双曲線

双曲線の定義

媒介変数\(t\)が数直線\(\mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数のそれぞれの値\(t\in \mathbb{R} \)に対して、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
h\pm a\cosh \left( t\right) \\
k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定義します。ただし、\(\left( h,k\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)かつ\(a>0\)かつ\(b>0\)です。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によって定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線を双曲線（hyperbola）と呼びます。つまり、双曲線のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h\pm a\cosh \left( t\right) \\
k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であり、双曲線の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=h\pm a\cosh \left( t\right) \\
y=k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。したがって、双曲線そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h\pm a\cosh \left( t\right) \\
k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。また、双曲線を構成する、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h+a\cosh \left( t\right) \\
k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を双曲線の右の枝（right branch）と呼び、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
h-a\cosh \left( t\right) \\
k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を双曲線の左の枝（left branch）と呼びます。

双曲線を規定する点\(\left( h,k\right) \)を双曲線の中心（ceunter）と呼び、\(a\)を準主軸（semi-transverse axis）と呼び、\(b\)を準共軸（semi-conjugate axis）と呼びます。

以下の2つの点\begin{equation*}
\left( h-a,k\right) ,\quad \left( h+a,k\right)
\end{equation*}を双曲線の頂点（vertices）と呼びます。

以下の2つの点\begin{equation*}
\left( h-c,k\right) ,\quad \left( h+c,k\right)
\end{equation*}を双曲線の焦点（foci）と呼びます。ただし、\begin{equation*}
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
\end{equation*}です。

双曲線の方程式

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する双曲線の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=h\pm a\cosh \left( t\right) \\
y=k+b\sinh \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\frac{x-h}{a}=\pm \cosh \left( t\right) \\
\frac{y-k}{b}=\sinh \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となり、さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}=\cosh ^{2}\left( t\right) \\
\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2}=\sinh ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を得ます。任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\cosh ^{2}\left( t\right) -\sinh ^{2}\left( t\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立方程式から媒介変数\(t\)を消去すると以下の方程式\begin{equation*}\left( \frac{x-h}{a}\right) ^{2}-\left( \frac{y-k}{b}\right) ^{2}=1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}-\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}=1
\end{equation*}を得ます。以上が双曲線の方程式であるため、この方程式を用いて双曲線を、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}-\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}=1\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

双曲線の漸近線

双曲線の方程式は、\begin{equation*}
\frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}-\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。これを\(y\)について解きます。具体的には、\begin{equation*}\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{b^{2}}=\frac{\left( x-h\right) ^{2}}{a^{2}}-1
\end{equation*}となるため、\begin{eqnarray*}
\left( y-k\right) ^{2} &=&\frac{b^{2}}{a^{2}}\left( x-h\right) ^{2}-b^{2} \\
&=&\frac{b^{2}}{a^{2}}\left[ \left( x-h\right) ^{2}-a^{2}\right] \end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
y-k=\pm \frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}+k
\end{equation*}を得ます。他方で、以下の方程式\begin{equation*}
y=\pm \frac{b}{a}\left( x-h\right) +k
\end{equation*}によって定義される直線を双曲線の漸近線（asymptotes）と呼びます。

双曲線の頂点\(\left( h,k\right) \)よりも右側にある点の\(x\)座標を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}x>h
\end{equation*}を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶということです。このとき、\begin{eqnarray*}\frac{b}{a}\left( x-h\right) +k &=&\frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}}+k
\\
&>&\frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}+k
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(x>h\)を満たす領域において漸近線\begin{equation}\frac{b}{a}\left( x-h\right) +k \quad \cdots (1)
\end{equation}は双曲線の右側の枝\begin{equation}
\frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}+k \quad \cdots (2)
\end{equation}よりも上方に位置します。加えて、両者の差について、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\{ \left[ \frac{b}{a}\left( x-h\right) +k\right] -\left[ \frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}+k\right] \right\} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \frac{b}{a}\left( x-h\right) -\frac{b}{a}\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}\right] \\
&=&\frac{b}{a}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \left( x-h\right) -\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}\right] \\
&=&\frac{b}{a}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\left[ \left( x-h\right) -\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}\right] \left[ \left( x-h\right) +\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}\right] }{\left( x-h\right) +\sqrt{\left(
x-h\right) ^{2}-a^{2}}} \\
&=&\frac{b}{a}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\left( x-h\right) ^{2}-\left[
\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}\right] }{\left( x-h\right) +\sqrt{\left(
x-h\right) ^{2}-a^{2}}} \\
&=&\frac{b}{a}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{a^{2}}{\left( x-h\right) +\sqrt{\left( x-h\right) ^{2}-a^{2}}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に双曲線の右側の枝\(\left( 2\right) \)は漸近線\(\left( 1\right) \)に限りなく近づきます。

他の領域についても同様の議論が成り立ちます。以上が漸近線という名称の由来です。

演習問題