta \)が鈍角の場合（\(\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \)）です。

続いて3つの点\(O,X,Y\)が同一直線上に並んでいる場合、すなわち、\begin{equation*}x=ay
\end{equation*}を満たす非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が存在する場合について考えます。\(a>0\)の場合、2つのベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は同一方向にあるため、これらのベクトルがなす角\(\theta \)を、\begin{equation*}\theta =0
\end{equation*}と定義します（下図）。

\(a<0\)の場合、2つのベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は反対方向にあるため、これらがなす角\(\theta \)を、\begin{equation*}\theta =\pi
\end{equation*}と定義します（下図）。

2つの非ゼロベクトル\(x,y\)の内積\(x\cdot y\)とそれらのベクトルがなす角\(\theta \)の間にはどのような関係が成り立つのでしょうか。まず、\(x,y\)がともに単位ベクトルである場合には以下が成り立ちます。

上の命題を用いると、単位ベクトルであるとは限らない2つの非ゼロベクトルについても同様の関係が成り立つことが示されます。

2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角\(\theta \)が鋭角の場合（\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\)）を以下に図示しました。

点\(Y\)から線分\(OX\)に引いた垂線の足を点\(Z\)と呼ぶこととします。ベクトル\(x\)と平行な直線をスクリーンと見立てた上で、スクリーンと垂直な位置にある光源から光が差し込む場合、ベクトル\(y\)がスクリーン上に作る影は\(\overrightarrow{OZ}\)となります。このようにして得られるベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)をベクトル\(y\)の射影（projection）と呼びます。なす角\(\theta \)が鋭角である場合を想定しているため、射影\(\overrightarrow{OZ}\)はベクトル\(x\)と同じ方向の非ゼロベクトルであり、したがってその大きさは正です。ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)の大きさは辺\(OZ\)の長さと一致しますが、この場合には、\begin{equation*}OZ>0
\end{equation*}が成り立つということです。さて、余弦の定義より、\begin{equation}
\cos \left( \theta \right) =\frac{OZ}{OY} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、先の命題より、\begin{equation}
x\cdot y=\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \cos \left( \theta
\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、ベクトル\(y\)の射影\(\overrightarrow{OZ}\)の大きさは、\begin{eqnarray*}OZ &=&OY\cdot \cos \left( \theta \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\Vert y\right\Vert \cdot \cos \left( \theta \right) \\
&=&\left\Vert y\right\Vert \cdot \frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert
\left\Vert y\right\Vert }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{eqnarray*}となります。繰り返しになりますが、ベクトル\(x,y\)のなす角\(\theta \)が鋭角である場合には\(OZ>0\)が成り立ちます。また、\(x\)は非ゼロベクトルであるため\(\left\Vert x\right\Vert >0\)です。したがってこの場合、\begin{equation}x\cdot y>0 \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。逆に、\(\left( 3\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 2\right) \)より\(\cos\left( \theta \right) >0\)ですが、これは\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\)が成り立つことを意味します。

2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角\(\theta \)が直角の場合（\(\theta =\frac{\pi }{2}\)）を以下に図示しました。

この場合、ベクトル\(y\)の射影はゼロベクトルであるため、その大きさは\(0\)です。同時に、先の命題より、\begin{eqnarray*}x\cdot y &=&\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \cos \left(
\theta \right) \\
&=&\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert 0\quad \because \theta =\frac{\pi }{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、2つの非ゼロベクトル\(x,y\)の内積が\(0\)であることは、\(x\)と\(y\)のなす角が直角であることを意味します。逆に、\(x\cdot y=0\)が成り立つ場合には、先の命題より\(\cos \left( \theta\right) =0\)を得ますが、これは\(\theta =\frac{\pi }{2}\)であることを意味します。

2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角\(\theta \)が鈍角の場合（\(\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \)）を以下に図示しました。

なす角\(\theta \)が鈍角である場合を想定しているため、射影\(\overrightarrow{OZ}\)はベクトル\(x\)と反対方向にある非ゼロベクトルであり、したがってその大きさは正です。ベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)の大きさは辺\(OZ\)の長さと一致しますが、この場合には、\begin{equation*}OZ>0
\end{equation*}が成り立つということです。さて、余弦の定義より、\begin{equation}
-\cos \left( \theta \right) =\cos \left( \pi -\theta \right) =\frac{OZ}{OY}
\quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ち、先の命題より、\begin{equation}
x\cdot y=\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \cos \left( \theta
\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立つため、ベクトル\(y\)の射影\(\overrightarrow{OZ}\)の大きさは、\begin{eqnarray*}OZ &=&OY\cdot \left[ -\cos \left( \theta \right) \right] \quad \because
\left( 4\right) \\
&=&\left\Vert y\right\Vert \cdot \left[ -\cos \left( \theta \right) \right] \\
&=&-\left\Vert y\right\Vert \cdot \frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert
\left\Vert y\right\Vert }\quad \because \left( 5\right) \\
&=&-\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{eqnarray*}となります。繰り返しになりますが、ベクトル\(x,y\)のなす角\(\theta \)が鈍角である場合には\(OZ>0\)が成り立ちます。また、\(x\)は非ゼロベクトルであるため\(\left\Vert x\right\Vert >0\)です。したがってこの場合、\begin{equation}x\cdot y<0 \quad \cdots (6)
\end{equation}が成り立ちます。逆に、\(\left( 6\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 5\right) \)より\(\cos\left( \theta \right) <0\)ですが、これは\(\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \)が成り立つことを意味します。

以上の諸命題より、2つの非ゼロベクトル\(x,y\)のなす角の大きさは内積\(x\cdot y\)の符号によって決まることが明らかになりました。ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、内積はベクトルの「方向」を表現する指標であるということです。

垂直なベクトル

2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角が\(\theta \)である場合には、以下の関係\begin{equation*}x\cdot y=0\Leftrightarrow \theta =\frac{\pi }{2}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。このような事情を踏まえた上で、2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\cdot y=0
\end{equation*}が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は直交する（orthogonal）や垂直である（perpendicular）などと言い、そのことを、\begin{equation*}x\perp y
\end{equation*}で表記します。

内積の非負性

内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot x\geq 0
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の非負性（non-negativity）と呼びます。これは、同じベクトルどうしの内積は非負であることを意味します。

内積の定性

内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x\cdot x=0\Leftrightarrow x=0\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の定性（definiteness）と呼びます。これは、同じベクトルどうしの内積の値が\(0\)であることと、そのベクトルがゼロベクトルであることが必要十分であることを意味します。

内積の加法性

内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{3}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第一引数に関する加法性（additivity in first slot）と呼びます。つまり、ベクトル和とベクトルの内積は、内積どうしのベクトル和と一致するということです。

内積は以下の性質\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot \left( y+z\right) =x\cdot y+x\cdot z
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第二引数に関する加法性（additivity in second slot）と呼びます。つまり、ベクトルとベクトル和の内積もまた、内積どうしのベクトル和と一致するということです。

内積の斉次性

内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{4}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left( ax\right) \cdot y=a\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第一引数に関する斉次性（homogeneity in first slot）と呼びます。つまり、つまり、ベクトルのスカラー倍とベクトルの内積は、内積のスカラー倍と一致するということです。

内積は以下の性質\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot \left( ay\right) =a\left( x\cdot y\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第二引数に関する斉次性（homogeneity in second slot）と呼びます。つまり、ベクトルとベクトルのスカラー倍の内積もまた、内積のスカラー倍と一致するということです。

内積の対称性

内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{5}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot y=y\cdot x
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の対称性（symmetry）と呼びます。本来、2つのベクトル\(x,y\)を成分とする順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別するため、\(\left( x,y\right) \)に対して内積関数が定める値\(x\cdot y\)と\(\left( y,x\right) \)に対して内積関数が定める値\(y\cdot x\)もまた区別されるべきですが、対称律はこれらが等しいことを保証します。

内積空間としての\(n\)次元空間

これまで明らかになった内積の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( I_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot x\geq 0 \\
&&\left( I_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x\cdot x=0\Leftrightarrow x=0\right) \\
&&\left( I_{3}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( I_{4}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left( ax\right) \cdot y=a\left( x\cdot y\right) \\
&&\left( I_{5}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}となります。

内積関数\(\cdot :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( I_{1}\right) \)から\(\left( I_{5}\right) \)までの性質を満たすことは、内積関数が定義された\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が内積空間（inner productspace）もしくは計量ベクトル空間（metric vector space）であることを意味します。

ゼロベクトルとの内積

任意のベクトルとゼロベクトルの内積は\(0\)になります。

演習問題